Частные случаи длины дуги. Лекция №10

1. Здравствуйте!

Лекция №10

2.

Частные случаи длины дуги
1. Явное задание кривой.
Пусть кривая задана явно в виде y f (x) ,
a x b . Беря в
качестве параметра t x , получим, что x (t ) 1, y (t ) f (t ) и наша
формула дает
b
s 1 f (t ) dt .
2
a

3.

2. Кривая в полярных координатах.
r ( )
O
В полярных координатах кривая задается уравнением r r ( ) , где –
полярный угол, меняющийся в пределах .

4.

При переходе к декартовым координатам, получим уравнение
кривой в параметрической форме
x r ( ) cos ,
,
y r ( ) sin ,
в котором угол играет роль параметра.
Теперь имеем
x ( ) r ( ) cos r ( ) sin ,
y ( ) r ( ) sin r ( ) cos ,
откуда, после несложных преобразований, получим
( x ( ))2 ( y ( ))2 (r ( ))2 r 2 ( )
так что длина дуги кривой в полярных координатах дается
выражением
s ( r ( )) 2 r 2 ( )d .

5.

3. Длина дуги как функция от параметра. Дифференциал
длины дуги.
s(t
)
y
t
B
t=T
A
t = t0
x
Пусть теперь мы ищем длину дуги от точки со значением параметра,
равным t0 до точки со значением параметра, равным t.

6.

Тогда имеем
t
s (t ) ( x ( ))2 ( y ( ))2 d .
t0
Отсюда получаем
s (t ) ( x (t ))2 ( y (t ))2 .
Преобразуем это выражение. Имеем
ds s (t )dt ( x (t ))2 ( y (t ))2 dt
( x (t )dt ) 2 ( y (t )dt ) 2 dx 2 dy 2 ,
что и дает явное выражение для дифференциала длины дуги плоской
кривой.

7.

В полярной системе координат получаем
s ( ) ( r ( )) 2 r 2 ( )d ,
откуда
s ( ) (r ( ))2 r 2 ( ) ,
ds( ) s ( )d (r ( ))2 r 2 ( )d
(r ( )d ) 2 (r ( )d ) 2 (dr ) 2 (rd ) 2 ,
что и дает выражение для дифференциала длины дуги в полярных
координатах.

8.

z
B
x
A
y

9.

В трехмерном пространстве кривая задается следующим образом :
x x (t ),
y y (t ), t0 t T .
z z (t ),
Длина дуги пространственной кривой равна
T
s ( x (t ))2 ( y (t ))2 ( z (t ))2 dt .
t0
Дифференциал дуги равен
ds dx 2 dy 2 dz 2 .

10.

Вычисление площадей
Площадь криволинейной трапеции.
y
y = f (x)
x
a = x0
x1
x2
x3
b = xn
Рассмотрим фигуру, называемую криволинейной трапецией. Ее
границами являются: ось ОХ (внизу), прямые х=а (слева) и х=b
(справа) и кривая y f (x) (сверху) (см. рис.).

11.

Разобьем отрезок [a, b] на части a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b и
пусть mi inf f ( x) и M i sup f ( x) . Составим величины
x [ xi , xi 1 ]
n 1
x [ xi , xi 1 ]
n 1
P* mi xi и P M i xi , в которых узнаем верхние и нижние
*
i 0
суммы
i 0
Дарбу.
Величины
I* lim P*
0
и
I * lim P*
0
называются
внутренней и внешней площадями криволинейной трапеции. Если
выполняется равенство I* I * P , то их общее значение и называется
площадью криволинейной трапеции.
Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] , то, вспоминая
теорию определенного интеграла, можно записать
b
P f ( x ) dx ,
a
что и определяет площадь криволинейной трапеции.

12.

y = f (x)
b
x
a
Так как площадь не может быть отрицательной, то в этом случае
b
P f ( x) dx
a

13.

y
y = f1(x)
y = f2(x)
x
a
b
b
В этом случае очевидно, что P f1 ( x) f 2 ( x) dx
a

14.

y
y = f1(x)
y = f2(x)
x
a
b
b
Наконец, в этом случае P f1 ( x) f 2 ( x) dx .
a

15.

Площадь криволинейного сектора
r = r ( )
O
Рассмотрим кривую r r ( ) , , заданную в полярных
координатах. Соединим концы кривой прямыми линиями с
полюсом системы координат. Получившаяся фигура называется
криволинейным сектором.

16.

Разобьем отрезок [ , ] на части 0 1 2 ... n 1 n и
пусть max i . Пусть далее ri inf r ( ) и Ri sup r ( ) .
[ i , i 1 ]
i
[ i , i 1 ]
1 n 1 2
1 n 1 2
*
Построим величины P* ri i и P Ri i , имеющие
2 i 0
2 i 0
смысл внутренней и внешней площадей криволинейного сектора.
Если lim P* lim P* P , то величина Р называется площадью
0
0
криволинейного сектора. Если функция r ( ) интегрируема на [ , ] ,
то
1 2
P r ( )d .
2

17.

Объем тела вращения
y
y = f (x)
x
a
b
Представим себе, что имеется кривая y f (x) , заданная на отрезке
[a, b] . Пусть эта кривая вращается около оси ОХ. Получающееся
тело называется телом вращения

18.

Разобьем отрезок [a, b] на части a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b и
определим mi inf f ( x) и M i sup f ( x) . А каждом отрезке
x [ xi , xi 1 ]
x [ xi , xi 1 ]
построим цилиндр с радиусом основания mi и высотой xi . Все эти
цилиндры будут вписаны в наше тело вращения и их общий объем
n 1
будет равен V* mi2 xi .
i 0
Далее, на каждом отрезке построим цилиндр с радиусом
основания M i и высотой xi . Все эти цилиндры будут описаны
около нашего тела вращения и их общий объем будет равен
n 1
V M i2 xi .
*
i 0
Если lim V* lim V * V , то величина V называется объемом тела
0
0
вращения. Если функция f (x) интегрируема на [a, b] , то очевидно,
что
b
V f 2 ( x) dx
a

19.

Пример. Объём шара
y
y=
2
R-x
2
x
-R
R
Очевидно, что шар получается вращением полуокружности около
оси ОХ. Поэтому объем шара
R
R3 4 3
x3
2
2
2
2
V R x dx R x
R 2 R 2 R
R
3 3
3 R
R
R
R