Принцип относительности в классической механике. Преобразования Галилея. Силы инерции

1.

ЛЕКЦИЯ № 4
Принцип относительности в
классической механике.
Преобразования Галилея.
Силы инерции.
200
1

2.

ВОПРОСЫ
11. Принцип относительности в
механике. Инерциальные системы
отсчёта. Преобразования Галилея.
12. Неинерциальные системы
отсчёта. Сила инерции.
13. Силы инерции во вращающихся
неинерциальных системах и
системах. Принцип эквивалентности
масс.
200
2

3.

Вопрос № 11.
Принцип относительности в
механике.
Преобразования Галилея.
Инерциальные системы отсчёта.
200
3

4.

Инерциальные системы
Рассмотрим две системы отсчёта,
одна покоится (K), другая (K/)
движется относительно другой со
скоростью V0.
200
4

5.

200
5

6.

Запишем связь между координатами
(x, y, z) и (x/, y/, z/) точки «P» в
системах (K) и (K/).
Полагаем, что время в системах
одинаково: t = t/,
в начальный момент t = 0, x = x/.
200
6

7.

Получаем четыре уравнения
x x v0t
y y
z z
t t
это преобразование Галилея,
используем его если V0 << c, иначе
надо использовать преобразование
Лоренца.
200
7

8.

Дифференцируем по времени:
x x v0
y y
z z
200
8

9.

Или в следующем виде
(напоминаем, что только для
выбранной схемы, рисунка)
vx v x v0
v y v y
vz v z
200
9

10.

Перейдём к векторам
v v v0
Дифференцируем
v v a a
или для уравнения движения
ma ma F F
200
10

11.

Уравнения динамики не изменяются
при переходе от одной
инерциальной системы отсчёта к
другой, то есть они инвариантны.
Сила и ускорение инвариантны
(неизменны) относительно
преобразования Галилея.
200
11

12.

Итак, все инерциальные системы
отсчёта инвариантны: Уравнения
движения выглядят одинаково
(дифференциальные уравнения), но
движения разные, так как разные
начальные условия (V0, r0).
200
12

13.

200
13

14.

12. Неинерциальные системы
отсчёта. Сила инерции.
200
14

15.

Неинерциальные системы
Рассмотрим две системы отсчёта,
одна инерциальная, вторая –
неинерциальная, Имеется некоторое
тело, которое движется с ускорением
ai относительно инерциальной
системы, an – относительно
неинерциальной системы.
200
15

16.

Разность ускорений тела в
инерциальной и неинерциальной
системах отсчёта
(для поступательного
движения)
ai an a
a – одинаково во всех точках
пространства неинерциальной
системы (a = const) и представляет
собой ускорение неинерциальной
системы отсчёта.
200
16

17.

Через 2-й закон Ньютона представим
ускорения.
Инерциальная система:
F
ai
m
Неинерциальная система:
F
an ai a a
m
m – масса тела.
200
17

18.

Отсюда, при F = 0 тело будет
двигаться, в неинерциальной
системе отсчёта с ускорением –a, как
если бы была сила –ma.
Введём силу инерции
Fi m ai an ma
2-й закон Ньютона в неинерциальной
системе отсчёта
man F Fi
200
18

19.

Пример: платформа с грузом
(a = 0)
T
mg
200
19

20.

Платформа с грузом, наблюдатель
стоит рядом, ma T mg
T
ma
mg
.
.
a
200
20

21.

Платформа с грузом, наблюдатель
на платформе, mai T mg 0
Fi ma i
T
mg
a
200
21

22.

Все силы в физике обусловлены
взаимодействием тел, то есть одно
тело действует на другое, и силы
зависят от вида взаимодействия.
Силы инерции обусловлены
свойствами системы отсчёта, в
которой рассматриваются
механические явления. В этом
смысле их можно назвать
фиктивными силами.
200
22

23.

200
23

24.

13. Силы инерции во вращающихся
неинерциальных системах и
системах. Принцип эквивалентности
масс.
200
24

25.

Рассмотрим движение тела по
окружности.
В инерциальной системе тело
удерживается на окружности
центростремительной силой.
В качестве центростремительной
силы могут быть следующие силы:
центростремительная сила, сила
натяжения, сила гравитационного
взаимодействия, электромагнитное
взаимодействие.
200
25

26.

ω
ʋ
Fцб
Fцс
143
R
26

27.

Если наблюдать из инерционной
системы отсчёта (наблюдатель
находится рядом, не двигается), то
необходимо использовать силу
центростремительную Fцс, которая
направлена к центру окружности и
изменяет направление движения
(модуль скорости не изменяется).
2
Fцс maцс mω R
200
27

28.

Если наблюдать из неинерционной
системы отсчёта (наблюдатель
двигается по окружности радиусом R
с угловой скоростью ω), то для
описания состояния вращающегося
тела необходимо ввести силу
инерции – центробежную силу Fцб,
которая будет противодействовать
силе центростремительной.
2
Fi Fцб mω R Fцс
200
28

29.

Влияние центробежной силы на силу
тяжести.
Сила гравитационного
взаимодействия притягивает тела на
поверхности Земли к центру Земли.
Центробежная сила направлена от
оси вращения.
Векторная сумма этих двух сил есть
сила тяжести.
200
29

30.

Fцб
ω
Fгр
Fт
143
30

31.

Центробежная сила на экваторе за
счёт вращения Земли вокруг своей
оси:
aцб = 3,4 см/с2.
Центробежная сила за счёт
вращения Земли вокруг Солнца:
aцб = 0,6 см/с2.
200
31

32.

