Числовые функции и графики

1.

11.10.2021
К л а с с н а я р а б о т а.
Бондарева Л.А.

2. Числовые

Функции
и графики

3.

немного из истории

4.

Функция
–
это
одно
математических
понятий,
переменными величинами.
из
основных
общенаучных
и
выражающее
зависимость
между
Слово «функция» (от латинского functio – совершение,
выполнение). Лейбниц употреблял это слово с 1673 г.
Как термин «функция от x» стало употребляться впервые в
1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница,
выдающимся швейцарским математиком Бернулли
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
Дании́л Берну́лли

5.

Один из самых замечательных
математиков
Леонард
Эйлер
(1707 – 1783), вводя понятие
функции, говорил, что «когда
некоторые количества зависят
от других таким образом, что
при изменении последних и
сами
они
подвергаются
изменению,
то
первые
называются функциями вторых».
Николай Иванович Лобачевский
(1792-1856)
леонард эйлер
В формировании современного
понимания
функциональной
зависимости приняли участие
многие крупные математики.
Описание
функции,
почти
совпадающее с современным,
встречается уже в учебниках
математики
начала
XIX
в.
Активным сторонником такого
понимания функции был Н.И.
Лобачевский.

6.

«Когда математика стала изучать
переменные величины и функции,
как только она научилась
описывать процессы, движение,
так она стала необходима всем».
Ф.Энгельс

7.

Функции вокруг нас

8.

Первый в жизни график

9.

Функции вокруг нас
Кардиограмма – график работы сердца

10.

«Великий и могучий русский язык…»
Пословицы и поговорки с точки зрения
функциональной зависимости
в
ы
с
о
т
а
И сокол выше солнца не летает
солнце
расстояние
Бездонную бочку водой не
наполнишь
Близок локоть, да не
укусишь
В поле ветра не поймаешь
Поперек себя не
перепрыгнешь
Поперек батьки в пекло не
суйся

11.

«Великий и могучий русский язык…»
Прямая зависимость
с
п
р
о
с
знания
Обратная зависимость
Количество разговора
Кто много знает, с того много и
спрашивается
Каков строитель, такова и обитель
К чему ребенка приучишь, то от него и
получишь
Кто много читает, тот много знает
Как аукнется, так и откликнется
Аппетит приходит во время еды
С плохими косцами плох и укос
Меньше говори, больше делай
Работает – как ребенок, а ест – как
детина
В умной беседе ума набраться, а в
глупой свой растерять
Худой мир лучше доброй войны
Тише едешь – дальше будешь
дело
Не все то золото, что блестит

12.

13.

Сегодня здесь затеи и задачи,
Смех и шутки не для нас!
Пожелаем всем удачи –
За работу, в добрый час!

14.

Определение функции
12
У=f (X)
у
10
8
6
4
2
-12 -10
-8
-6
-4
-2
0
-2
-4
-6
-8
-10
2
4
6
8
10
12
х

15.

Правило соответствия
(зависимости) между
множествами :
«Каждому жильцу дома будет
соответствовать номер его
квартиры».

16.

Правило соответствия (зависимости) между множествами :
«Каждому жильцу дома будет соответствовать номер его квартиры».
Смирнов
Петров
Петрова

17.

Соответствие
(зависимость)
Смирнов
Соответствие
(зависимость)
Петров

18. Определение функции

f(x)
y = f(x)

19.

Что такое функция?
Функциональная зависимость, или
функция, - это такая зависимость между
двумя переменными, при которой каждому
значению независимой переменной
соответствует единственное значение
зависимой переменной.
Независимую переменную иначе называют
аргументом, а о зависимой говорят, что она
является функцией от этого аргумента. Все
значения, которые принимает независимая
переменная, образуют область
определения функции.

20.

Существует несколько способов задания
функции:
1.С помощью таблицы.
2.Графический.
3.С помощью формулы.
Графиком функции называется множество всех
точек координатной плоскости, абсциссы которых
равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции.

21.

Какие из данных графиков являются
графиками каких-либо функций?

22.

Область определения
функции
Областью определения функции называют
множество всех значений, которые может
принимать ее аргумент (х) D(х)
у 4х 3
у 2 х 3х 5
2
2
у
х 1
Все действительные
числа
Все действительные
числа
Х+1≠0 ⇒ Х≠-1

23.

Множество значений функции
Множеством значений функции называют
множество всех значений которые может
принимать переменная у Е(у)
у 4х 3
у х
2
1
у
х
у х
Все действительные
числа
у≥0
у≠0
у≥0

24.

25.

