Начертательная геометрия. Точка, линии

1.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Курс лекций –к.т.н. Н.И.Красовская

2.

Основоположником начертательной
геометрии считается французский
ученый ГАСПАР МОНЖ
(1799 г. –первый учебник )

3.

Россия
впервые появились понятия:
«Чертеж» - 1578 г.,
«Чертещик» - 1638 г.
«Бок,полуширота,корпус» - эпоха Петра I
(фронтальная,
горизонтальная
и профильная
проекции)

4.

Впервые курс начертательной геометрии
читается в учебных заведениях - 1810 г.;
Первый учебник «Основания начертательной
геометрии» -1821 г.- (Я.А. Севастьянов);
Большой вклад в развитие начертательной
геометрии внесли русские ученые:
В.И. Курдюмов, Е.С. Федоров, Н.А. Рынин,
Н.Ф. Четверухин, А.В. Бубенников,
И.И. Котов, С.А. Фролов и др.

5.

«Если чертеж является языком техника,
одинаково понятным всем народам, то
начертательная геометрия служит
грамматикой этого мирового языка,
так как она учит нас правильно читать чужие и
излагать наши собственные мысли,
пользуясь в качестве слов одними
только линиями и точками
как элементами всякого изображения»
В.И.Курдюмов
(Из книги «Курс начертательной геометрии»)

6.

Цель изучения дисциплины
Приобретение необходимых знаний,
умений и навыков отображать
всевозможные
сочетания геометрических форм
трёхмерного пространства на
двухмерном(плоском) носителе: листе
бумаги, экране дисплея и т.д.

7.

Задачи
- знать основные понятия, определения и свойства
ортогонального проецирования;
- иметь представление об образовании различных
геометрических объектов с позиции кинематики;
- уметь задавать на двухмерном носителе любые
геометрические объекты пространства;
- уметь определять расположение объектов в
пространстве относительно плоскостей проекций
и относительно друг друга;
- приобрести умения и навыки графического
решения типовых задач

8.

Компоненты аппарата
графического общения
Объект отображения
Способ образования объекта отображения
Элементы, формообразующие объект
Носитель графической информации
Способ отображения объекта
Средства отображения объекта
Процесс отображения объекта

9.

Лекция 1
МЕТОД
ПРОЕКЦИЙ
Н.И.Красовская

10.

Основные понятия
Н.И.Красовская

11.

Геометрическое пространствомножество точек, каждая из которых не
имеет величины, но имеет определённое
положение относительно выбранного
объекта(образа) в пространстве
Н.И.Красовская

12.

Геометрический объект (образ)это множество точек, выделенных из
пространства и подчинённых
определённым условиям
Н.И.Красовская

13.

Отображение –
это правило, которое устанавливает
принцип однозначного соответствия
точек трёхмерного пространства и
вполне определённых точек двухмерного
пространства (плоскости)
Н.И.Красовская

14.

Проецирование –
процесс отображения геометрических
объектов трёхмерного пространства на
двухмерном носителе - плоскости с
помощью проецирующих лучей
Н.И.Красовская

15.

Проекция –
изображение геометрического объекта,
полученное в результате
проецирования
Н.И.Красовская

16.

Н.И.Красовская

17.

ТОЧКА
Н.И.Красовская

18.

Точка –
0–мерный объект
Отобразить точку, значит,
построить ее проекции
Н.И.Красовская

19.

Аппарат проецирования
Н.И.Красовская

20.

S
a
П1
А
А1
Н.И.Красовская

21.

Аппарат проецирования
- объект проецирования – (А);
- плоскость проекций – (П1);
- центр проецирования – ( S );
- проецирующий луч –( a );
-проекция объекта – (А1)
Н.И.Красовская

22.

Точки обозначаются прописными буквами
латинского алфавита A, B,C, D и т. д.
Линии - строчными буквами того же
алфавита a,b,c,d и т.д.
Плоскости проекций - греческой буквой
П (П1 П2 П3 и т.д.)
Н.И.Красовская

23.

Виды
проецирования
Н.И.Красовская

24.

S
b
a
В
А
П1
Н.И.Красовская
В1
А1

25.

Вид проецирования, при котором
проецирующие лучи исходят из одной
точки - центра проецирования,
называется
центральным
Н.И.Красовская

26.

Вид проецирования, при котором центр
проецирования удален в бесконечность, а
проецирующие лучи параллельны друг
другу, называется
параллельным
Н.И.Красовская

27.

S
В
А
b
a
П1
Н.И.Красовская
S
А1
В1

28.

Вид проецирования, при котором
проецирующие лучи проходят
не перпендикулярно
к плоскости проекций, называется
косоугольным
Н.И.Красовская

29.