При движении тела относительно
вращающейся системы отсчёта,
кроме центробежной силы инерции,
появляется ещё одна сила,
называемая силой Кориолиса или
кориолисовой силой инерции.
FК 2m отн ω
Рассмотри случай, когда ʋотн ‫ ן‬ω и
ʋотн II R: Fк = 2mʋотнω.
200
32

33.

200
33

34.

200
34

35.

Если ʋотн II ω и ʋотн ‫ ן‬R: Fк = 0.
При движении параллельно оси
вращения, силы Кориолиса нет.
Если ʋотн ‫ ן‬ω и ʋотн II R: Fк II Fцб.
При движении по параллелям на
запад или восток, сила Кориолиса
будет уменьшать или увеличивать
центробежную силу, соответственно.
200
35

36.

Принцип эквивалентности масс.
Все физические явления в
гравитационном поле происходят
совершенно так же, как и в поле сил
инерции, если напряженности обоих
полей совпадают в соответствующих
точках пространства, а начальные
условия одинаковы для всех тел
изолированной системы.
200
36

37.

(Или) масса гравитационная
равняется массе инерционной
F
mi
a
2
FR
mg
GM
200
37

38.

Пустили фотон с некоторой частотой
ν сверху вниз.
Энергия и масса фотона:
Eф = mc2, m = h ν /c2.
На высоте H (в опыте было H = 20м)
hν
hν mgH hν 2 gH
c
внизу:
hν
hν hν 2 gH
c
200
38

39.

Изменение частоты:
gHν
ν 2
c
что и было зафиксировано. Точность
измерений была:
ν
15
2 10
ν
200
39

40.

200
40

41.

ЛЕКЦИЯ № 5
Элементы релятивистской механики
200
41

42.

ВОПРОСЫ
14. Предпосылки появления
специальной теории
относительности (СТО).
15. Преобразования Лоренца.
Следствия из преобразований
Лоренца. Причинно-следственная
связь в СТО.
16. Закон сложения скоростей в СТО.
Релятивистский импульс.
200
42

43.

14. Предпосылки появления
специальной теории
относительности (СТО).
200
43

44.

Классическая физика рассматривает
движение макротел с медленными
скоростями.
Описание взаимодействия тел с
помощью потенциальной энергии
предполагает мгновенное
распространение.
Причем скорость этого
распространения может быть сколь
угодно большой.
200
44

45.

Однако это противоречит
экспериментальным данным,
которые появились к концу XIX века.
По Эйнштейну существует
максимальная конечная скорость
распространения взаимодействий –
скорость света в вакууме с 3 108
м/с.
200
45

46.

В связи с механическим принципом
относительности Галилея возникает
вопрос:
равноправны ли все инерциальные
системы отсчета при рассмотрении
тепловых, электрических, магнитных,
световых и других физических
явлений, кроме механических?
200
46

47.

Как показал, Эйнштейн принцип
относительности распространяется
на любые физические явления, а не
только механические.
200
47

48.

Позднее им была создана
специальная теория
относительности (СТО) для
движения тел и частиц со
скоростями ʋ, близкими к скорости
света в вакууме (1905г.). В этой
теории предполагается, как и в
классической физике, что
пространство изотропное и
однородное и время однородное.
200
48

49.

Позднее Эйнштейн создал общую
теорию относительности (1916г.),
которая учитывает большие
гравитационные поля.
Но рассмотрим только специальную
теорию, без гравитационных полей.
200
49

50.

1-й постулат (релятивистский
принцип относительности):
в любых инерциальных системах
отсчета все физические явления при
одних и тех же условиях протекают
одинаково, т. е. никакими
физическими опытами невозможно
установить движется данная
инерциальная система отсчёта
равномерно и прямолинейно или
покоится.
200
50

51.

Следовательно, все физические
законы инвариантны (независимы)
по отношению к выбору
инерциальной системы отсчета.
200
51

52.

2-й постулат (принцип
инвариантности скорости света в
вакууме):
Скорость света в вакууме не
зависит от вида движения источника
света, приемника и не зависит от
направления в пространстве.
200
52

53.

Эти принципы приводят к тому, что
события одновременные в
классической механике в
релятивистской становятся
относительными.
Пример: перрон – система K,
движущийся вагон со скоростью
ʋ = const – система K'.
200
53

54.

200
54

55.

Для вагона точки обозначим через
А*, С* и В*, причем А*В*= В*С*. В тот
момент, когда одноименные точки
совпадают, в точках А и С
происходят два события, например
вспышка света. Из-за изотропности
пространства свет от точек А и С
дойдет до точки В одновременно.
200
55

56.

Наблюдатель же в точке В*,
движущийся в направлении точки С*,
заметит вначале вспышку,
произведенную в точке С* и позднее
в точке А*.
200
56

57.

Наблюдатель на Земле, находясь в
точке В увидит два пространственно
разделенных события,
произошедшие одновременно, тогда
как наблюдатель в точке В* заметит,
что событие в точках А* и С*
произойдут не одновременно.
200
57

58.

Следовательно, понятие
одновременности относительно, т. е.
два пространственно разделенных
события, одновременные в одной
ИСО не будут одновременными в
другой ИСО, движущейся
относительно первой равномерно и
прямолинейно со скоростью
ʋ = const.
200
58

59.

