Логарифмы

1. Логарифмы.

2.

Джон Непер - изобретатель системы
логарифмов, основанной на установлении соответствия между арифметической и геометрической числовыми
прогрессиями.
В «Описании удивительной таблицы
логарифмов» он опубликовал первую
таблицу логарифмов (ему же
принадлежит и сам термин
«логарифм»). Объяснение таблицы
было дано в его сочинении
«Построение удивительной
таблицы логарифмов», вышедшем в
1619. Таблицы логарифмов, насущно
необходимые астрономам, нашли
немедленное применение.
Джон Непер
(1550-1617)

3. Основное логарифмическое тождество

4.

Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по
основанию а, где а>0, а≠1, называется
показатель степени, в которую надо
возвести число а, чтобы получить b.
logab
a
=b
Это равенство называют основным
логарифмическим тождеством. Оно
справедливо при b>0, а>0, а≠1.

5.

Определение логарифма
Из определения логарифма следует, что
нахождение
x = logab
равносильно решению уравнения
x
a =b.
Например:
log28 = 3
,
потому что
23 = 8 .

6.

Используя основное логарифмическое
тождество, найдите значения выражения
log317
3
=
log45
4
=
17
5
2log1316
13
=
-2log35
3
=
256
0,04

7.

Логарифмирование
Логарифмированием называют действие
нахождения логарифма числа.
Читается: логарифм b по основанию a.
2
так как 5 =25
log525=2,
log4(1/16)=-2,
-2
так как 4 =1/16
log1/327 = -2,
-2
так как (1/3) =27

8.

Найдите значения выражения
log5626= 4
log327= 3
log100,001= -3 log0,54= -2
log111= 0
log381= 4

9.

Логарифмирование
Найти логарифмы чисел b по основанию а
Ответ:
Ответ:
Ответ:
2,25
1,5
-5

10.

Логарифмирование
Найти x
По определению логарифма
Так как
Откуда
то

11.

При каких значениях х существует
логарифм
Не существует

12. Доказательство основных свойств логарифмов

13.

Логарифм произведения
Логарифм произведения положительных
чисел равен сумме логарифмов множителей
Пусть а>0, a=1, c>0. Тогда
(1)
Докажем справедливость формулы (1)

14.

Логарифм произведения
Известно:
(2)
(3)
Перемножим почленно равенства (2) и (3)
Формула (1) доказана

15.

Логарифм произведения

16.

Логарифм частного
Логарифм частного двух положительных
чисел равен разности логарифмов делимого
и делителя
Пусть а>0, a=1, c>0. Тогда
(1)
Докажем справедливость формулы (1)

17.

Логарифм частного
Известно:
(2)
(3)
Разделим почленно равенства (2) и (3)
Формула (1) доказана

18.

Логарифм частного

19.

Логарифм степени
Логарифм степени с положительным
основанием равен показателю степени,
умноженному на логарифм основания
степени
Пусть а>0, b>0. r –любое действительное
число. Тогда
(1)
Докажем справедливость формулы (1)

20.

Логарифм степени
Возводя основание логарифмического
тождества
в степень r получаем:
откуда по определению логарифма
следует формула (1):

21.

Логарифм степени

22.

Переход к новому основанию
Для перехода от логарифма по одному
основанию к логарифму по другому
основанию используется формула:
(1)
где a>0, a≠1, b>0, c>0, c ≠1
Докажем справедливость формулы (1)

23.

Переход к новому основанию
Запишем основное логарифмическое
тождество
Возьмем от обеих его частей логарифмы по
основанию с
Используя свойство логарифма степени,
получаем:

24.

Переход к новому основанию
Следствие.
При b=c –происходит перестановка
основания и логарифмируемого выражения

25.

Переход к новому основанию

26. Свойства логарифмов

27.

a>0, a≠1, b>0
1)
Примеры:
log317
3
=
17;
2log1316
13
=
2
=16 = 256
log1316 2
(13
)=

28.

1
2)
a>0, a≠1
Пример:
1
0
3)
Пример:
0
a>0, a≠1

29.

4)
a>0, a≠1, b>0, r-любое действительное
число
Пример:
a>0, a≠1, b>0
5)
Пример:

30.

6)
a>0, a≠1, b>0, r - любое действительное
число
Пример:

31.

7)
Пример:
a>0, a≠1, b>0,c>0

32.

8)
Пример:
a>0, a≠1, b>0,c>0

33.

a>0, a≠1, b>0,c ≠1
9)
Пример:

34.

a>0, a≠1, b>0, b ≠1
10)
Пример:

35.

a>0, a≠1, c>0
11)
Пример:

36.

12)
Пример:
a>0, a≠1, b>0

37.

a>0, c≠1, b>0,c>0
13)
Пример: