Вычисление пределов функций

1.

Вычисление пределов функций
1 и 2 замечательные пределы функций, точки разрыва
функций

2.

1 замечательный предел
sin x
sin x
tgx
cos
x
lim sin x 1 1
lim
1; lim
lim
x 0
x 0 x
x 0
x 0
x
x
x cos x
arctgx
arcsin x
shx
lim
1; lim
1; lim
1;
x 0
x
0
x
0
x
x
x
ex 1
e x e x e x
lim
? : 1 lim
x
x 0
x
0
x
2x
e
e2 x 1 1
et 1
lim
x t 2 x lim
1
x 0
t
0
2x e
t
thx
arcthx
lim
1; lim
1
x 0 x
x 0
x

3.

sin kx
k;
x 0
x
lim
arctg kx
k ;...
x 0
x
lim
sin kx k
sin kx
sin t
lim
k t kx k lim
k 1 k
x 0
x
0
t
0
x
k
kx
t
k m
k m
2 sin
x sin
x
2
2
cos kx cos mx
k m k m m k
2
2
lim
lim
2
;
2
x 0
x
0
x
x x
2
2 2
lim
sin kx
sin kx x
sin kx
x
sin kx
1
k
lim
lim
lim
;
x 0 sin mx
x 0 sin mx x
x 0
x sin mx x 0 x
sin mx m
x
lim
1 cos 2kx
2 sin 2 kx
sin kx
2
lim
lim
2
lim
2
k
;
2
2
x 0
x
0
x
0
x
x
x
2

4.

Примеры:
1 cos 6 x 2 sin 2 3 x
x arctg 4 x
x
x arctg 4 x
1) lim
1 cos 6 x
lim
2
x 0 1 cos 6 x
1
2 3 18 x 0 1 cos 6 x x
2
x
1
arctg 4 x
1
1
4 2
lim
4
4
;
2
x 0 1 cos 6 x
x
2 9 18 9
sin 3 x
lim 2
2
x
x 0
x
sin 3 x 0 x t x t
sin 3t
lim
2) lim
3;
x x
t
0
t
0 sin 3 x sin 3 3t sin 3t
t
t 4 x x t
cos
sin
4
cos 2 x
0
lim
2
2 1;
3) lim
t t 0 t
0
0
t
2
x 4 x
4
cos 2 x cos sin
2
2 2

5.

№ 219
t x 1 x t 1
sin x 0
sin t t
lim
sin x sin t 1 sin t sin t
lim
t 0
x 1 sin 3 x
sin 3 t t
0
sin
3
x
sin
3
t
1
sin
3
t
3
sin
3
t
sin t
1
1
lim
;
t 0
t
sin 3 t 3 3
t

6.

4) № 222
2 sin
x a
x a
cos
2
2 t x a
x a
t 0 x a
sin x sin a 0
lim
x a
x a
0 x a
t
sin
2 cos t 2a 2 1 cos a cos a
lim 2
t 0
t
2
2
lim
t x a x t a
sin t cos a cos t sin a sin a
lim
t
0
t
sin x sin t a sin t cos a cos t sin a
sin t
sin a 1 cos t
cos t sin a sin a
lim
cos a
cos a lim
t 0
t
0
t
t
t
t
2 sin 2
2 t cos a
cos a sin a lim
t 0
t2

7.

1 sin
lim
x
x
x
2
t
2 t
t x x t
1
cos
2
sin
2 lim
4 t 2 1 lim t 0
lim
x
t
t
t 0
2
t 0
sin
sin
cos
t
t
16 t 0
2
2
2 2
1 cos 2 x
2 sin 2 x
lim
lim
2
2
2
x 0
x 0
x
x
1
2 cos x
2
lim
x
3 3 x
3
x
x
3 sin
3
2 sin
2
2
cos cos x
2
2
3
lim
lim
3 x
3
x
x
x
3
3
3
3
4
t x x t lim
3
3
3 t 0
t
2 cos t 2 4 1 cos 2 4 1 1 1 ;
t
3
3 2
3 3 2 2 3
sin

8.