Это относится лишь к событиям,
между которыми отсутствуют
причинно-следственная связь.
Причинно связанные события ни в
одной ИСО не будут
одновременными, так как во всех
ИСО событие, являющееся
причиной, всегда будет
предшествовать следствию.
200
59

60.

200
60

61.

15. Преобразования Лоренца.
Следствия из преобразований
Лоренца: сокращение длины
движущихся тел и замедление темпа
хода движущихся часов. Причинноследственная связь в СТО.
200
61

62.

Для описания движения в СТО
используют преобразования
Лоренца, позволяющие переходить
от координат одной инерциальной
системы отсчета к другой,
движущейся относительно первой
равномерно и прямолинейно и
обратно.
200
62

63.

Преобразования Лоренца имеют
наиболее простой вид в случае,
когда сходственные оси декартовых
координат неподвижной К и
движущейся К' инерциальных систем
отсчета попарно параллельны, и
если система К' движется
относительно системы К равномерно
и прямолинейно со скоростью
ʋ = const вдоль, например, оси Х.
200
63

64.

200
64

65.

Начало отсчета времени выбирается
в тот момент, когда координаты
начала 0 и 0' обеих инерциальных
систем отсчета К и К' совпадают,
т. е. t = 0 и t' = 0.
С учетом этого преобразования
Лоренца записываются в виде:
200
65

66.

x t
x
;
2
1 ( / c)
y = y′;
x t
x
;
2
1 ( / c)
y′ = y;
z = z′;
z′ = z;
t x / c
t x / c
t
;
t
.
2
2
1 ( / c)
1 ( / c)
2
2
200
66

67.

Следствия преобразований Лоренца.
Одновременность событий в разных
системах отсчёта.
В системе К в точках x1 и x2
происходят одновременно два
события в момент времени t1 = t2 = b;
200
67

68.

Но в системе К′ эти события
произойдут моменты времени:
b x1 / c
b x2 / c
t1
;
t
.
2
2
2
1 ( / c)
1 ( / c)
2
2
Но если события причинно
связанные, ни в одной из систем
следствие не произойдёт раньше
причины.
200
68

69.

Промежуток времени между
событиями.
Существуют события, вызванные
причинно-следственной связью.
Например, чтобы камень упал в
воду, его нужно бросить.
200
69

70.

Бросок является причиной, а
падение камня в воду – следствием.
1) сначала происходит событие,
являющееся причиной, а затем
происходит событие, являющееся
следствием первого;
2) если устранить событие,
являющееся причиной, то не
последует и другого события.
200
70

71.

В связи с этим в СТО, хотя время и
преобразуется, но
последовательность во времени
между причиной и следствием
сохраняется. Например, в ИСО,
связанной с Землей произошел
выстрел в момент времени t1 в точке
с координатой х1, а пуля попала в
мишень с координатой х2 в момент
времени t2.
200
71

72.

Тогда скорость пули
x x1
u
.
t2 t1
2
Используя преобразования Лоренца
найдем промежуток времени между
этими же событиями в ИСО системы
К′:
200
72

73.

(t2 t1 ) ( x2 x1 ) / c
t2 t1
2
1 ( / c)
(t2 t1 ) u
1 2 ,
2
c
1 ( / c)
2
где скорости u и ʋ << c.
Так как t2 > t1, то и t′2 > t′1.
200
73

74.

Поэтому
(t2 t1 )
t2 t1
2
1 ( / c)
если событие происходит в одной и
той же точке, т. е. х1 = х2.
Следовательно,
2
t t 1 ( / c) ,
200
74

75.

т. е. промежуток времени между
двумя событиями имеет меньшее
значение в ИСО, связанной с точкой,
где происходит событие.
В любой другой ИСО этот временной
интервал будет больше.
Вывод: В движущейся ИСО время
течёт медленнее.
200
75

76.

Промежуток времени Δt –
собственное время тела, в системе,
где тело покоится. Собственное
время всегда меньше, чем время,
отсчитанное по часам, движущимся
относительно тела. Собственное
время – величина инвариантная.
200
76

77.

Эксперименты подтвердили
полученный результат.
Например, время жизни покоящихся
мюонов 2 мкс.
Мюоны же в потоках космических
лучей движутся относительно Земли
со скоростью ʋ = 0,991·c и успевают
пролететь расстояние не распадаясь
6 км, т. е. их время жизни с точки
зрения земного наблюдателя в
десятки раз больше.
200
77

78.

Длина тел в разных системах.
Длина стержня в ИСО равна
разности координат его концов.
Например, λ = х2 – х1, причем
координаты х1 и х2 измеряются
одновременно (наблюдатель
покоится относительно стержня).
200
78

79.

Однако результат изменяется, когда
наблюдатель и стержень движутся
относительно друг друга. Понятие
одновременности относительно и
события одновременные в одной
ИСО не будут одновременны в
другой ИСО, поэтому длина стержня
будет неодинаковой в различных
ИСО.
200
79

80.

Для вычисления длины стержня
используют преобразования
Лоренца.
Например, пусть некоторый
стержень расположен параллельно
оси Х в ИСО К, относительно
которой он покоится.
200
80

81.

В ИСО К′, движущейся относительно
ИСО К равномерно и прямолинейно
со скоростью ʋ = const длина этого
стержня:
λ′ = х′2 – х′1.
200
81

82.

Используя преобразования Лоренца,
имеем
x1 t1
x1
;
2
1 ( / c)
x 2 t2
x2
,
2
1 ( / c)
то есть
( x 2 x1 ) υ(t2 t1 )
λ x2 x1
2
1 (υ/c)
200
82

83.

