Понятие предела функции

1. Понятие предела функции

2. Определение

• Пусть функция f, принимающая действительные
значения, определена в некоторой окрестности
точки x0, кроме, быть может, самой точки x0.
• Функция f имеет предел в точке x0,
если для любой последовательности точек xn,
n = 1, 2,..., xn ≠ x0, стремящейся к точке x0,
последовательность значений функции f (xn)
сходится к одному и тому же числу А,
которое и называется пределом функции f в
точке x0, (или при x → x0) при этом пишется
lim
x x0
f ( x) A
у
А
О
х0
х

3. Определение

• Число А называется пределом функции f в
точке x0, если для любого числа ε > 0
существует такое число δ > 0, что для всех
точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию
• |х — x0| < δ, x ≠ x0, выполняется неравенство
|f (x) — A| < ε.
lim f ( x) A
x x0
у
А+ε
А
А-ε
О
х0
х0-δ
х0+δ
х

4.

• Все основные элементарные функции:
постоянные, степенная функция (хα),
показательная функция (ax),
тригонометрические функции
(sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные
тригонометрические функции
(arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех
внутренних точках своих областей
определения имеют пределы, совпадающие с
их значениями в этих точках.

5. Примеры функций, имеющих предел в точке

у= x2
lim у 4
x 2
Предел функции
при x → 2 равен 4
(при x → 2 значения
функции → 4).
Предел функций при x → 0 равен 0.

6.

Примеры функций,
не имеющих предел в точке
у
у
у
А
1
О
х
-1
О
а
х
О
а
х

7. Свойства предела функции в точке

Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a,
причем
То
если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

8. Вычисление предела функции в точке

Сначала просто пытаемся подставить число в функцию
lim ( x 2 5x 8) 9 15 8 2
x 3
Найдем
x2 5x 8
lim 2
.
x 3 x x 4
Предел числителя
lim ( x 2 5x 8) 9 15 8 2
x 3
Предел знаменателя
lim ( x 2 x 4) 9 3 4 10
x 3
.
Используя теорему о пределе частного, получим
lim ( x 2 5 x 8)
x 5 x 8 x 3
2 1
lim 2
.
2
x 3 x x 4
lim ( x x 4) 10 5
2
x 3

9.

Найдем
x 2 5x 8
lim
.
x 3
x 3
Предел числителя
lim ( x 2 5x 8) 9 15 8 2
x 3
Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного
применять нельзя.
Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при x→3.
Тогда
x 2 5x 8
lim
.
x 3
x 3

10. Раскрытие неопределенности

• При нахождении предела иногда сталкиваются с
неопределенностями вида
0
0
0
, , ( ), (1 ), (0 ), (0 )( ).
0
• Отыскание предела в таких случаях называется
раскрытием неопределенности.
Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить
числитель и знаменатель на х в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на х2

11.

Разделим числитель и знаменатель на х4

12.

Разделим числитель и знаменатель на х2
подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на
бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности
может получиться конечное число, ноль или
бесконечность.

13.

Вычислить предел
:
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и
имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить
числитель и знаменатель на множители.
Очевидно, что можно сократить на (х+1)
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

14.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Найти предел
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое,
что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.
Получена неопределенность вида 0/0 ,
которую нужно устранять
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какоенибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения
числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

15.

16. Замечательные пределы

• первый замечательный предел
sin x
lim
1;
x 0
x
• второй замечательный предел
х
1
1
lim 1 lim (1 x) x e.
x
x 0
x

17. Примеры

sin( 2 x )
0
lim
( )
x 0
x
0
2 sin( 2 x )
sin( 2 x )
lim
2 lim
x 0
x
0
2x
2x
2 1 2.
е
4
3

18. Односторонние пределы

Предел функции слева
у
• Число A1 называется пределом
функции f (x) слева в точке a, если
для каждого ε > 0 существует δ > 0
А +ε
А1
такое, что для
А -ε
всех
выполняется
О
неравенство
1
1
а
lim f ( x) A
х а 0
• При х приближающихся к а слева,
значения функции стремятся к А1
х
а-δ
1

19. Предел функции  справа

Предел функции справа
• Число A2 называется пределом
функции f (x) справа в точке a,
если для каждого ε > 0 существует
δ > 0 такое, что для
всех
выполняется
неравенство
• При х приближающихся к а
справа, значения функции
стремятся к А2
• Функция, определённая в некоторой
окрестности точки, имеет предел в
точке, если её предел справа равен
пределу слева.
у
А2+ε
А2
А2-ε
а
О
х
а+δ
lim f ( x) A
2
х а 0
у
А
О
а
х

20.

у
1
О
х
-1
lim у 1
х 0 0
lim у 0
х 0
lim у 0
х 0
lim у 1
х 0 0