Применение рядов в приближенных вычислениях. (Тема 14.5)

1.

С помощью степенных рядов можно вычислять с
различной степенью точности значения
функций, значения определенных интегралов.
Рассмотрим это на конкретных примерах.

2.

Вычислить приближенно, с точностью
до 0,0001
1
5
e
3

3.

1
5
e
3
e
3
5
2
3
n
x
x
x
ex 1 x
...
...
2!
3!
n!
3
5
3 32
33
34
35
36
e 1 2 3 4 5 6 ...
5 5 2! 5 3! 5 4! 5 5! 5 6!
1 0.6 0.18 0.036 0.0054
0.000648 0.0000648 ...

4.

По следствию из теоремы Лейбница погрешность
при
приближенном
вычислении
суммы
сходящегося знакочередующегося ряда по
абсолютной величине не превышает абсолютной
величины первого отброшенного члена.
Т.об, взяв первые 6 членов ряда, мы допустим
погрешность
rn 0.0000648 0.0001
Следовательно,
e
3
5
1 0.6 0.18 0.036 0.0054
0.000648 0.548752

5.

Вычислить приближенно, с точностью
до 0,0001
ln 0.8

6.

x2
x3 x 4
x5
ln( 1 x) x
...
2
3
4
5
ln 0.8 ln( 0.2 1) x 0.2
0 .2 2 0 . 2 3 0 . 2 4 0 . 2 5
0.2
...
2
3
4
5
(0.2 0.02 0.00266 0.0004 0.00008 ...)
Т.об, взяв первые 4 члена ряда, мы допустим
погрешность rn 0.00008 0.0001
Следовательно,
ln 0.8 (0.2 0.02 0.00266 0.0004) 0.222306

7.

Вычислить приближенно, с точностью
до 0,0001
sin 20
0

8.

sin 20 sin
0
9
x3 x5
sin x x
...
3!
5!
9
9
sin
...
9
9
3!
5!
0.34907 0.00709 0.00004 ...
3
5
Т.об, взяв первые 2 члена ряда, мы допустим
погрешность rn 0.00004 0.0001
sin
0.34907 0.00709 0.342
9

9.

Вычислить приближенно
1
0
x
xe dx

10.

Вычислить интеграл непосредственно здесь
невозможно, т.к. интеграл «неберущийся».
Разложим подынтегральную функцию в ряд:
2
3
x
x
x
e 1 x
...
2!
3!
2
3
x
x
e x 1 x
...
2!
3!
x e
x
3
2
5
2
7
2
x
x
x x
...
2!
3!
Интервал (0,1) входит в интервал сходимости
данного ряда ( ; )

11.

поэтому интегрируем почленно:
1
1
x e x dx
0
0
2
x
3
3 1
2
0
1
3
2
1
5
1
7
1
1
2
x dx x dx x dx x 2 dx ...
20
60
0
2
x
5
5 1
2
0
1 2
x
2 7
7 1
2
0
1 2
x
6 9
9 1
2
...
0
0.66667 0.4 0.14286 0.0374 ... 0.38