Комплексные числа. Действия над комплексными числами

1.

Комплексные числа.
Действия над
комплексными
числами.
2

Цели занятия:
Образовательные:
• формировать навыки выполнения алгебраических действий над
комплексными числами;
• актуализировать, обобщить и систематизировать знания, умения и
навыки студентов о комплексных числах.
Развивающие:
• развивать мыслительную деятельность студентов на занятии
посредством разнообразия форм заданий;
• способствовать формированию навыков самостоятельной работы и
работы в мини-группах;
• развивать интерес к дисциплине через включение в план занятия
исторического материала и практических заданий.
Воспитательные:
• воспитывать у студентов чувство личной ответственности за
достижение положительных результатов при самостоятельной работе
и в группе.
3

3.

После изучения темы «Комплексные числа
учащиеся должны:
Знать:
алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы
комплексного числа.
Уметь:
•производить над комплексными числами операции сложения,
умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение
корня из комплексного числа;
•переводить комплексные числа из алгебраической формы в
геометрическую и тригонометрическую;
•пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел;
•в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с
действительными коэффициентами.
4

4.

Установите соответствие
1) Натуральные числа
2) Целые числа
3) Рациональные
числа
4) Действительные
числа
5) Иррациональные
числа
1)
2)
3)
4)
5)
Z
R
N
Q
I
5

5.

Множества чисел
N
N Z Q R C
С
R
Z
Q

6.

Назовите лишнее число в каждой
строке. Ответ обоснуйте
1) 1,2(3); 2,455…; 3,1415…; 7,282828…
2) 45; 34; -111; 3,7; 280; -18
3)
1 4 3 9
; ; ;
3 9 7 16
7

7.

Расположите числа в порядке
возрастания
7
6,5
40 5,5
1 2 3 4
45
5
,
69
30
5 6 7
10

8.

Верно ли решены примеры?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
-8+(-3)=11
48:(-6)=-8
-3·(-7)=-21
3+(-7)=4
-6-10=-16
17+(-21)=-2
-9·3=27
-6:(-3)=-2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
-8+(-3)=-11
верно
-3·(-7)=21
3+(-7)=-4
верно
17+(-21)=-4
-9·3=-27
-6:(-3)=2
13

9.

Содержание:
16

10.

1. Мнимая
единица
17

11.

Допустим, что существует такое число, квадрат
которого равен (– 1).
Обозначим это число буквой i.
Тогда можно записать: i2 = - 1.
Число i – называется мнимой единицей.
Из равенства i2 = - 1 находим i 1 . Введение
мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать
квадратные корни из отрицательных чисел.
Например:
36 36( 1) 36 1 6i
18

12.

Вычислите:
81
900
1
4
19

13.

Пример. Решите уравнение:
x2 – 6x + 13 = 0
Решение. Найдем дискриминант по формуле
D = b2 – 4ac.
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам
D 16 16 ( 1) 16 1 4i
6 4i
x1
2
6 4i
x2
2
20

14.

Решите уравнение:
1.9 x 12 x 29 0
2
2.x 4 x 13 0
2
3.x 3 x 4 0
2
21

15.

в 1637
году
Название
“мнимые числа”
ввёл французский
математик и философ
Р. Декарт
22

16.

Степени мнимой единицы
23

17.

iiii1i ; ii2133231321i;ii;2i (( (i 11 )1)ii)i i 2 i 2;i2i2i22;; (
3
2
i
1
;
3
2
i
1
;
i
iiii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(
(
1
1
i
(
(
1
1
)
)
i
i
;
;
2
2
3
2
i
i
i
i
i
(
1
i
i
i
i
i
(
iiiiii i iii2ii(2ii43ii3 i 3 i1 ( (() ( i 1 11 1) i))ii)i iii i i i ; i i ;i;i; ;i3 2ii222 2 ( (1( ) 1
iiii ii iii3444(3443iii
1
)
i
;
3
2
i
i
i
i
(
1
2
2
2
i
1
i
i
;
i
i
i
(
1
)
i
i
i
(
1
i
i
1
1
i
i
i
;
;
i
i
i
i
i
(
(
1
1
3
3
2
2
4
2
iiiiii
i
i
1
i
i
;
i
i
1
i
i
;
i
i
i
i
i
i
i
(
(
1
1
)
)
1
1
;
;
i
1
i
i
;
3
3ii44
2
2
4
i
i
i
(
1
)
1
;
2
54i54i
24
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(
(
1
1
)
)
1
1
;
;
i
i
i
i
1
1
i
i
;
i
;
4
3
i
i
1
i
i
;
3
5
5
2
2
2
4
iiii i 4i4ii 5
i
i
i
(
1
i
i
i
i
1
;
i
i
i
i
i
2
i
i
i
i
55 ii
22
1
1
i
i
i
i
;
;
i
1
1
;
;
iii i i i4i4 5i 5ii5 iii11 iiii i ii;i; 2iii22 11;;
iii i
i i i5665665 i1 i i i i ii
11 i ii i ; i i ii
;; i i2i225 5 41 4;11;;
i
i6 1ii iii(
ii 1
iii i ii
i ;)ii ii i i 1 1i i;i; 11 i
2
2
4 3
4344343
4
2
33 4
234344 4
5
545544
5
44355
4
4
5
5
5
36 5
656565
6
5566
456656 6
47767676
66777
67767 7
58777
588
7788
iiii
(
(
1
1
i
i
;
;
5i5i 66 ii
22)) ii
i
i
(
1
i
i
;
i
(
1
i
i
;
5i5 i6 6ii6
2)
2)
i
i
i
i
i
i
i
1
1
;
;
i
i
(
1
)
i
1 1;;i
;55ii;;
iiii i i i i i76767 6i iii i i ii
i i (i(ii (
2 1 1i
)i1)2 )i
ii i16 6
;
ii 6i6i777 ii ( ( ii11 )i)i i i1 1 . .. iiii; ; ii ii i
24

18.

Значения степеней повторяются с
периодом, равным 4.
1. Если показатель степени делится на 4 без
остатка, то значение равно 1.
2. Если показатель степени делится на 4 с
остатком 1, то значение равно i.
3. Если показатель степени делится на 4 с
остатком 2, то значение равно -1.
4. Если показатель степени делится на 4 с
остатком 3, то значение равно -i.
Найдем:
28
33
135
i ;i ;i .
25

19.

Решение.
i ,– 1, – i , 1 ,
i, – 1, – i, 1 и т. д.
Имеем, 28 = 4×7 (нет остатка);
33 = 4×8 + 1 ;
135 = 4×33 + 3 .
Соответственно получим
i
28
1; i
33
i; i
135
i.
26

20.

Вычислите:
i1
i-i
i-1
i
216
143
66
43
2-i
i i
48
44
(i i -1 i ) i
13
14
15
32
27

21.

Комплексные числа
Определение 1. Числа вида a + bi,
где a и b – действительные числа,
i – мнимая единица,
называются комплексными.
a - действительная часть комплексного числа,
bi – мнимая часть комплексного числа,
b – коэффициентом при мнимой части.
Обозначение -
z
28