2.04M

Category: $mathematics$ mathematics

Понятие предела функции

1.

Понятие предела функции y=f(x) связано с
понятием предела числовой последовательности
an f (n)
У числовой последовательности переменная n,
возрастая, принимает только целые значения, а у
функции переменная х может принимать любые
значения.

2.

Число А называется пределом функции
у=f(x), при х стремящемся к бесконечности,
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
S, что при всех |x|>S, выполняется
неравенство:
f ( x) A
lim f ( x) A
x

3.

При достаточно больших по модулю значениях
х, значения функции f(x) очень мало
отличаются от числа А (меньше, чем на
число ε , каким бы малым оно не было).

4.

Рассмотрим
геометрический
определения.
Неравенство
смысл
этого
f ( x) A
равносильно двойному неравенству
A f ( x) A
что соответствует расположению части графика
у=f(x) в полосе шириной 2ε.

5.

y
A
A
A
y f (x)
S
x

6.

Т.е. число А есть предел функции
y f (x)
если для любого, сколь угодно малого числа ε>0,
найдется такое число S, что при всех
x S
соответствующие ординаты графика функции
у=f(x) будут заключены в полосе
A y A
какой бы узкой она не была.

7.

Доказать, что
5x 1
lim
5
x
x

8.

Для любого ε>0
1
5 5
x
5x 1
5
x
1
x
x
Т.е. для любого ε >0 существует число S
1
1
0
Такое, что для всех х, таких что |x|>S,
выполняется неравенство:
f (x) 5
5x 1
lim f ( x) lim
5
x
x
x

9.

Рассмотренное определение предела при
x
стремящемся к бесконечности предполагает
неограниченное возрастание x по абсолютной
величине.
Можно сформулировать понятие предела при
стремлении x к бесконечности любого знака,
т.е. при
x
x

10.

В случае, когда
x неравенство
f ( x) A
должно выполняться при всех x таких, что х>s.
В случае, когда
x
неравенство
f ( x) A
должно выполняться при всех x таких, что х<-s.
Перейдем к понятию предела функции в точке.
Рассмотрим некоторую функцию у=f(x). Пусть эта
функция задана в некоторой окрестности точки
x0, кроме, может быть, самой этой точки.

11.

Число А называется пределом функции
у=f(x), при х→x0, (или в точке x0)
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
δ, что при всех |x-x0|< δ, выполняется
неравенство:
f ( x) A
lim f ( x) A
x x0

12.

При всех значениях х, достаточно близких
к x0, значения функции у=f(x) очень мало
отличаются по абсолютной величине
от числа А (меньше, чем на
число ε, каким бы малым оно не было).

13.

Неравенство
f ( x) A
равносильно двойному неравенству
A f ( x) A
Аналогично неравенство
равносильно неравенству
x x0
x0 x x0
Это соответствует расположению части графика
y f (x)
в полосе шириной 2ε и попаданию точки х в δ окрестность точки x0.

14.

Т.е. число А есть предел функции
y f (x)
при х→x0, если для любого, сколь угодно малого
числа 0
найдется такая δ–окрестность точки x0, что для
всех х≠x0 из этой окрестности соответствующие
ординаты графика функции
y f (x)
будут заключены в полосе
A y A
какой бы узкой она не была.

15.

y
y f (x)
A
A
A
x0
x0 x
0
x

16.

Доказать, что
lim (2 x 3) 5
x 1

17.

Пусть ε=0.1
Тогда неравенство
будет выполняться при
2 x 3 5 0.1
x 1 0.05
Аналогично, при ε=0.01
Неравенство будет выполняться при
x 1 0.005

18.

Т.е. для любого ε >0 неравенство
выполняется при
x 1
2x 3 5
2
Т.е. для любого ε >0 существует число
0
2
что для всех х, таких что |x-1|<δ, выполняется
неравенство:
f (x) 5
lim f ( x) lim (2 x 3) 5
x 1
x 1

19.

Определение
предела
не
требует
существования функции в самой точке x0,
т.к. рассматриваются значения функции в
некоторой окрестности точки x0.
Т.е. рассматривая предел
lim f ( x)
мы предполагаем, что
x x0
x x0
но не достигает значения x0.

20.

Если при
x x0
переменная x принимает значения только
меньше x0 или, наоборот, больше x0, и при
этом функция f(x) стремится к некоторому
числу А, то говорят об односторонних
пределах соответственно справа и слева:
lim f ( x) A
x x0 0
lim f ( x) A
x x0 0

21.

Определение этих пределов будет аналогично
рассмотренному выше при x x0
Вместо значений x, удовлетворяющих условию
x x0
рассматриваются такие x, что
при x x0 0
и значения x, такие что
при x x0 0
x0 x x0
x0 x x0

22.

Если пределы функции f(x) слева и справа
одинаковы и равны А, то существует общий
предел этой функции, также равный А:
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 0
x x0 0
lim f ( x) A
x x0

23.

24.

Функция f(x) называется бесконечно малой
величиной, если при
x x0
или при x ее предел равен нулю:
lim f ( x) 0
x x0
или
lim f ( x) 0
x

25.

