Сумма первых n членов арифметической прогрессии

1. «Сумма первых n членов арифметической прогрессии»

2. Устно

1)
Найти 5-ый член числовой
последовательности заданной
формулой 30 п
п 1
Ответ: 25
2) Найти 4-ый член числовой
последовательности заданной
формулой
п
Ответ:
2п 1
4
9

3.

3) Чему равна разность
арифметической
прогрессии:
1; 4; 7; …
Ответ: 3
4) Чему равна разность
арифметической прогрессии:
3; 0; -3; -6; …
Ответ: -3

4.

5)
Найдите
пятый
член
арифметической прогрессии:
3; 7; 11; …
Ответ: 19
6) Найдите шестой член
арифметической прогрессии;
если
а1 5; d 3
Ответ: 20

5.

7) Найти 10-ый член
арифметической прогрессии
Ответ: 46
а9 34; а11 58
если
8) Найти 5-ый член
арифметической прогрессии
если
а4 18; а6 24
Ответ: 21

6. Задача. Найти сумму ста членов арифметической прогрессии.

Впервые формула суммы первых
членов арифметической прогрессии
была доказана древнегреческим
ученым Диофантом(IIIвек н.э.).
А правило отыскания суммы n
первых членов арифметической
прогрессии встречается в «книге
Абаки» Л. Фибоначчи в 1202году

7.

8.

Пусть сумма первых n членов арифметической
прогрессии равна S n тогда:
Sn
a1 aп п
2

9. Теорема

Сумма первых n членов арифметической
прогрессии равна полусумме крайних
членов, умноженной на число членов.
Sn
a1 aп п
2
Если учесть, что аn а1 п 1 d , то получим:
2a1 d п 1
Sn
n
2

10. Пример 1

Найдите сумму первых 20 членов
арифметической прогрессии: 1; 3,5; … .
Дано:
ап
- арифметическая
прогрессия
а1 1
а2 3,5
S 20 ?
Решение:
d 3,5 1 2,5
a20 1 2,5(20 1)
1 2,5 19 48,5
1 48,5
S 20
20
2
49,5 10 495
Ответ: 495

11. Пример 2

Дано:
ап
Решение:
- арифметическая
an = a1+ (n-1)d
прогрессия
a1 = 5
a14 = 5+ 13*3= 44
d=3
n = 14
an = ?
Sn = ?
Sn
a1 aп п
2
S14 = (5+44)*14/2
Sn = 49*7=343
Ответ: 343

12. Пример 3

Решение:
an = a1+ (n-1)d
Пример 3
Дано:
ап
27 = 3+ (n-1)*3
- арифметическая
прогрессия
27-3 = (n-1)*3
a1 = 3
d=3
an = 27
n=?
Sn = ?
Sn
24:3 = (n-1)
n=9
a1 aп п
2
S9 = (3+27)*9/2
Sn = 30*9/2=15*9=135

13. Пример 4

Найдите сумму первых 35 членов
арифметической прогрессии, если её шестой
член равен 31, десятый 55.
Дано:
ап
-
арифметическая
прогрессия
а6 31
а10 55
S35 ?
Решение:
а1 5d 31
a1 9d 55
а1 1; d 6
2 1 35 1 6
S35
35
2
Ответ: 3605
3605

14. Пример 3

Если в арифметической прогрессии а1 20
, S п 371 то найдём а ; п
п
Дано:
и d 0,5
Решение:
ап ?
2a1 n 1 d
Sn
n
2
2 20 n 1 0,5
n 371
2
40 0,5 n 1 n 742
40 0,5n 0,5 n 742
40,5n 0,5n 2 742
п ?
0,5n 2 40,5п 742 0
ап
- арифметическая
прогрессия
а1 20
d 0,5
S п 371
Ответ:
п 28; а28 6,5 и
п 53; а53 6
n 2 81n 1484 0
n1 28; n2 53
a28 6,5; a53 6

15. Домашнее задание

прочитайте параграф 14 страница 122,
выполните в тетрадях
№ 14.2, 14.3, 14.4, страница 125-126
просмотрите видео
https://www.youtube.com/watch?v=6RlpgLa7n8E
https://www.youtube.com/watch?v=gf8NGnaO-BM
https://www.youtube.com/watch?v=6Rpa3n-LqOs