5) № 224
sin t
tg x 0 t x 2 x t 2
tg t
sin t
1
1
cos t
lim
lim
lim
lim
x 2 x 2
t 0
t 0
tg
t
2
tg
t
0
t
t
t
cos
t
cos
0
6) № 226
sin x cos x 0
sin x cos x
1
lim
lim cos x
;
1 tgx
0 x cos x sin x x
2
x
4
4
4
cos x
lim
ДЗ: №№ 220; 223; 233; 235; 236;
237; 238

9.

Пример задания из КТ :
x
x
4
4
cos
2 sin
2
2 2
sin x
sin x sin
2 sin x 2
2 2 lim
4 2 lim
lim
lim 2
sin 4 x
sin 4 x
sin 4 x
sin 4 x
x
x
x
4
4
4
t
t
t
t
sin cos
t x 0
sin
sin
2
4
2 4 4 lim
2 lim cos t 4 cos lim
2
4 lim
t 0
t 0 sin 4t t 0
2 4
4 t 0 sin 4t
sin
4
t
x
t
4
4
t
sin
2 t 2 2 1 1 2 ;
2 2 lim
t 0
t
sin 4t
2 4
4

10.

Примеры из КТ :
1) lim
x 0
2 1 cos 5 x 0
2 1 cos 5 x 2 1 cos 5 x
2 1 cos 5 x
lim
lim
2
2
x 0
x
0
sin 2 x
0
sin
x
2 1 cos 5 x
sin x 2 1 cos 5 x
2
5x
5
2 sin
sin x
1 cos 5 x
1
2
2
2
lim
lim
lim
2
2
x 0 sin x
x 0
sin x
2 1 cos 5 x
2 1 cos 5 x 2 2 x 0 sin x
2
2
1 5
25
25 2
;
8
2 2
4 2
1
2) lim x 2 1 cos lim
x
4 x x
2
1
t
t
2 sin 2
1 cos
4 x t 1 0 lim
8
4 lim
2
2
2
t 0
x
t
t
t 0
1
x
1 cos
t
2
sin
1
8 2 1 ;
2 lim
t 0
t
32
8

11.

ex 1
3) Замечание : lim
1
x 0
x
e 3 x e 5 x 0
e 3 x e 5 x e 5 x
e8 x 1 1
1
lim
lim
5 x lim
5 x lim 5 x 1
x 0 arcsin 2 x
x 0 arcsin 2 x e
0 x 0 arcsin 2 x e
x 0 e
e8 x 1
x
e8 x 1
1
8
lim
lim 8
4;
x 0
x
arcsin 2 x x 0
8 x arcsin 2 x 2
2
2x

12.

2 замечательный предел
x
1
1
lim 1 1 e 2,71878....; lim 1 x x e
x
x 0
x
Примеры :
x 4
1) lim
x x 7
в
и
2 x 1
x 4 x 7 7 4
x 7
x 7
1
получить в скобках выражение : 1
11
1
1
1
f x
x 7
x
7
11
показателе домножим
1
lim 1
поделим на f x
x x 7
11
x 7 11
2 x 1
11 x 7
e
11 2 x 1
x
x 7
lim
e
22 x 11
x
x 7
lim
e 22 ;

13.

x2
x 2
2x 3 1 x
1 ? нет lim
2) lim 2
x 2 x 3
x
2x2 3
2
2
2
x2
x2
lim x 2
x
1
1
1
0
lim 1
0
2
x
2
2x2 3
2
x 1
В этом примере нет 2 замечательного предела
ДЗ: №№ 246-252
x2
x 1
lim 1 2
2x 3
2

14.

Точки разрыва функции
Опр.
Функция
f(x) непрерывной в
точке х=а,
если ∀