Вид проецирования, при котором
проецирующие лучи проходят
перпендикулярно
плоскости проекций, называется
прямоугольным или ортогональным
Н.И.Красовская

30.

S
А
a
П1
А1
Н.И.Красовская
В
b
В1
S

31.

Основным видом проецирования
в начертательной геометрии
является
ортогональный
Н.И.Красовская

32.

Основные свойства
параллельного
проецирования
Н.И.Красовская

33.

1. Точка проецируется в точку,
в общем случае: прямая – в прямую,
плоская фигура – в плоскую фигуру,
объемные тела в плоские фигуры
2. Проекции параллельных
прямых параллельны
3. Если точка лежит на прямой, то и проекция
этой точки лежит на соответствующей проекции
данной прямой
4. Отношение отрезков проекции прямой равно
отношению отрезков прямой в пространстве
Н.И.Красовская

34.

D СK
a
b
а || b
а1 || b1
П1
С
D1 С1 K1
D
К1
a1
b1
К
С1
D1
С1 D1 : D1 K1 = CD : DK
Н.И.Красовская

35.

Обратимость чертежа.
Координаты точки.
Комплексный чертеж точки
Н.И.Красовская

36.

Обратимый чертеж –
это чертеж, позволяющий однозначно
определять форму, размеры и положение
предмета в пространстве
Н.И.Красовская

37.

S
Одна плоскость
проекций
a
А
В
П1
А1 = В1
Необратимый чертеж
Н.И.Красовская

38.

Три плоскости проекций
П2
II
z
VI
I
V
x
П1
III
у
IV
VIII
П3
Н.И.Красовская
VII

39.

Плоскости проекций бесконечны, непрозрачны
и взаимно перпендикулярны
П1- горизонтальная плоскость проекций,
П2- фронтальная плоскость проекций,
П3- профильная плоскость проекций
Линии пересечения плоскостей проекций
называются осями проекций
Линия пересечения П1 и П2 – ось Х,
линия пересечения П2 и П3 – ось Z,
линия пересечения П1 и П3 –ось У
Точка пересечения осей проекций –
начало координат 0
Н.И.Красовская

40.

Координатой точки
называется
расстояние от точки
до плоскости проекций
Н.И.Красовская

41.

I четверть (октант)
Три плоскости проекций
Линия ХА,УА, ZА –
координатная ломаная
Обратимый чертеж
z
П2
Аz
А2
х
А
z
Ах
у
A
П1
Н.И.Красовская
П3
А3
х
A
A
А
1
О
Ау
у

42.

Х - расстояние от точки до плоскости
проекций П3- широта точки
У - расстояние от точки до плоскости проекций
П2- глубина точки
Z- расстояние от точки до плоскости проекций
П1- высота точки
Н.И.Красовская

43.

Координаты измеряются в миллиметрах и
записываются в следующем порядке:
Х,У, Z,
например,
А(30,20,10)
Н.И.Красовская

44.

Для удобства плоскости проекций
разворачивают и совмещают
с фронтальной плоскостью проекций
Получается
комплексный чертеж - эпюр
(«очищенный»-франц.)
Н.И.Красовская

45.

Трехкартинный чертеж
Три плоскости проекций
z
Обратимый чертеж
А2
А3
АZ
Ах
х
О
у
у
А1
у
Н.И.Красовская

46.

Ось У раздваивается,
но расстояния по обеим осям
всегда равны!!!
Н.И.Красовская

47.

Пространство является
трехмерным
Любая проекция определяется двумя
координатами, поэтому она является
двумерной
Н.И.Красовская

48.

Двухкартинный чертеж
П2
z
А2
АX
2 плоскости
проекций
Обратимый чертеж
А
x
0
А
П1
Н.И.Красовская
1
y

49.

A(x,y,z)
А2
zA
xA
х
Ах
yA
А1
Н.И.Красовская
О

50.

Точки общего
и частного положения
Н.И.Красовская

51.

C П2
Точка А занимает
общее положение
С2= С
А2
х
В2
П2
D1 = D2 = D
П1
С1
D
OX
А1
В1= В
B П1
Н.И.Красовская

52.

Выводы
- отображение объектов трехмерного пространства
реализуется методом проекций
- за основной вид проецирования принят
прямоугольный (ортогональный)
- положение точки определяется тремя
координатами в пространстве или двумя
проекциями на чертеже,
(задать точку- значит задать ее проекции)
- изображение точки на две взаимно
перпендикулярные плоскости проекций является
обратимым
Н.И.Красовская

53.

Лекция 2
ЛИНИИ
Красовская Н.И.

54.

Линия –
это множество положений
непрерывно движущейся в
пространстве точки
Линия – это одномерный
геометрический объект
Красовская Н.И.

55.

Прямая линия
Красовская Н.И.