Функция
y cos x
является бесконечно малой величиной при
x
поскольку
2
lim cos x 0
x
2

26.

Если функция f(x) имеет при
x x0 или при x
предел, равный А, то ее можно
представить в виде суммы этого
числа А и бесконечно малой
величины
(x) при x x0 или x
lim f ( x) A
x x0
x
f ( x) A ( x)

27.

Верна и обратная
Если функцию f(x) можно
представить как сумму числа А
и бесконечно малой величины
(x) при x x0 или x
то число А является пределом
этой функции при
x x0 или при x
f ( x) A ( x) lim
f
(
x
)
A
x x
0
x

28.

1
Алгебраическая сумма бесконечно
малых величин есть величина
бесконечно малая.

29.

2
Произведение бесконечно малой
величины на ограниченную функцию
есть величина бесконечно малая.
3
Частное от деления бесконечно малой
величины на функцию, предел которой
отличен от нуля, есть величина
бесконечно малая.

30.

Пусть
( x) 5x 10 ( x) lg( x 1)
являются бесконечно малыми величинами
при
x 2
поскольку
lim (5x 10) 0
x 2
lim lg( x 1) 0
x 2
Функция
f ( x) sin x

31.

является
ограниченной
промежутке, поскольку
на
любом
sin x 1
( x) x 5
Функция
2
x 2
имеет предел при
lim ( x 5) 1
2
x 2
Тогда функции
( x) ( x) 5x 10 lg( x 1)

32.

( x) f ( x) (5x 10) sin x
( x) f ( x) lg( x 1) sin x
( x) ( x) (5x 10) lg( x 1)
( x) 5 x 10
2
( x) x 5
являются бесконечно малыми величинами
при
x 2

33.

Предел отношения двух бесконечно малых
величин
( x)
lim
x x
0
x
( x)
может быть равен нулю, тогда α(х)
называется бесконечно малой более
высокого порядка, чем β(х);
может быть равен числу А, не равному
нулю, тогда α(х) и β(х) имеют одинаковый
порядок малости;
может быть равен бесконечности, тогда
α(х) называется бесконечно малой более
низкого порядка, чем β(х).

34.

Функция
f(x)
называется
бесконечно
большой величиной, если для любого,
даже сколь угодно большого числа M 0
найдется такое число 0 , что для всех
x x0 и удовлетворяющих условию x x0
выполняется неравенство
f ( x) M

35.

Если f ( x) M то
lim f ( x)
x x0
Если f ( x) M
то
lim f ( x)
x x0

36.

Функция
y tgx
является бесконечно большой величиной при
x
поскольку
2
lim tgx
x
2

37.

Бесконечно большая величина
является неограниченной
функцией при
x x0 или при x
но в то же время
неограниченная функция не
обязательно бесконечно
большая.

38.

Функция
y x sin x
является неограниченной функцией, но при
x
она не будет бесконечно большой, поскольку
ее значения колеблются, переходя от
положительных к отрицательным через
ноль.

39.

1
Сумма бесконечно большой величины
и ограниченной функции есть величина
бесконечно большая.

40.

2
Произведение бесконечно большой
величины на функцию, предел которой
отличен от нуля, есть величина
бесконечно большая.
3
Частное от деления бесконечно большой
величины на функцию, имеющую предел,
есть величина бесконечно большая.

41.

f ( x) tgx
Функция
является бесконечно большой при
( x) 4 x 3
имеет предел при
x
2
Функция
lim (4 x 3) 2 3 0
x
2
x
2

42.

Функция
( x) sin x
является ограниченной.
Тогда функции
f ( x) ( x) tgx sin x
f ( x)
tgx
( x) 4 x 3
являются бесконечно большими величинами
при
x
2

43.

Пусть f(x) и φ(x) – функции, для которых
существуют пределы при
x x0
или
x
lim
f
(
x
)
A
x x
lim
(
x
)
B
x x
x
x
0
0
Тогда справедливы следующие теоремы:

44.

Функция не может иметь более
одного предела.

45.

Предел алгебраической суммы
(разности) конечного числа функций
равен сумме (разности) пределов этих
функций:
lim
f
(
x
)
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
(
x
)
A
B
x x
x x
x x
0
0
0
x
x
x

46.

Предел произведения конечного
числа функций равен произведению
пределов этих функций:
lim
f
(
x
)
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
(
x
)
A
B
x x
x x
x x
0
0
0
x
x
x

47.

lim
C
f
(
x
)
C
lim
f
(
x
)
C
A
x x
x x
0
0
x
x

48.

Предел частного двух функций равен
частному пределов этих функций:
lim
f
(
x
)
x x
0
f ( x ) x
A
lim
x x
(
x
)
lim
(
x
)
B
x
x x
0
0
x

49.

Если
lim f (u ) A
u u0
и
lim ( x) u0
x x0
то предел сложной функции существует
и равен
lim f ( x) A
x x0

50.

В этих теоремах полагается, что существуют
пределы функций f(x) и φ(x), из чего следует
существование пределов суммы, произведения
или частного этих функций.
Однако из существования пределов суммы,
произведения или частного еще не следует,
что существуют пределы самих функций f(x) и
φ(x).