Функция – зависимость одной переменной
от другой, причем для любых значений х
соответствует единственное значение
функции
Х – независимая (аргумент)
У – зависимая (значение функции)
D(y) – область определения
Е(у) – область значения
График функции – множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы
которых равны значениям аргумента, а
ординаты соответствующим значениям
функции

26. Найдите область определения и значений функции

а)
4
б)
в)
5
г)
д)
-3
( -1;5]
[ -3;4)

27. Промежутки, в которых функция сохраняет знак, называют промежутками знакопостоянства

У>0 при X∈ (-3; 7);
У<0 при X ∈ (-5;-3) ∪ (7;9)
У=0 при X=-3 и X=7

28. Возрастающая функция.

у
у2
у1
х1
х2
х
0
Х2>Х1 , то У2>У1.
-10

29. Убывающая функция.

у
у1
х1
0
х2
х
у2
Х2>Х1 , то У2<У1.
-10

30.

Провести исследование функции

31.

Способы задания функции:
1. Формулой (аналитический)
у х
2
2. Табличный
3. Графический
4. Словесный
у=2х+3
х -1 0
1
2
3
у
1
4
9
1
0

32. Виды функций

Линейная
Прямая пропорциональность
Обратная пропорциональность
Квадратичная
Кубическая
Квадратный корень
Модуль
Преобразование графиков

33.

у 4 х 8
у 9,5 х
9
у
х
у х
у х 4 х
2
х
у 0,6 х 2
у х
у
10
у 3х 5
у 0,2 х
Линейные функции.
y = ах + b
3

34. Линейная функция

у = kх + b
у = 2х +1
график – прямая
у
х 0 1
у 1 3
0
х

35.

у
0
у
х
0
х
если k > 0, то угол наклона если k < 0, то угол наклона
прямой у = kx + b к оси x прямой у = kx + b к оси x
острый
тупой

36.

Выберите линейную функцию, график которой
изображен на рисунке
у= х-2
у=х–1
у = 0,5х
у=х+2
у=-х+1
у = х +2
у=2–х
у=-х-1
у = 2х
Молодец!
Подумай!
*

37.

y=-0,5x+2 y=-0,5x y=0,5x-2
y=-0,5x+2 y=-0,5x
y=-0,5x-2
y=0,5x+2 y=0,5x-2
y=0,5x
y
-2
y
3
3
2
2
1
-1 0
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
x
-2
1
-1 0
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
x

38. Еще раз повторим: *Функция вида у = kx + b называется линейной. *Графиком функции вида у = kx + b является прямая. *Для

построения прямой необходимы только две
точки, так как через две точки проходит
единственная прямая.
*Коэффициент k показывает возрастает или
убывает прямая.
*Коэффициент b показывает, в какой точке прямая
пересекает ось OY.
*Условие параллельности двух прямых.

39.

у 9,5 х
9
у
х
у
х
Функции
у х 4 х
у х
х
у
10
у 0,2 х
2
у 0,6 х 2
3
прямой
пропорциональности.
у = kx

40. Прямая пропорциональность

у = kх график – прямая, проходящая
через (0;0)
у
у = 3х
х 0 1
у 0 3
0
х

41.

Найдите
соответствия:
у 0,5 х
у х 2
у 3х 1
у 3
Какой график
является графиком
функции прямой
пропорциональности?

42.

у х 4 х
9
у
х
у
у х
х
2
у 0,6 х 2
3
Функции
обратной
пропорциональности
у = k/x
И все!

43. Обратная пропорциональность

k
у= x
4
у= x
x=0
х 4 2 1 -4 -2 -1
у 1 2 4 -1 -2 -4
График - гипербола
у
0
х

44.

Найдите
1
у
х
соответствия:
1
у 2
х
1
у 2
х
1
у
х
1.
3.
2.
4.

45.

Выберите описание каждой
математической модели.
у=а
y = kx
y = kx + m
y = x2
y = 1/x
Гипербола
Прямая, параллельная
оси Ох
Парабола
Прямая, проходящая через
начало координат
Прямая

46. Квадратный корень

у= х
график – ветвь параболы
в первой четверти
у
х 0 4 9
у 0 2 3
0
х

47. Модуль

у= х
{
х =
x, если х > 0
-x, если х < 0
у
х 0 3 -3
у 0 3 -3
0
х

48.

Ответ:

49.

Решите самостоятельно:
Ответ:

50. . Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ: А) y = -3x;
Б) y = 3x;
В) y = -1/3x
А
Б
В
2
1
3

51. На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов

k и
b.
КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) k>0, b<0;
2) k<0, b<0;
А
Б
В
3
1
2
3) k>0, b>0

52. домашнее задание: