Similar presentations:
Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля. Лекция 8
1.
Теоретические основы электротехникиТеория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2021
1
2.
Векторный потенциал магнитного поляВекторный потенциал - вспомогательная величина, с помощью
которой можно анализировать магнитные поля постоянных токов, как
вне проводников с токами, так и внутри этих проводников
.
rot H J
div B 0
B H
Второе уравнение будет выполняться всегда, если представить вектор
магнитной индукции, как ротор некоторого вспомогательного вектора
B rot A
divrot A 0
( A ) 0
B A
A A( x , y , z ) - векторный потенциал магнитного поля.
3.
Наложим на векторный потенциал такие условия, чтобы приподстановке его в уравнения магнитного поля эти уравнения
выполнялись
бы во всех точках поля – как при J 0
так и при J 0
В этом случае векторным магнитным потенциалом можно будет
пользоваться для анализа магнитных полей в любых средах.
так как именно на этом основании мы ввели векторный потенциал.
Принцип непрерывности магнитного потока div B 0 выполняется
всегда, так как именно на этом основании мы ввели векторный
потенциал
4.
Подставим векторный потенциал в закон полного тока при условии , что(x,y,z) = const
rot H J
rot H rot H rot B J
rot rot A J
Преобразуем левую часть уравнения, применяя формулу для двойного
векторного произведения:
2
2
rot rot A ( A ) ( A ) ( ) A (div A ) A grad div A A J
5.
При рассмотрении магнитного поля постоянных токов примем, чтодивергенция векторного магнитного потенциала равна нулю:
div A 0
A ds 0
Во всех точках магнитного поля постоянного тока выполняется
принцип непрерывности линий векторного магнитного потенциала,
т. е. эти линии не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми на
себя кривыми.
Граничные условия на поверхности раздела двух сред:
A1n = A2n
6.
Уравнение Пуассона для векторного потенциалаrot rot A ( A ) grad div A A J
2
2
A J
2
A A J
7.
Для проекций векторов на оси координат, в частности для декартовойсистемы можем записать:
A x J x
2
2 A y J y
A z J z
2
Уравнение Пуассона для векторного потенциала:
2
A A J
Уравнение Пуассона для скалярного электрического потенциала:
U
2
Одно уравнение переходит в другое при замене:
U A x ,y ,z
J x ,y ,z
8.
Решение уравнения Пуассона для скалярного электрического потенциала :1 dv
U
4 V r
Решения уравнения Пуассона для проекций векторного потенциала:
J x dv
Ax
4 V r
J y dv
Ay
4 V r
J z dv
Az
4 V r
Просуммировав умноженные на орты проекции векторного потенциала, получим решение уравнения
Пуассона для векторного потенциала магнитного поля (под интегралом геометрическое
суммирование):
J dv
A
4 V r
Интегрирование проводится по всей области (объему), где плотность тока не равна нулю.
9.
Случай линейных проводников с током.Проводники считаются линейными, когда размеры поперечного сечения проводника намного меньше его
длины
J
dl
dv
l
r
Если направления векторов
J
и
dl
совпадают, а ток сквозь любое сечение
проводника одинаков:
J dv
idl i dl
J ds dl
A
4 V r
4 l S r
4 l r
4 l r
Если магнитное поле создано несколькими
проводниками с токами, то следует интегрировать вдоль
всех проводников с токами, тогда:
n ik dl
A
k 1 4 l k r
10.
Все полученные соотношения для определения векторного потенциаласправедливы в предположении, что в магнитном отношении среда
однородна = const ≠ f(x,y,z) или кусочно - однородна.
Если среда неоднородна, то нельзя выносить за оператор ротора:
rot H rot H
rot H grad( ) H rot H
11.
Определение магнитного потока через векторныйпотенциал
B rot A
dl
Применим теорему Стокса:
A
l
S
A
dl
B ds rot A ds A dl
S
S
l
12.
Граничные условия для векторного потенциалаПри рассмотрении граничных условий из интегралов по замкнутым
контурам для векторов поля мы получали на поверхности раздела сред
равенство касательных составляющих векторов. По аналогии можем
записать:
A1 = A2
На поверхностях раздела различных сред не изменяются ни нормальные,
ни касательные составляющие векторного магнитного потенциала. Это
означает, что при переходе из одной среды в другую векторный
магнитный потенциал не изменяется ни по величине, ни по
направлению.
13.
