Основы электромагнитной теории Максвелла

1. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Лекция «Основы электромагнитной
теории Максвелла»

2. Общая характеристика теории Максвелла

-
Основу теории Максвелла составляют четыре
структурных уравнения, которые записываются в
интегральной и дифференциальной формах. В
интегральной форме они выражают соотношения
для мысленно проведенных в ЭМП контуров и
замкнутых поверхностей, а в дифференциальной –
показывают,
как
связаны
между
собой
характеристики ЭМП и плотности электрических
зарядов и токов в каждой точке пространства.
Дифференциальная
и
интегральная
формы
получаются друг из друга путем применения двух
теорем векторного анализа:
теоремы Остроградского-Гаусса;
теоремы Стокса.

3. Теоремы векторного анализа

Теорема Остроградского-Гаусса: поток Фа вектора а сквозь
произвольную замкнутую поверхность S равен объемному (тройному)
интегралу от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному
этой поверхностью
a a dS div adV
S
V
Дивергенцией называется математическая операция, в результате
которой из вектора получаем скаляр
a x a y a z
div a
x
y
z

4. Теоремы векторного анализа

Теорема Стокса: циркуляция вектора а вдоль замкнутого контура L
равна поверхностному интегралу от ротора (вихря) вектора а по
замкнутой поверхности S
a dl rot a dS ,
L
S
где ротор или вихрь определяется выражением
i
j
k
rot a
x
ax
a i
j k a
x
y
z
y
z
ay
az
a div a
a rot a

5. Первое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

i
d m
B
dS E dl
dt
S t
L
B
rot E
t
по сути, это закон электромагнитной индукции Фарадея с учетом
выражения для магнитного потока
i d dtm
m B dS
S
Максвелл предположил, что это верно не только для
проводящего замкнутого контура, но и для любого мысленно
проведенного в пространстве. Другими словами: переменное
магнитное поле (МП) существует всегда при наличии вихревого
(переменного) электрического поля, и наоборот. Они
обуславливают друг друга как при наличии проводников, так и
без них.
Вихревое (переменное) электрическое поле в отличие от
электростатического имеет отличную от нуля циркуляцию.

6. Ток смещения

Максвелл предположил, что источником МП может быть не только
макроток (ток проводимости), но и вихревое (переменное)
электрическое поле. Для количественной характеристики магнитного
действия переменного электрического поля Максвелл ввел понятие
тока смещения (по сути это – переменное электрическое поле).
Из теоремы Остроградского-Гаусса для вектора D
охват
D
dS
q
своб
S
I
dq d
D
D dS
dS
dt dt S
S t
jсмещ
I jсмещ dS
S
D
t

7. Второе уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

С учетом тока смещения закон полного тока для МП в веществе
может быть переписан в виде второго уравнения Максвелла
в интегральной форме
H dl I макро I смещ
L
D
j
dS
t
S
и (по теореме Стокса) дифференциальной форме
D
rot H j
t
Для областей, где нет макротоков (токов проводимости) первое
и второе уравнения Максвелла имеют симметричный вид
B
rot E
t
rot H
D
t

8. Третье и четвертое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

Максвелл
обобщил
теорему
Остроградского-Гаусса
электростатического поля в диэлектрике
для
охват
D
dS
q
своб (V )dV
S
V
- третье уравнение Максвелла в интегральной форме, с
применением
теоремы
Остроградского-Гаусса
получим
дифференциальную (локальную) форму
div D (V )
Максвелл обобщил также теорему Остроградского-Гаусса для МП
в вакууме, выражающую отсутствие особых – магнитных зарядов
B dS 0
S
– четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме, в
дифференциальной форме с учетом теоремы ОстроградскогоГаусса
div B 0

9. Полная система структурных уравнений Максвелла для ЭМП в общем случае

№
Получено на
основе
1
закона
электромагнитной
индукции Фарадея
2
закона полного
тока для
магнитного поля в
веществе
3
4
теоремы
Остроградского–
Гаусса для
электростатическо
го поля в
диэлектрике
теоремы
Остроградского–
Гаусса для МП в
вакууме
Интегральная форма
B
E dl t dS
L
S
D
H dl j t dS
L
S
D dS (V )dV
S
Дифференциальная
форма
B
rot E
t
rot H j
D
t
div D (V )
V
B dS 0
S
div B 0

10. Материальные уравнения и граничные условия для ЭМП

Данные четыре структурных уравнения (табл. 1) дополняются тремя
материальными уравнениями, характеризующими свойства среды.
Для изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред
материальные уравнения имеют вид соответственно:
D 0 E
B 0 H
j E
Также полную систему уравнений Максвелла дополняют граничными
условиями для электрического и магнитного полей
Dn 2 Dn1 ,
E E 0,
2
1
Bn 2 Bn1 0,
H 2 H 1 jповерхн.

11. Полная система структурных уравнений Максвелла для стационарных ЭП и МП при наличии зарядов и токов проводимости

№
1
Получено на
основе
Интегральная форма
закона
электромагнитной
индукции Фарадея
E dl 0
Дифференциальная
форма
rot E 0
L
2
3
4
закона полного
тока для
магнитного поля в
веществе
теоремы
Остроградского–
Гаусса для
электростатическо
го поля в
диэлектрике
теоремы
Остроградского–
Гаусса для МП в
вакууме
L H dl S j dS
D dS (V )dV
S
V
B dS 0
S
rot H j
div D (V )
div B 0

12. Полная система уравнений Максвелла состоит из

Четырех структурных уравнений в
интегральной или дифференциальной
форме
Трех материальных уравнений
Четырех граничных условий
ВСЕГО 11 уравнений

13. Благодарю за внимание