Если координаты концов отрезка в
ИСО К′ измерены одновременно
(так как t′2 = t′1.), то
λ
2
λ
;
λ
λ
1
(
υ
/
c
)
.
2
1 (υ/c)
λ – собственная длина, длина
измеренная в системе, где тело
покоится.
200
83

84.

Следовательно, длина отрезка в
любой ИСО, относительно которой
он движется, меньше длины отрезка
в неподвижной ИСО.
Однако это не означает, что
стержень деформируется в
движущейся ИСО.
200
84

85.

200
85

86.

16. Закон сложения скоростей в СТО.
Релятивистский импульс. Энергия
релятивистской частицы.
Инварианты преобразования
Лоренца. Интервал.
200
86

87.

Интервал
Любые события характеризуются
точкой, где оно произошло, имеющей
координаты х, у, z и временем t, т. е.
каждое событие происходит в
четырехмерном пространствевремени с координатами х, у, z, t.
200
87

88.

В обычной механике рассматривают
пространственные координаты
отдельно от времени и расстояние
между двумя точками
( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2
2
2
является инвариантной величиной
(не изменяется при переходе из
одной ИСО в другую ИСО).
200
88

89.

В релятивистской механике эта
величина не является инвариантной.
Приходится учитывать четвёртую
величину – время.
В четырёхмерном
пространстве-времени вводят
понятие интервал:
c (t2 t1 ) ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2
2
2
2
Интервал является инвариантом.
200
89
2

90.

Релятивистский закон сложения
скоростей:
u x
ux
ux
, u x
.
u x
u x
1 2
1 2
c
c
где ux – скорость м. т. (тела) в ИСО
К; u′x′ – скорость м. т. (тела) в К′; ʋ –
относительная скорость движения
ИСО К и К′. Все эти скорости
параллельны оси X.
200
90

91.

Для скоростей
параллельных осям Y и Z:
2
2
u y 1 c
u z 1 c
uy
, uz
,
u x
u x
1 2
1 2
c
c
2
2
2
2
uy 1 c
uz 1 c
u y
, u z
.
u x
u x
1 2
1 2
c
c
2
2
200
91

92.

Релятивистский импульс в виде
dr
p m0
dt
обеспечивает инвариантность
закона сохранения импульса по
отношению к преобразованиям
Лоренца,
200
92

93.

здесь dr – перемещение частицы
(материальной точки) в той ИСО, в
которой определяется её импульс;
dt – время, определяемое по часам,
движущихся вместе с частицей
(собственное время).
200
93

94.

Так как,
2
dt dt 1 ( / c) ,
то
m0dr
p
2
dt 1 ( / c)
где
dr
.
dt
200
94

95.

Следовательно, релятивистский
импульс частицы
m0
p
2
1 ( / c)
200
95

96.

Уравнение динамики
dυ
m0
F m0
m0 a
a
2
dt
1 с
200
96

97.

Энергия
Энергия покоя
E0 = m0c2,
Энергия релятивистской частицы
E E0
2
1
m0c
2
2
1 ( /c)
1 ( /c)
m0 – масса покоя.
200
97

98.

Кинетическая энергия
релятивистской частицы
2
m0c
2
T
m
c
E
E
0
0
2
1 ( /c)
p c T T 2m0c
2 2
200
2
98

99.

Полная энергия
E c p m c m0c 1 p m0c
2
2
0
2
2
2
E m0c p 2m0 m0c T
2
2
2
200
99

100.

Инварианта энергии и импульса
E p c m c inv
2
2
2
2
0
4
2
E
2
2
2
2 2
px p y pz m0 c inv
2
c
Величина E/c, px, py, pz образует
четырёхвектор (вектор энергииимпульса).
200
100

101.

Рассмотрим неупругое соударение
двух тел массой m каждое.
Относительно системы К′ тела
движутся навстречу друг другу со
скоростью ʋ1 = – ʋ2 = ʋ0.
К′
mʋ1
К
mʋ2
ʋ0
x′
x
200
101

102.

Система К′ движется относительно
системы К со скоростью ʋ0.
В системе К′
p1 p 2 0
В системе К
p1 p2 p1 ,
200
p2 0.
102

103.

Согласно переходу
1 x 0 0 0
2 0
1x
2
0 1 x
0 0
0
1 2
1 2
1 2
c
c
c
0 0
2 x
0
0 0
1
2
c
импульс до удара будет
2m 0
m 1x m 2 x
2
2
1 0 c
200
103

104.

Или
m 1
p1
2
1 ( 1/c)
заменяя скорость ʋ1 на ʋ0:
2m 0 1 /c
p1
2
2
( 0 c)
1
1
1
2
2
1 0 /c
с
m 1
2
0
200
2
m 0
0
1
с
2
104

105.

Но должно быть
2m 0
p
2
1 ( 0 c)
200
105

106.

Такой результат получили, так как не
учли массу системы
2m
2
M
,
2
m
M
1
(
c
)
.
0
2
1 ( 0 c)
200
106

107.

Это обусловлено тем, что
кинетическая энергия частиц
превратилась в эквивалентное
количество энергии покоя, а это в
свою очередь привело к
возрастанию массы на Δm = ΔE0/c2.
Изменение массы связано с
энергией. Сама же масса является
инвариантной величиной.
200
107

108.

200
108

109.

ЛЕКЦИЯ № 6
Элементы механики твёрдого тела.
200
109

110.

