Аксиомы стереометрии и их следствия

1.

1. Аксиомы стереометрии и их следствия.
15.11.2020
www.konspekturoka.ru
1

2.

Планиметрия
Стереометрия
Изучает свойства
геометрических фигур на
плоскости
Изучает свойства фигур в
пространстве
В переводе с греческого
слово «геометрия»
означает «землемерие»
«гео» – по-гречески земля,
«метрео» – мерить
Слово «стереометрия»
происходит от греческих слов
«стереос» объемный,
пространственный, «метрео»
– мерить
15.11.2020
www.konspekturoka.ru
2

3.

Планиметрия
Стереометрия
Основные фигуры: точка,
прямая
Другие фигуры: отрезок, луч,
треугольник, квадрат, ромб,
параллелограмм, трапеция,
прямоугольник, выпуклые и
невыпуклые n-угольники,
круг, окружность, дуга и др.
15.11.2020
Основные фигуры: точка,
прямая, плоскость
Наряду с этими фигурами мы
будем рассматривать
геометрические тела и их
поверхности.
Например, многогранники.
Куб, параллелепипед, призма,
пирамида.
Тела вращения.
Шар, сфера, цилиндр, конус.
www.konspekturoka.ru
3

4.

Мы знаем, что
ГЕОМЕТРИЯ возникла из
практических задач людей;
ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей
техники и большинства изобретений
технику,
человечества;
инженеру,
ГЕОМЕТРИЯ нужна
рабочему,
архитектору,
модельеру …

5.

При изучении стереометрии мы будем пользоваться рисунками,
чертежами: они помогут нам понять, представить,
проиллюстрировать содержание того или иного факта.
Поэтому прежде, чем приступить к пониманию сущности аксиомы,
определения, доказательству теоремы, решению геометрической
задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить,
нарисовать фигуры, о которых идет речь .
«Мой карандаш, бывает еще
остроумней моей головы», —
признавался великий математик
Леонард Эйлер (1707—1783).
ВЫВОД:
Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со
строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии

6.

Для обозначение точек используем прописные латинские
буквы
A
D
F
Для обозначение прямых используем строчные латинские
буквы
f
d
h
Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими
буквами.
N
S
15.11.2020
www.konspekturoka.ru
6

7.

Плоскости будем обозначать греческими буквами.
На рисунках плоскости обозначаются в виде
параллелограммов. Плоскость как геометрическую фигуру
следует представлять себе простирающейся неограниченно
во15.11.2020
все стороны.
www.konspekturoka.ru
7

8.

D
C
C
A
B
15.11.2020
www.konspekturoka.ru
8

9.

Аксиомы стереометрии
Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает
истинное, исходное положение теории.
Система аксиом стереометрии дает описание
свойств пространства и основных его элементов
Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние»
принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в
аксиомах

10.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены
в аксиомах. Из множества аксиом мы сформулируем только
три.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только
одна.
C
A
15.11.2020
Иллюстрация к аксиоме А1:
стеклянная пластинка
плотно ляжет на три
точки А, В и С, не лежащие
на одной прямой.
B
www.konspekturoka.ru
10

11.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то
все точки прямой лежат в этой плоскости.
А
B
15.11.2020
A
В
a
а
www.konspekturoka.ru
11

12.

Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной
плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку,
то говорят, что они пересекаются.
a
15.11.2020
N
а N
www.konspekturoka.ru
12

13.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.
a
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются
по прямой.
15.11.2020
a
www.konspekturoka.ru
13

14.

C
B
A
B a
A
А1.
Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только
одна.
А2.
Если две точки прямой лежат в плоскости,
то все точки прямой лежат в этой
плоскости.
a
15.11.2020
А3.
Если две плоскости имеют общую точку,
то они имеют общую прямую, на
которой лежат все общие точки этих
плоскостей.
www.konspekturoka.ru
14

15.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Через любую прямую и не принадлежащую ей точку
можно провести плоскость, и притом только одну.
Т-1
Дано: М m
В
А
м
Доказательство
Пусть точки A, B m.
Так как М m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой.
По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM),
Обозначим её . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно,
по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости ..
Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует.
Предположим, что есть другая плоскость — , проходящая через прямую m и точку M.
Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а
значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна.
Теорема доказана

16.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Через любые две пересекающиеся прямые можно
провести плоскость, и притом только одну.
Т-2
n
м
N
Дано: m n = M
Доказательство
Отметим на прямой m произвольную точку N,
отличную от М.
Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N , то по А-2 m . Значит
обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно , является искомой
Докажем единственность плоскости . Допустим, что есть другая, отличная от
плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость .
Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по
T-1 она совпадает с плоскостью . Единственность плоскости доказана.
Теорема доказана

17.

СЛЕДСТВИЕ ИЗ Т-1
Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые можно провести
плоскость, и притом только одну.
В
А
м