Основные показатели безотказности

1. Основные показатели безотказности

•вероятность безотказной работы;
•плотность распределения отказов;
•интенсивность отказов;
•средняя наработка до отказа.

2. Схема испытаний

• Пусть на испытания поставлено N
одинаковых серийных объектов.
• T = {0, t1, … tN } = {t} – случайная величина
наработки объекта до отказа;
• N(t) – число объектов, работоспособных к
моменту наработки t;
• n(t) – число объектов, отказавших к моменту
наработки t;
• Δn(t, t +Δt) – число объектов, отказавших в
интервале наработки [t, t +Δt ];
• Δt – длительность интервала наработки.

3. 1. Вероятность безотказной работы

Статистическая оценка
N (t )
ˆ
P (t )
N
Поскольку N(t) = N - n(t), то
ˆP(t ) 1 n(t ) 1 Qˆ (t )
N

4.

Вероятностное определение
P(t ) P{T t}
Q(t ) P{T t}
P(t ) P(t t )
Q(t , t t ) 1 P(t , t t )
P(t )

5. 2. Плотность распределения отказов

Статистическая оценка
ˆf (t ) n(t , t t) [ед.наработки 1 ]
N t
Поскольку Δ n ( t, t + Δt ) = n ( t + Δt ) - n(t)
ˆ (t , t t )
n
(
t
t
)
n
(
t
)
1
Q
fˆ (t )
(Qˆ (t t ) Qˆ (t ))
N t
t
t

6.

Вероятностное определение
Qˆ (t , t t ) dQ(t ) d[1 P(t )]
dP(t )
f (t ) lim
t
dt
dt
dt
t 0
Поскольку Q(t) = P{T < t}, то
t
Q(t ) P{0 T t} P{T (0, t )} f (t )dt
0
P(t ) P{t T } f (t )dt
t
t
0
0
t
f (t )dt f (t )dt f (t )dt Q(t ) Р(t ) 1

7. 3. Интенсивность отказов

Статистическая оценка
n(t , t t )
ˆ
(t )
[ед.наработки 1 ]
N (t ) t
Вероятностная оценка
n(t , t t ) N n(t , t t ) N
ˆ
(t )
N (t ) t
N
N t
N (t )
ˆ (t , t t ) 1
Q
ˆ (t )
t
Pˆ (t )
Qˆ (t , t t ) 1
dQ (t ) 1
f (t )
(t ) lim
t
dt
P (t ) P (t )
t 0
Pˆ (t )

8. Уравнение связи показателей надежности

f (t )
(t )
P (t )
dP (t ) dt (t ) P (t )
умножив обе части на dt / P(t), получим
dP(t) / P(t) = -λ(t) dt.
Интегрируя от 0 до t и принимая во внимание, что при t= 0 ВБР
объекта P(0) = 1, получаем
t
t
dP(t )
0 P(t ) ln P(t ) 0| ln P(t ) 0 (t )dt
t

9. Откуда уравнение связи основных показателей надежности имеет вид:

t
P(t ) exp{ (t )dt}
0
Величина λ (t) dt – есть вероятность того, что элемент,
безотказно проработавший в интервале наработки [0, t],
откажет в интервале [t, t + dt].
Уравнение связи показывает, что все показатели надежности
P(t), Q(t), f(t) и λ (t) равноправны в том смысле, что зная один
из них, можно определить другие.

10. 4. Средняя наработка до отказа

Статистическая оценка
1
ˆ
T0
N
N
t
i
1
где ti – наработка до отказа i-го объекта.
При вероятностном определении средняя наработка
до отказа представляет собой математическое
ожидание (МО) случайной величины T и
определяется:
T0 M {T } t f (t )dt
0

11. Используя выражение для плотности распределения отказов

dP (t )
f (t )
dt
и интегрирование по частям
T0 P(t )dt
0
с учетом того, что P(0) = 1, P(∞) = 0.
P (t)
средняя наработка до отказа
геометрически
интерпретируется как
1
площадь под кривой P(t)
0
t

12.

На практике также представляют интерес условные средние
наработки:
1) средняя полезная наработка (T0|t≤t1 ) определенная при
условии, что при достижении наработки t1 все оставшиеся
работоспособными объекты снимаются с эксплуатации;
2) средняя продолжительность предстоящей работы (T0|t>t1 )
при условии, что объект безотказно работал на интервале
(0, t1).
Причины использования этих показателей:
1. Высоконадежные объекты (элементы электронных схем),
как правило, эксплуатируются меньший срок чем T0 (tэкс <
T0), т. е. заменяются по причине морального старения
раньше, чем успевают наработать T0.
2. Часто для указанных объектов сокращают период
испытаний (проводят до наработок соответствующих их
моральному старению), поэтому T0 в таком случае
понимают как среднюю наработку, которая имела бы место
в действительности, если бы ИО оставалась такой, какой
она была в начальный период испытаний.

13.

средняя полезная наработка T0|t≤t1
t1
T0|t t1 P(t )dt
0
средняя продолжительность предстоящей работы T0|t>t1
T0|t t1
1
M {T t1}
P(t )dt
P(t1 ) t1
P (t)
1
T0|t>t1
0
T0|t>t1·P(t)
t1
t

14.

В
то же время средняя наработка не может полностью
характеризовать безотказность объекта.
Так при равных средних наработках до отказа T0 надежность
объектов 1 и 2 может весьма существенно различаться.
Очевидно, что в виду большего рассеивания наработки до
отказа (кривая ПРО f2(t) ниже и шире), объект 2 менее надежен,
чем объект 1.
Поэтому для оценки надежности объекта необходимо еще знать и
показатель рассеивания случайной величины T = {t}, около
средней наработки T0.
К числу показателей рассеивания относятся дисперсия и среднее
квадратичное отклонение (СКО) наработки до отказа.
f(t)
f1(t)
f2(t)
0
t

15.

Дисперсия случайной величины наработки:
статистическая оценка
N
1
2
ˆ
Dˆ
(
t
T
)
i 0
N 1 1
вероятностное определение
D D{T } M {(T T0 ) 2 } (t T0 ) 2 f (t )dt
0
СКО случайной величины наработки:
ˆ
Sˆ 2 D
S 2 D{T }
Средняя наработка до отказа T0 и СКО наработки S имеют
размерность [ед. наработки], а дисперсия D - [ед. наработки2].