ПримерОпределим магнитный поток, сцепляющийся с прямоугольной рамкой,
расположенной в одной плоскости с прямолинейным проводником с
током, причем две стороны рамки параллельны проводнику с током
dz
0
i
–L
a
z
r1
b
A1
+L
r2
Ak
l
A2
h
14.
0 i dzA Az
4 z r
A dl h( A1z A2 z )
l
0i
dz
dz
A1 A2
2
2
2
2
4 L z a
L z b
L
0i z z 2 a2
ln
4 z z 2 b 2
L
L
0i z z 2 a2
ln
2
4 z z 2 b 2
L
0i b
A1 A2
ln
2 a
L
0i
2
2
2
2
ln( z z a ) ln( z z b ) L
4
L
0i L L2 a2
a
ln
ln
2
2
2 L L b
b
0
0i h b
ln
2
a
Простота вычисления магнитных потоков с помощью векторного
потенциала позволяет успешно использовать векторный магнитный
потенциал для расчета собственных и взаимных индуктивностей
15.
Расчет индуктивностей.Общие выражения для взаимной и собственной индуктивностей
Выражения для индуктивностей будем получать в предположении, что в проводниках протекают равномерно
распределенные по сечению постоянные токи. Предварительно введем понятие о внешнем и внутреннем
магнитном потоке
1
2
3
4
5
6
Часть трубок магнитного потока (1 – 6), сцепленных с витком, не проходит сквозь проводник с током, а поток,
созданный этими трубками называется внешним магнитным потоком. Трубки магнитного потока, проходящие
сквозь материал проводника, сцепляются только с частью тока в проводнике и создают магнитный поток,
называемый внутренним магнитным потоком.
16.
Индуктивности массивных контуровОпределение взаимной индуктивности между двумя массивными контурами.
J1
dl1
J2
r
l2
1
2
i2
i1
M 21
21
i1
21 A2 dl2
l2
dl2
17.
Элементарное потокосцепление с трубкой тока во втором контуре определяется отношением тока в этой трубке кполному току второго контура:
di2
di2 1
1
d 21
21
A2 dl2 ( A2 dl2 )( J 2 ds2 ) ( A2 J 2 )( dl2 ds2 )
i2
i2 l2
i2 l2
i2 l2
Полное потокосцепление взаимоиндукции второго контура получим, проинтегрировав полученное выражение
по всем трубкам тока во втором контуре, т.е. всему объему второго контура:
1
21
i2
1
S l ( A2 J 2 )( dl2 ds2 ) i2 V ( A2 J 2 ) dv2
2 2
2
Величина векторного магнитного потенциала в точках второго контура определяется с помощью полученного
ранее решения уравнения Пуассона для векторного магнитного потенциала через плотность тока в первом контуре:
0 J 1dv1
A2
4 V 1 r
18.
Тогда потокосцепление взаимоиндукции второго контура можем представить в виде:0
0
J 1dv1J 2 dv2
J 1J 2 dv1dv2
21
4 i2 V1 V2
r
4 i2 V 1 V 2
r
Взаимная индуктивность между вторым и первым контуром можно вычислить из соотношения:
M 21
0
21
J 1J 2 dv1dv2
i1
4 i1i2 V 1 V 2
r
При определении взаимной индуктивности между первым и вторым контуром необходимо определить
потокосцепление первого контура, задав ток во втором контуре. Проделав аналогичные вычисления, получим:
0
J 1J 2 dv1dv2
12
4 i1 V 1 V 2
r
M 12
0
12
J 1J 2 dv1dv2
M 21
i2
4 i1i2 V1 V2
r
19.
Таким образом, взаимная индуктивность между двумя контурами получаетсяодинаковой, независимо от порядка ее вычисления, т.е. соблюдается принцип
взаимности. Взаимная индуктивность не зависит от токов в контурах, так как
плотности токов, стоящие в числителе, изменяются пропорционально токам
контуров, стоящим в знаменателе. Взаимная индуктивность зависит от формы,
размеров и взаимного расположения двух контуров и от распределения токов по
сечению контуров.
Определение собственной индуктивности массивного контура. При
определении собственной индуктивности применим полученную формулу для расчета
взаимной индуктивности двух одинаковых, совмещенных друг с другом контуров. В
этом случае токи в контурах совпадают (i1 = i2 = i), объемы контуров одинаковы (V1 =
V2 = V), а взаимная индуктивность переходит в собственную индуктивность (M12 L):
\
0
J J dvdv\
L
r
4 i 2 V V \