ВОПРОСЫ
17. Условия равновесия твёрдого
тела. Мгновенная ось вращения.
18. Кинетическая энергия
вращающегося твёрдого тела.
Работа момента силы.
200
110

111.

19. Основной закон динамики
вращательного движения твёрдого
тела. Момент инерции, его свойства.
Теорема Штейнера (теорема о
параллельных осях).
20. Закон сохранения момента
импульса изолированной системы.
Изотропность пространства и закон
сохранения момента импульса.
Гироскоп.
200
111

112.

17. Условия равновесия твёрдого
тела. Мгновенная ось вращения.
200
112

113.

В случае описания положения и/или
движения материальной точки
достаточно 3-х степеней свободы.
Степень свободы – число
независимых координат,
требующихся для однозначного
определения положения тела.
200
113

114.

Для абсолютно твёрдого тела (тело,
деформациями которого можно
пренебречь) необходимо 6 степеней
свободы: 3 – положение в
пространстве, 3 – ориентация в
пространстве.
Запишем уравнения твёрдого тела в
векторном виде
(2 уравнения вместо 6).
200
114

115.

Уравнение динамики движения
центра
масс
d
m
Fвнеш
dt
Уравнение динамики вращательного
движения
dL
M внеш
dt
200
115

116.

Если Fвнеш и Mвнеш равны нулю, то
тело будет находиться в равновесии.
Условия равновесия твёрдого тела:
d
m
Fвнеш
dt
dL
0,
M внеш 0.
dt
200
116

117.

Не всегда можно пользоваться
моделью абсолютно твёрдого тела.
Пример: рассмотрим балку на 3-х
опорах. Для данной системы можно
записать только два уравнения
равновесия
F1 + F2 + F3 = P,
F2 · ℓ + F3 · x = P · ℓ · 1/2.
200
117

118.

F1
F3
F2
P
x
ℓ
Здесь два уравнения и три
неизвестных: F1, F2, F3 .
200
118

119.

Данная задача оказалась
неопределённой, решить её можно,
если придать одной из сил
произвольное значение.
Механические системы, подобные
данной, называются статически
неопределёнными.
200
119

120.

Физики про себя шутят: если им дать
задачу о равновесии стола на 4
ножках, то они, почти сразу, выдадут
ответ о столе на 1 ножке, спустя
некоторое время о столе с
бесконечным числом ножек, и будут
бесконечно долго решать задачу о
равновесии стола на 4 ножках.
200
120

121.

Любое движение твёрдого тела
может быть представлено как
наложение двух типов движения:
поступательного и вращательного;
соответственно скорость тела можно
представить в виде
0 0 ω r
ʋ0 – поступательная скорость, ʋ/ –
скорость, обусловленная
вращением
ω r
200
121

122.

Элементарное перемещение
твёрдого тела при плоском движении
всегда можно представить как
поворот вокруг некоторой оси,
называемой мгновенной осью
вращения. Мгновенная ось может
находиться как в самом теле, так и
вне его. Мгновенная ось меняет своё
положение относительно тела и
относительно неподвижной системы
отсчёта.
200
122

123.

Пример: катящийся цилиндр.
Плоское движение твёрдого тела
можно рассматривать как ряд
последовательных элементарных
вращений вокруг мгновенных осей.
Пример неплоского движения:
пропеллер самолёта совершает
вращение вокруг своей оси и
поступательное движения вдоль
этой оси.
200
123

124.

ω
dφ
ʋ
ʋ
O/
O
200
124

125.

200
125

126.

18. Кинетическая энергия
вращающегося твёрдого тела.
Работа момента силы.
200
126

127.

Получим выражение для
кинетической энергии вращающегося
тела. Рассмотрим вращение тела
вокруг неподвижной оси Z.
Линейная скорость элементарной
массы mi равна ʋi = ωRi, Ri –
расстояние от массы mi до оси Z, ω –
угловая скорость вращения.
200
127

128.

Z
ω
fi
Fi
Ri
mi
ri
O
200
128

129.

Кинетическая энергия элементарной
массы mi:
mi
1
2 2
Eki Ti
mi ω Ri
2
2
2
i
Кинетическая энергия всего тела:
1 2
1 2
Iω
2
T Ti ω mi Ri ω I
2
2
2
i
200
2
129

130.

Рассмотрим силы, действующие на
элементарную массу mi: внешние Fi,
внутренние fi (эти силы
перпендикулярны оси вращения,
иначе будет сдвиг вдоль оси Z).
Сумма моментов внутренних сил
равна нулю. Суммарный момент
внешних сил приведёт к совершению
работы.
200
130

131.

dA
r F ωdt Mωdt M ωωdt M ωd
С другой стороны, работа внешних
сил идёт на приращение
кинетической энергии вращения:
Iω
d A dT d
Iωdω
2
Iωεdt Mωdt
2
200
131

132.

Так, мяч или обруч, брошенный
горизонтально без вращения,
раскрутится. Кинетическая энергия
вращения получится за счёт
действия силы трения, точнее за
счёт действия пары сил: силы трения
и силы инерции. Произойдёт
частичный переход энергии
кинетической энергии
поступательного движения в
кинетическую энергию вращения.
200
132

133.

И наоборот, раскрученный обруч,
опущенный на горизонтальную
опору, приобретёт горизонтальную
скорость за счёт работы силы
трения. При движении без
проскальзывания выполняется
соотношение: ʋ = ωR. Если сила
трения равна нулю, то в первом
случае тело будет скользить без
вращения, во втором – крутиться на
одном месте.
200
133

134.

