Комплексные числа и действия над ними

1.

Тема «Комплексные числа и действия над ними»
Основные понятия:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Определение комплексного числа. Алгебраическая
форма комплексного числа.
Геометрическое изображение комплексного числа.
Действия над комплексными числами, заданными в
алгебраической форме.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами, заданными в
тригонометрической форме.
Возведение в степень комплексного числа.
Извлечение корней из комплексного числа.
Завершить

2.

Арифметический корень
.
Определение комплексного числа.
Алгебраическая форма комплексного числа.
1.
Комплексным числом называют упорядоченную пару a; b
действительных чисел а и b, алгебраической формой
которого является z a b i
а = Re z – действительная часть комплексного числа,
b = Im z – мнимая часть комплексного числа,
i – мнимая единица ( i 1, i 2 1 ).
Комплексное число
z a b i
к комплексному числу
называют сопряженным
z a b i

3.

Назовите действительную и мнимую части чисел:
а) 2-3i
б) 4+6i
в) 3i+9
г) 5i
д) -91i
е) 1

4.

Комплексные числа по виду делятся:
-если a=0, то комплексное число z=biназывается чисто мнимым.
-если b=0, то комплексное число z=aназывается чисто действительным.
- если a=0 и b=0, то комплексное число z=0.

5.

6.

7.

8.

Пример 1. Изобразить на комплексной плоскости
следующие комплексные числа
z1 2
z2 3i
z3 1 2i
z4 3 i
Решение
назад

9.

Решение (Пример 1).
z1 2
z2 3i
z3 1 2i
z 4 i 3
назад

10.

11.

12.

13.

3. Действия над комплексными числами, заданными в
алгебраической форме.
Сложение (вычитание) комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Деление комплексных чисел
Нахождение обратного числа к комплексному числу
Рассмотрим два комплексные числа
z a b i и z c d i
1
2
назад

14.

Сложение (вычитание):
z1 z2 a b i c d i a c b d i
z1 z2 a b i c d i a c b d i
z1 2i 3, z2 3 4i
z1 z2 , z1 z2 , z2 z1
Пример 2. Для
вычислить
Решение
назад

15.

Решение (Пример 2):
z1 z2 3 2i 3 4i 3 3 2 4 i 2i
z1 z2 3 2i 3 4i 6 6i
z2 z1 3 4i 3 2i 6 6i
назад

16.

Умножение:
z1 z2 a b i c d i ac bd bc ad i
Пример 3. Для
z1 2i 3, z2 3 4i
вычислить
z1 z2
Решение
назад

17.

Решение (Пример 3):
z1 z2 3 2i 3 4i
3 3 3 4i 2i 3 2i 4i
8i 2 8 1 8
1 18i
назад

18.

Деление:
z1 a b i ac bd bc ad
2
2
i
2
2
z2 c d i c d
c d
Пример 4. Для
z1 2i 3, z2 3 4i
вычислить
z1
z2
Решение
назад

19.

Решение (Пример 4):
z1 3 2i 3 2i 3 4i
z2
3 4i
3 4i 3 4i
9 12i 6i 8i
17 6
i
2
9 16i
25 25
2
16 1 16
назад

20.

Нахождение обратного числа к комплексному числу :
1
1
a
b
2
2
i
2
2
z1 a b i a b a b
Пример 5. Для
z1 2i 3, z2 3 4i
вычислить
1 1
,
z1 z 2
Решение
назад

21.

Решение (Пример 5):
1
1
1
3 2i
z1 3 2i 3 2i 3 2i
3 2i
3 2
i
2
9 4i
13 13
1
1
1 3 4i
z2 3 4i 3 4i 3 4i
3 4i
3
4
i
2
9 16i
25 25
назад

22.

6. Возведение в степень комплексного числа.
Рассмотрим возведение в степень мнимой единицы:
i i, i 1, i i, i 1, i i è ò.ä.
1
2
3
4
5
i 4 k 1, i 4 k 1 i, i 4 k 2 1, i 4 k 3 i, k 0,1...
2
3
При возведении a b i и a b i
пользуются формулами сокращенного умножения.
Пример 7. Вычислить
i i
2
3
1) 73 68 ; 2) 3 5i ; 3) i 2
i i
80
Решение
123
назад

23.

Решение (Пример 7):
i i
i
i
i i 1 i
1) 73 68 4 18 1 4 17 0 1 0
1
i i
i
i
i i
i 1
80
4 20 0
123
4 30 3
0
3
2) 3 5i 9 30i 25i 2 16 30i
2
25 1 25
3) i 2 i 3 i 2 3 i 2 2 2 11i
3
3
2
i
6
2
12 i
3
8
назад

24.

7. Извлечение корней из комплексного числа.
Извлечение квадратных корней:
a b i u v i
u v i
2
2 a
u
2
2
u v a
2uv b
2 a
v
Пример 9. Вычислить
a b i
a 2 b2
2
a 2 b2
2
5 12i
Решение
далее назад

25.

Решение (Пример 9):
назад

26.

Спасибо за внимание!
Не забывайте готовиться к
урокам
Удачи!