Вписанный угол

1. Вписанный угол

2.

Вписанный угол
Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности,
а стороны пересекают её, называется вписанным.
О
В
У
S
F
М
А
К
D
С
А
Н
В
Т
АВС - вписанный
С
Е
Р
Назови вписанный угол

3.

Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
B
Дано: Окр.(О;r),
АВС – вписанный.
Доказать:
O
АВС = ½
АС.
Доказательство:
A
1 случай. ВС проходит через центр окружности.
Проведём ОА. Тогда дуга АС меньше полуокружности.
C
АОС – центральный, значит
АВС – равнобедренный, значит,
АОС – внешний угол
Следовательно, 2
Значит,
АВС = ½
АВС, значит,
В=
АС
АС.
В=
АОС =
АС
А
АОС =
А+
В=2
В

4.

Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
В
А
Дано: Окр.(О;r),
АВС – вписанный.
Доказать: АВС = ½ АС.
О
Доказательство:
2случай. Центр окружности лежит внутри угла АВС.
К
С Проведём луч ВО, который пересекает дугу АС в точке К.
АВС = АВК +
= ½ АС.
АВК и СВК – вписанные, сторона каждого
проходит через центр окружности.
СВК = ½
АК + ½
СК = ½ (
АК +
СК) =

5.

Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
В
Дано: Окр.(О;r),
АВС - вписанный.
А
Доказать:
О
АВС = ½
АС.
Доказательство:
3 случай. Центр окружности лежит вне угла АВС.
С
К
Проведём луч ВО, который пересекает Oкр(О;r) в точке К.
АВК и СВК – вписанные, сторона каждого
проходит через центр окружности.
АВС = АВК = ½ АС.
СВК = ½
АК - ½
СК = ½ (
АК -
СК) =

6.

Реши задачи
Найти: х
1.
2.
3.
х
х
х
300
820
800
4.
650
х
5.
х

7.

Реши задачи
Найти: х
6.
А
600
К
В
В
7.
х
С
А
В
8.
300
А
х
О
С
1300
х
С

8.

Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.
А
В
В
А
С
С
О
К

9.

Нужные выводы
М
В
К
В
М
С
С
О
А
А
О
К
АМК = ½ (
АК +
ВС)
АМК = ½ (
АК -
ВС)

10.

Нужные выводы
В
А
А
В
С
О
С
О
К
ВАК = ½ (
ВК -
ВС)
ВАС = ½
АС

11.

Свойство пересекающихся хорд
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды.
Дано: Окр.(О;r),
М – точка пересечения хорд АВ и СК.
В
К
М
Доказать: АМ
С
А
О
ВМ = СМ КМ.
Доказательство:
Проведём АК и ВС. Рассмотрим
А=
К=
АКМ и
С, как вписанные, опирающиеся на
В, как вписанные, опирающиеся на
Значит, АКМ и ВСМ подобны, следовательно,
сходственные стороны пропорциональны:
AM KM , а, значит,
АМ ВМ = СМ КМ.
CM BM
ВСМ.
ВК.
АС.

12.

Нужные свойства
В
А
С
М
С
К
АВ2 = АК АС
А
В
К
АМ
АВ = АК
АС

13.

Реши задачи
1.
Найти х
2.
В
А
х
4
3
С
6
К
Дано: АК = 9, АС =4.
Найти: АВ.
2
6