Теперь вычислим кинетическую
энергию, поступательную и
вращательную при плоском
движении.
Скорость i-й элементарной
массы
i 0 ω ri
ʋ0 – поступательная скорость
некоторой точки О, связанной с
телом, например, центра масс.
ri – радиусвектор i-й элементарной
массы относительно точки О.
200
134

135.

Получим выражение для
кинетической энергии твёрдого тела:
2
mi
1
Eki Ti
mi 0 ω ri
2
2
2
1
2
mi 0 2 0 ω ri ω ri ,
2
2
i
200
135

136.

Отметим следующее:
ω ri ω Ri
Ri – расстояние от точки с массой mi
до оси вращения.
2 0 ω ri 2 0 ω ri
Запишем кинетическую энергию
всего тела с учётом приведённых
замечаний:
200
136

137.

здесь Σmi = m – масса всего тела,
mi ri mrc
если в качестве точки О взять центр
масс, то rc = 0.
Момент инерции относительно
центра масс (наименьший при
данной ориентации):
m R
i
2
i
I0 Ic
200
137

138.

В итоге получили выражение
кинетической энергии
поступательного и вращательного
движения (ось вращения проходит
через центр масс):
m
I cω
Ek T
2
2
2
c
200
2
138

139.

200
139

140.

19. Основной закон динамики
вращательного движения твёрдого
тела. Момент инерции, его свойства.
Теорема Штейнера (теорема о
параллельных осях).
200
140

141.

Рассмотрим вращение тела вокруг
неподвижной оси
dL
M внеш
dt
dLZ
M Zвнеш Iε Z
dt
В общем случае вектор L не
совпадает по направлению с осью
вращения Z и поворачивается
вместе с телом вокруг этой оси,
описывая конус.
200
141

142.

Z
L
ω
O
200
142

143.

В случае однородного тела,
симметричного относительного оси
вращения, момент импульса
относительно точки O, лежащей на
оси вращения, совпадает по
направлению с осью. В этом случае
L LZ ωI
случай вращения вокруг оси
симметрии,
LZ ω Z I
в общем случае.
200
143

144.

Момент инерции зависит от выбора
оси.
Свободная ось – ось, положение
которой в пространстве остаётся
неизменным при вращении вокруг
неё тела в отсутствии внешних сил.
Главные оси – для любого тела
существует 3 взаимно
перпендикулярных свободных оси,
проходящие через центр масс.
200
144

145.

200
145

146.

Вычислим момент инерции
однородного шара. Разобьём его на
бесконечно тонкие сферические
слои толщиной dr.
Масса шара m. Радиус шара R.
Масс сферического слоя
dm = m · dV/V.
Объём сферического слоя
dV = 4πr2 · dr.
Момент инерции сферического слоя
dI = 2/3 dm · r.
200
146

147.

R
dr
200
147

148.

Момент инерции шара складывается
из моментов инерции сферических
слоёв:
R
R
R
4
2 2
r
I dI r dm 2m 3 dr
R
0
0 3
0
5 R
R
2m 4
2m r
2
2
3 r dr 3
mR
R 0
R 50 5
200
148

149.

Если происходит параллельный
перенос оси вращения, то момент
инерции увеличивается, согласно
теореме Штейнера:
I I c ma
2
IC – момент инерции тела,
относительно оси, проходящей через
центр масс, это минимальный
момент инерции при данной
ориентации, m – масса тела, a –
расстояние между осями.
200
149

150.

Моменты инерции:
момент инерции кольца (обруча)
mR
2
2mR
200
2
mR
2
2
150

151.

Момент инерции диска
mR
2
2
3mR
2
200
2
mR
4
2
151

152.

Момент инерции шара и сферы
2
2
mR
5
2
2
mR
3
200
152

153.

Момент инерции стержня
1
2
mL
12
1 2
mL
3
200
153

154.

200
154

155.

20. Закон сохранения момента
импульса изолированной системы.
Изотропность пространства и закон
сохранения момента импульса.
Гироскоп.
200
155

156.

Из основного уравнения динамики
вращательного движения
L M
Можно получить закон сохранения
момента импульса (аналогично
закону сохранения импульса).
В замкнутой системе (M = 0)
суммарный момент импульса
остаётся
постоянным.
L const
143
156

157.

Пространство однородно,
следовательно, параллельный
перенос системы из одного места в
другое не изменяет свойств системы
– закон сохранения импульса
нарушаться не будет.
143
157

158.

Пространство изотропно,
следовательно, поворот замкнутой
системы как целого не отражается
на её механических свойствах –
закон сохранения момента импульса
нарушаться не будет.
143
158

159.

Как правило, момент инерции не
изменяется (I = const),
следовательно, в силу закона
сохранения импульса угловая
скорость тоже остаётся постоянной
ω = const.
200
159

160.

Если же момент инерции можно
изменять, то угловая скорость тоже
изменяется. Например, можно
увеличить скорость вращения
стержня, перемещая грузы на
стержне к оси вращения.
200
160

161.

Гироскоп (волчок) – массивное
симметричное тело, вращающееся с
большой скоростью вокруг оси
симметрии (ось гироскопа).
При попытке вызвать поворот
гироскопа наблюдается
гироскопический эффект: поворот
вокруг оси параллельной
направлению действия сил, т.е.
перпендикулярно оси поворота.
200
161

162.

dL
F1
L/
L
dφ
M
Z
Y
F2
X
200
162

163.