56.

Простейшей линией является
прямая линия
Прямая получается при непрерывном
движении точки без изменения ее направления
Прямая линия является одномерным объектом
Красовская Н.И.

57.

Задание прямой линии на
чертеже.
Определитель прямой
Красовская Н.И.

58.

Совокупность элементов, задающих
прямую в пространстве,
называется ее
определителем
Красовская Н.И.

59.

Способы задания прямой
А2
а([АВ])
а(А,В)
А2
В2
х
х
А1
Красовская Н.И.
В2
В1
А1
В1

60.

Способы задания прямой
а(А,а)
а (а1 , а 2 )
А2
а2
х
х
а1
а1
А1
Красовская Н.И.
а2

61.

Положение прямой линии в
пространстве
Красовская Н.И.

62.

Прямая в пространстве может занимать два
положения:
общее и частное
Красовская Н.И.

63.

Прямые
общего положения
Красовская Н.И.

64.

Прямые, не параллельные и не
перпендикулярные ни одной из плоскостей
проекций, называются
прямыми общего положения
Красовская Н.И.

65.

П
z
A2
a2
A
B2
a
B
x
B3
a3
0 A
3
a1
П1
Красовская Н.И.
П3
A1
B1
y

66.

z
B2
A2
x
0
B1
A1
y
Красовская Н.И.
y

67.

Прямые
частного положения
Красовская Н.И.

68.

Прямые, параллельные или
перпендикулярные одной из плоскостей
проекций, называются
прямыми частного положения
Красовская Н.И.

69.

Прямые уровня
Красовская Н.И.

70.

Прямые, параллельные одной из плоскостей
проекций, называются
прямыми уровня
Красовская Н.И.

71.

Прямая, параллельная горизонтальной
плоскости проекций П1, называется
горизонталью
Красовская Н.И.

72.

П2
z
h2
h
Zh
x
0
h1
П1
y
Красовская Н.И.

73.

h2║ x
h2
x
β
h1
Н.В.
β = h ^ П2
Красовская Н.И.

74.

Прямая, параллельная фронтальной
плоскости проекций П2,
называется
фронталью
Красовская Н.И.

75.

z
П2
f2
f
х
yf
П1
f1
у
Красовская Н.И.

76.

f1 ║ x
f2
α
Н.В.
α = f ^ П1
x
f1
Красовская Н.И.

77.

Прямая, параллельная профильной
плоскости проекций П3, называется
профильной
прямой
Красовская Н.И.

78.

П2
z
П
3
p2
p3
p
x
0
П1
p1
y
Красовская Н.И.

79.

p2 ║ 0z
p1║ 0y
z
p3
p2
β = p ^ П2
0
x
p1
y
α = p ^ П1
y
Красовская Н.И.
Н.В.

80.

Проецирующие
прямые
Красовская Н.И.

81.

Прямые, перпендикулярные одной из
плоскостей проекций, называются
проецирующими
Красовская Н.И.

82.

Прямая, перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекций П1 –
горизонтально - проецирующая
прямая
Красовская Н.И.

83.

П2
z
A2
x
a2
A
B2
a
0
B
П1
a 1=A1 =B1
y
Красовская Н.И.

84.

а1 – проекция-носитель прямой линии
А2
В2
а2
х
a1 =A1 =B1
Красовская Н.И.

85.

Проекция-носитель обладает
собирательным свойством:
все точки, лежащие на проецирующей
прямой, проецируются в эту
проекцию-носитель
Красовская Н.И.

86.

Прямая, перпендикулярная фронтальной
плоскости проекций П2–
фронтально - проецирующая
прямая
Красовская Н.И.

87.

П2
z
b2
b
x
0
П1
b1
y
Красовская Н.И.

88.

b2
х
b1
Красовская Н.И.

89.

Прямая, перпендикулярная профильной
плоскости проекций П3 –
профильно - проецирующая
прямая
Красовская Н.И.

90.

П2
z
П3
c2
c
x
c3
0
c1
П1
y
Красовская Н.И.

91.

z
C2
х
C3
o
C1
y
Красовская Н.И.
y

92.

Точка
на прямой
Красовская Н.И.

93.

Если точка в пространстве лежит на
прямой,
то ее проекции лежат
на соответствующих проекциях
этой прямой
Красовская Н.И.

94.

А l, т. к. А1 l1, A2 l2.
l2
В l, т. к. В2 l2
А2
B2
x
l1
А1
B1
Красовская Н.И.

95.

Взаимное положение
прямых
Красовская Н.И.

96.

Проекции параллельных
прямых параллельны
Красовская Н.И.

97.

m2
n2
x
m1
n1
если m || n, то m1 || n1 и m2 || n2
Красовская Н.И.

98.

