Построение сечений многогранников

1.

Урок-презентация.

2.

Построить сечение многогранника
плоскостью – это значит указать
точки пересечения секущей плоскости с
ребрами многогранника и соединить эти
точки отрезками, принадлежащими граням
многогранника.
Для построения сечения многогранника
плоскостью нужно в плоскости каждой
грани указать 2 точки, принадлежащие
сечению, соединить их прямой и найти
точки пересечения этой прямой с ребрами
многогранника.

3.

1
Простейшие задачи.
D1
С1
D
B1
А1
K
М
О
D
А
2
H
С
N
В
Р
С
А
В

4.

D
3
Простейшие задачи.
D
4
О
С
С
А
А
О
В
В

5.

Диагональные сечения.
5
С1
D1
А1
С
D
А
D1
А1
B1
В
6
С1
B1
С
D
А
В

6.

Кубооктаэдр.

7.

Проведем исследование с треугольной пирамидой.
D
D
М
М
О
О
Р
С
С
А
А
В
X
Треугольник
F
Р
В
Четырехугольник

8.

Проведем исследование с четырехугольной пирамидой.
М
Четырехугольник
D
Р
А
С
Т Треугольник
О
В

9.

Проведем исследование с четырехугольной пирамидой.
S
М
X
Р
С
D
X
Т
А
О
В
Пятиугольник

10.

Проведем
исследование
D1
с параллелепипедом.
С1
B1
А1 X
K
Четырехугольник
F
А
Треугольник
D
С
N
H
В

11.

Проведем
исследование
с параллелепипедом.
D1
А1
О
С1
B1
K
N
D
А
Пятиугольник
H
С
T
В
Z
Y

12.

Проведем
X
исследование
с параллелепипедом. D
1
Q
А1
С1
S
B1
К
T
С
D
Y
А
M
В
Z
N
Шестиугольник

13.

Свойство
параллельных плоскостей.
а
Если две параллельные плоскости
пересечены третьей,
то линии их пересечения
параллельны.
b
Это свойство нам поможет
при построении сечений.

14.

7
D1
С1
K
А1
О
B1
D
А
H
С
N
В

15.

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью МNК.
8
С1
D1
А1
М B1
О
N
D
К
А
R
В
С

16.

Дан наклонный параллелепипед АВСDА1В1С1D1
Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.
D1
9
С1
А1
B1
О
М
D
А
С
В
Постройте сечение
параллелепипеда,
проходящее через
т.М параллельно:
а) грани ВВ1С1С;
б) плоскости
основания АВСD;
в) изобразите
отрезок, по которому
эти сечения
пересекаются.

17.

Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.
9
D1
А1
С1
B1
М
D
С
Постройте сечение
параллелепипеда,
проходящее
через т.М
параллельно:
г) плоскости ВDD1
А
В

18.

Блиц-опрос.
D1
С1
K
А1
Верите ли вы, что прямые
НК и ВВ1 пересекаются?
B1
D
А
H
С
В

19.

Блиц-опрос.
D1
С1
К
А1
B1
Н
D
А
С
N
В
Верите ли вы, что
прямые НК и ВВ1
пересекаются?

20.

Блиц-опрос.
D1
А1
К
А
С1
М
B1
Н
D
В
Верите ли вы, что прямые
НК и МР пересекаются?
Р
С
N
На чертеже есть
ещё ошибка!

21.

Верите ли вы, что прямые НR и NK
пересекаются?
D1
С1
Н
А1
R
B1
С
D
На чертеже есть
ещё ошибка!
N
А
Блиц-опрос.
К
В

22.

Пересекаются ли прямые НR и А1В1?
Блиц-опрос.
Пересекаются ли прямые НR и С1D1?
С1
D1
Н
R
А1
B1
Пересекаются ли
прямые NK и АD?
С
D
А
N
К
Пересекаются ли
прямые NK и DC?
В

23.

Верите ли вы,
что прямые МО и АС
пересекаются?
Блиц-опрос.
D
М
О
С
А
В
Верите ли вы,
что прямые МО и АВ
пересекаются?

24.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки
этих плоскостей.
Некоторые художники любят нарушать эту аксиому.
а

25.

Это интересно!
Многие художники, искажая законы перспективы,
рисуют необычные картины. Кстати, эти рисунки очень
популярны среди математиков. В сети Internet можно
найти множество сайтов, где публикуются эти
невозможные объекты.
Популярные художники Морис Эшер, Оскар
Реутерсвард, Жос де Мей и другие, удивляли своими
картинами математиков.
http://www.im-possible.info/english/art/mey/mey2.html
http://alone.sammit.kiev.ua/moremind/illusion/index.html
http://lib.world-mobile.net/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/art/index.html

26.

"Такое может нарисовать только тот, кто делает
дизайн, не зная перспективы..."
Жос де Мей

27.

Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх.
Поднимаясь по этой лесенке, мы остаёмся на том же этаже.
А2. Если две точки прямой
лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в этой плоскости.
а
Лесенки здесь быть не может!
а

28.

Вернемся
к задаче 7
X
D1
А
О
K
А1
Метод следов
С1
B1
D
С
N
H
В

29.

10
Задание с ошибкой.
D
К
М
С
X
А
N
R
В

30.

11
О
D1
А1
С1
B1
K
N
D
А
H
С
Z
В
X
Y

31.

X
12
Q
А1
С1
S
D1
B1
К
T
С
D
Y
А
M
В
N
Z

32.

13
S
М
N
Р
А
Y
D
Т
О
В
С
К
X

33.

14
B1
А1
А
С1
P
D1
R
B
а
К
Е
Q
Y
С
D