Пара сил F1 и F2 (F1 = F2)
перпендикулярны плоскости рисунка
(ось X), пытаются повернуть тело
(или придать вращение) вокруг
горизонтальной оси (ось Y), момент
сил M направлен влево,
следовательно, приращение
момента импульса dL будет также
направлено влево.
200
163

164.

Поскольку момент импульса L был
направлен вертикально вверх
(ось Z), а его приращение
направлено влево, то получается что
вектор момента импульса L, будет
поворачиваться вокруг оси X против
часовой стрелки (вектор L переходит
в вектор L′).
200
164

165.

В самом деле
dL M dt , dL M ,
L L dL.
200
165

166.

Угол поворота и угловая скорость
поворота оси вращения:
dL
dt
d
M
L
L
d M
ω
M ω L .
dt
L
200
166

167.

Момент силы, вызывающий поворот
оси гироскопа, угловая скорость
поворота и момент инерции связаны
следующим выражением
M ω L
200
167

168.

Например, волчок, раскрученный в
поле тяжести Земли будет
испытывать поворот оси вращения.
В поле сил тяжести ось гироскопа с
неподвижной точкой поворачивается
вокруг вертикальной оси, описывая
конус. Такое движение называется
прецессией.
200
168

169.

200
169

170.

ЛЕКЦИЯ № 7
Элементы динамики сплошных
сред.
200
170

171.

ВОПРОСЫ
21. Элементы гидродинамики.
Идеальная несжимаемая жидкость.
Уравнение неразрывности струи.
Уравнение Бернулли. Основное
уравнение гидростатики. Уравнение
Эйлера.
22. Течение вязкой несжимаемой
жидкости в трубе. Формула
Пуазейля. Ламинарное и
турбулентное течение.
200
171

172.

200
172

173.

Основные определения
С точки зрения механики жидкости и
газы могут быть определены как
такие среды, в которых при
равновесии касательные
напряжения существовать не могут.
Pτ = 0
Pn ≠ 0
200
173

174.

Газы занимают весь
предоставленный объём. Жидкость
обладает собственным объёмом,
который изменяется лишь
незначительно с изменением
внешнего давления.
Идеальная жидкость – жидкость, в
которой внутреннее трение
(вязкость) полностью отсутствует.
200
174

175.

Для описания движения жидкости
указывают для каждой точки
пространства вектор скорости как
функцию времени.
200
175

176.

Совокупность векторов ʋ, заданны
для всех точек пространства,
образует поле вектора скорости.
Линии тока – линии, касательные к
которым совпадают с векторами ʋ.
Густота линий пропорциональна
модулю скорости.
Стационарное течение – если вектор
скорости в каждой точке остаётся
постоянным.
200
176

177.

200
177

178.

Векторные поля
Градиент – вектор, направленный в
сторону наибольшего изменения
поля.
Если каждой точке P с координатами
x, y, z, сопоставляется значение
скалярной величины φ = φ(x, y, z),
говорят, что задано скалярное поле
φ.
grad i
j
k
y
z
x
200
178

179.

Поток вектора
S cosα,
d dS cosα dSn
dS
200
n
α
179

180.

Можно сравнить с потоком жидкости:
V
1
S cosα t
t
t
Поток вектора «a» через
поверхность S
a adSn andS
S
S
Если вектор входит в область,
ограниченную поверхностью S, то
ставят знак «+», если выходит –
ставят знак «–».
200
180

181.

Дивергенция (divergentia (лат) расхождение) – величина, численно
равная плотности точек, в которых
начинаются (+)
либо оканчиваются (–) линии поля.
200
181

182.

a
diva
,
V
1
diva lim adS .
V 0
VS
Рассмотрим дивергенцию некоторой
точки с точки зрения трёхмерного
пространства. Выделим некоторую
точку, объём которой равен
Δx·Δy·Δz.
200
182

183.

a
ΔZ
Z
Y
ΔY
X
200
ΔX
183

184.

a ax y z a y x z az x y
ax a y az
V
x y z
ax a y az
V
a
z
y
x
a ax a y az
diva
V x y z
200
184

185.

Теорема Остроградского-Гаусса
(Теорема Гаусса):
Поток вектора a сквозь замкнутую
поверхность S равен алгебраической
сумме источников поля (дивергенция
вектора a) заключённых внутри этой
поверхности в объёме V.
Дивергенция – мощность источников
поля, отнесённая е единице объёма.
200
185

186.

Циркуляция
Рассмотрим какой-нибудь канал в
потоке. Если весь поток заморозить,
оставить только этот канал, то в нём
может сохраниться движение.
Циркуляция – это произведение
скорости жидкости на длину контура.
a
d
a
d
L
L
200
186

187.

200
187

188.

Примеры: поворот стрелы вокруг
своей оси при полёте, вертушка в
ручье.
200
188

189.

Ротор – плотность порождения
циркуляции.
1
rota n lim
ad
S 0
S L
200
189

190.

az a y
rota x ,
y
z
ax az
rota y ,
z
x
a y ax
rota z .
x y
200
190

191.

i
rota
x
ax
200
j
y
ay
k
z
az
191

192.

Теорема Стокса:
Циркуляция вектора a по
произвольному контуру L равна
потоку вектора rota через
произвольную поверхность S,
ограниченную данным контуром.
a
d
rot
a
d
S
n
L
200
192

193.

200
193

194.

21. Элементы гидродинамики.
Идеальная несжимаемая жидкость.
Уравнение неразрывности струи.
Уравнение Бернулли. Основное
уравнение гидростатики. Уравнение
Эйлера.
200
194

195.