Прямые линии,
имеющие общую точку,
называются
пересекающимися
Красовская Н.И.

99.

если m ∩ n, то m1 ∩ n1= К1 и m2 ∩ n2=К2
m2
K2 n 2
x
m1
n1
Красовская Н.И.
K1

100.

Не пересекающиеся
и не параллельные между собой прямые,
называются
скрещивающимися
Красовская Н.И.

101.

Точки пересечения проекций
скрещивающихся прямых являются
проекциями двух разных точек этих
прямых в пространстве
Эти точки называются
конкурирующими
Красовская Н.И.

102.

m-n
m2
K2
М2 = (N 2 )
n2
L2
x
n1 N
1
m1
М1 K 1 = ( L 1 )
Красовская Н.И.

103.

Теорема
о проекциях
прямого угла
Красовская Н.И.

104.

Если одна сторона прямого угла
параллельна
плоскости проекций,
а другая ей не перпендикулярна,
то прямой угол
проецируется на эту плоскость
без искажения
Красовская Н.И.

105.

h2
l2
f2
x
f1
h1
Красовская Н.И.
l1
l1

106.

Прямой угол можно построить на чертеже
без искажения только
с натуральной величиной прямой уровня
Красовская Н.И.

107.

Кривые линии
Красовская Н.И.

108.

Кривая линия
получается
при движении точки
с изменением направления
Красовская Н.И.

109.

Закономерные кривые - это линии, закон
образования которых известен
Незакономерные кривые - это линии, закон
образования которых не установлен
Циркульные кривые линии - линии,
кривизна которых постоянна
Лекальные кривые линии- линии,
кривизна которых непрерывно меняется
Красовская Н.И.

110.

Плоские кривые
линии
Красовская Н.И.

111.

Кривые линии,
все точки которых принадлежат одной
плоскости, называются
плоскими
Красовская Н.И.

112.

z
П2
х
m2
m2
O
П1
m1
m1
у
Красовская Н.И.

113.

П2
z
m2
m
x
0
x
m1
m1
П1
y
Красовская Н.И.
m2

114.

Большие оси эллипсов принадлежат линиям уровня,
(соответственно
горизонтали h и фронтали f ),
и
по величине равны
диаметру окружности
Малые оси перпендикулярны
большим осям
Малые оси эллипсов в проекциях определяются
специальными построениями с помощью полухорд
Красовская Н.И.

115.

П2
m2
z
N2 f
2
B
2
h2
A2
m2
m
M
2
x
0
x
A1
N1
1
M1
m1
m
1
П1
y
Красовская Н.И.
f
B1
h1

116.

Пространственные
кривые
Красовская Н.И.

117.

Кривые линии,
все точки которых
не принадлежат одной плоскости,
называются
пространственными
Красовская Н.И.

118.

Чтобы определить длину кривой линии,
необходимо осуществить ее
спрямление
Красовская Н.И.

119.

Винтовые линии
Красовская Н.И.

120.

Винтовая линия
представляет собой траекторию движения
точки,
равномерно вращающейся вокруг оси
и одновременно перемещающейся
с постоянной скоростью
вдоль этой оси
Цилиндрическую винтовую линию называют
гелисой
Красовская Н.И.

121.

Шаг
винтовой линии –
это величина перемещения точки
в направлении оси, соответствующая
одному обороту
ее вокруг этой оси
Красовская Н.И.

122.

Винтовая линия может быть :
левой,
если точка перемещается от наблюдателя,
вращаясь против часовой стрелки
правой,
если точка перемещается к наблюдателю,
вращаясь по часовой стрелке
Красовская Н.И.

123.

На развертке цилиндрической поверхности
винтовая линия
изображается прямой,
являющейся гипотенузой прямоугольного
треугольника, у которого
один катет равен длине окружности основания
цилиндра (2 R),
другой равен шагу винтовой линии (Р)
Красовская Н.И.

124.

i2
122
112
102
120
92
90
82
80
72
62
70
52
22
32
40
42
10
02 12
00
101 91 8
1
111
71
i1
12 1= 01
61
11
100
110
20
50
60
30
α
2πR
R
51
21
31 41
Красовская Н.И.

125.

ВЫВОДЫ
- с кинематической точки зрения линию следует
рассматривать как траекторию непрерывно
движущейся в пространстве точки
-линия на чертеже может быть задана
двумя ее проекциями
- по расположению проекций линии можно
однозначно судить
об ее положении в пространстве
Красовская Н.И.

126.

Задача
Построить три
проекции точки А
с координатами
А(20,0,40)
Н.И.Красовская

127.

Задача
Задать горизонталь длиной 50 мм, расположенной от П1 на расстоянии
20мм и под углом к П2 45о
х
Красовская Н.И.