Рассмотрим идеальную жидкость
(жидкость, в которой внутреннее
трение (вязкость) полностью
отсутствует). Также, будем считать,
что жидкость несжимаемая.
200
195

196.

Рассмотрим бесконечно малый
объём жидкости в виде цилиндра,
ось цилиндра II оси X.
dx
P(x)
P(x+dx)
200
196

197.

Силы давления на боковую
поверхность не учитываем, так как
их проекция на ось X равна нулю.
Остаётся давление, действующее на
основания, вычислим суммарную
силу давления
[P(x) – P(x+dx)]dS.
200
197

198.

Разность в скобках можно заменить
дифференциалом:
dP
P
P x P x dx dS dxdS dV
dx
x
P
– частная производная
x
(y, z, t = const).
200
198

199.

Таким образом, на единицу объёма
будут действовать сила F:
P
P
P
Fx , Fy , Fz
x
y
z
или
F gradP.
200
199

200.

В состоянии равновесия сила F
(сила давления) должна
уравновешиваться силой f
(сила f – объёмная плотность
массовых сил, то есть зависит от
массы, пример f = ρg – сила
тяжести).
200
200

201.

Основное уравнение гидростатики:
f grad P
Уравнение Эйлера:
d
ρ
f gradP
dt
200
201

202.

Основное уравнение гидростатики
gradp = f,
здесь p – давление жидкости, f –
объёмная плотность массовых сил.
Пример – сила тяжести
Fт mg
f
ρg
V
V
здесь V – объём, m – масса, g –
ускорение свободного падения,
ρ – плотность жидкости.
200
202

203.

Уравнение Эйлера
dV
ρ
f gradp
dt
здесь dV – дифференциал скорости
потока жидкости, dV/dt – ускорение
жидкости в данной точке
пространства.
Для равновесия жидкости
необходимо, чтобы силовое поле, в
котором она находится, было
консервативным.
200
203

204.

Условие неразрывности жидкости
Рассмотрим стационарный поток
идеальной несжимаемой жидкости,
рассмотрим некоторую трубку тока,
ограниченную линиями тока,
например, трубу с переменным
сечением.
200
204

205.

Поскольку жидкость несжимаема,
объём входящий равен объёму
выходящему, но поперечное сечение
изменяется, это приводит к
изменению скорости:
V1 = V2,
S1 · ʋ1 · t = S2 · ʋ2 · t = const,
S · ʋ = const.
Это и есть условие неразрывности
жидкости.
200
205

206.

S1
S2
1
2
линии тока
трубка тока
200
206

207.

Уравнение Бернулли
Ещё раз рассмотрим некоторую
трубку тока.
В силу неразрывности
ΔV1 = ΔV2 = ΔV.
200
207

208.

200
208

209.

Так как нет сил трения, то
приращение энергии выделенного
объёма равно:
2
2
ρ V 1
ρ V 2
E
ρ Vgh1
ρ Vgh2
2
2
и работа сил давления на площадки
S1 и S2
A p1S1 1 p2 S2 2 p1 p2 V
равна изменению энергии.
200
209

210.

Приравниваем ΔE и A, делим на ΔV,
получаем уравнение Бернулли:
ρ
ρ
ρgh1 p1
ρgh2 p2 const
2
2
2
1
2
2
200
210

211.

Уравнение Бернулли объясняет
разность давления в трубке тока с
переменным сечением.
200
211

212.

200
212

213.

200
213

214.

22. Течение вязкой несжимаемой
жидкости в трубе. Формула
Пуазейля. Ламинарное и
турбулентное течение.
200
214

215.

Рассмотрим две плоские пластины,
S – площадь пластинок,
ℓ – длина пластинок,
d – расстояние между пластинами.
Одна движется со скорость ʋ под
действием некоторой силы F.
Динамометр у нижней пластины,
неподвижной, спустя некоторое
время покажет усилие, действующие
на неподвижную пластину, равное F.
200
215

216.

Z
S
ʋ
F
F
108
216

217.

Сила передаётся за счёт трения
между слоями жидкости
(вязкое трение)
d
F η S
dz
η – коэффициент вязкости или
внутреннего трения (динамическая
вязкость),
размерность – Па·с (СИ),
Пуаз (СГС),
1 Па·с = 10 П.
108
217

218.

Стационарное течение вязкой
жидкости
Ламинарное течение – течение
жидкости как бы отдельными
слоями, которые не
перемешиваются.
Турбулентное течение – течение,
при котором происходит энергичное
перемешивание слоёв жидкости.
200
218

219.

При течении в трубе (радиус трубы
R) в центре трубы (r = 0) скорость
максимальна ʋmax. На стенке трубы
скорость равна нулю (r = R).
Зависимость скорости вязкой
жидкости от радиуса r (расстояние от
оси трубы):
p1 p2 2 2
R r
4ηL
200
219

220.

здесь p1 и p2 – давление на входе и
выходе трубы, η – коэффициент
вязкости, L – длина трубы, ρ –
плотность жидкости.
L
R
p1
r
p2
200
220

221.

Поток жидкости через трубу за одну
секунду (формула Пуазейля)
p1 p2 4
Q π
R
8ηL
200
221

222.

Формула Пуазейля справедлива для
ламинарного течения. Если число
Рейнольдса меньше определённого
значения, то течение жидкости
считают ламинарным, если значение
больше, то течение турбулентное.
Число Рейнольдса:
ρ 0 0
Rе
η
ν
ν η ρ – кинематическая вязкость.
200
222

223.

200
223