Тригонометрические выражения

1. В7 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

ЕГЭ по математике
http://gorkunova.ucoz.ru

2.

1) Найдите значение выражения
1 способ:
2 sin cos sin 2
2 способ:
sin 2 2 sin cos
6 2 sin 110 cos 110 6 sin 22 0
6
0
0
sin 22
sin 22
12 sin 110 cos 110 12 sin 110 cos 110
6
0
0
0
sin( 2 11 )
2 sin 11 cos 11
Ответ: 6
2) Найдите значение выражения
cos sin cos 2
2
2
1 способ:
sin 2 cos 2 cos 2
24 cos 34 0
24
0
cos 34
2 способ:
24 cos 2 17 0 sin 2 17 0 24 cos 2 17 0 sin 2 17 0
24
0
2
0
2
0
cos 2 17
cos 17 sin 17
Ответ: -24

3.

3) Найдите значение выражения
1 способ:
Используем формулу приведения
для cos290
2 способ:
Используем формулу приведения
для sin610
Угол в
1четверти
cosx >0
5 cos 29 0 5 cos 90 0 610 5 sin 610
5
0
0
0
sin 61
sin 61
sin 61
Функцию
меняем
5 cos 29 0
5 cos 29 0
5
0
0
0
sin( 90 29 ) cos 29
Ответ: 5
4) Найдите значение выражения
Используем табличные значения
36 6
1 1
6
36
36
3 2
3 2
5) Найдите значение выражения
Угол в
1четверти
cosx >0
Выделим
целое
4 2 cos
Ответ: 36
7
1
1
6
cos
4 2
cos
4 cos 2 4 cos 4 2
4
3
3
3
2
2
3
Функцию не
меняем
Ответ: 2

4.

6) Найдите значение выражения
Угол в
4четверти
sinx < 0
sin (-x) = - sin x sin 27 sin 27 sin 28 sin 4 sin 1
4
4
4
4
4
2
Угол в
Функцию не
меняем
4четверти
cosx > 0
cos
31
32
1
cos
cos 8 cos
4
4
4
4
2
Подставляем найденные значения
8
1
1
2
2
Функцию не
меняем
8:
1
8 2 16
2
Ответ: 16
7) Найдите значение выражения
cos (-x) = cos x
Выделим полные обороты
4 3 cos 7500 4 3 cos 7500
7500 = 3600 . 2 + 300
4 3 cos 750 0 4 3 cos 30 0 4 3
3
2 3 6
2
Ответ: -6

5.

8) Найдите значение выражения
tg (-x) = - tg x
Угол в
4четверти
tgx < 0
2 3tg 3000 2 3tg3000 2 3tg 3600 600 2 3tg 600 2 3 3 6
Угол в
4четверти
tgx < 0
А можно другим способом:
Функцию не
меняем
2 3tg 3000 2 3tg3000 2 3tg 2700 300 2 3ctg300 2 3 3 6
Функцию
меняем
Ответ: 6
9) Найдите значение выражения
Угол в
2четверти
sinx > 0
sin (-x) = - sin x
18 2 sin 135 0 18 2 sin 135 0 18 2 sin 180 0 45 0 18 2 sin 45 0
18 2
А можно другим способом:
1
18
2
Функцию
меняем
Угол в
2четверти
sinx > 0
Функцию не
меняем
18 2 sin1350 18 2 sin 900 450 18 2 cos 450 18
Ответ: 18

6.

10) Найдите значение выражения
sin (-x) = - sin x
cos (-x) = cos x
1 1
24 2 cos sin 24 2
12
3
4
2 2
11) Найдите значение выражения
Используем формулу приведения:
Ответ:-12
Угол в 4
четверти
sinx < 0
sin 3410 sin 360 0 19 0 sin 19 0
Функцию
не 0
14 sin 19 0 14
sin 19
меняем 0 14
0
sin 341
sin 19
Ответ: -14
12) Найдите значение выражения
Функцию не
меняем
Угол в
2четверти
cosx < 0
4 cos 146 0 4 cos 180 0 34 0 4 cos 34 0
4
0
0
0
cos 34
cos 34
cos 34
Ответ: -4

7.

Угол 2
четверти
tgx < 0
13) Найдите значение выражения
Используем формулу приведения:
5tg163 0 5tg 180 0 17 0 5tg17 0
5
0
0
0
tg17
tg17 Функцию не tg17
меняем
Ответ: -5
14) Найдите значение выражения
Выделим полный оборот
sin 4090 = sin (3600 + 490) = sin 490
14 sin 409 0 14 sin 49 0
14
0
0
sin 49
sin 49
Ответ: 14
15) Найдите значение выражения
Угол
2четверти
tgx < 0
5tg17 0 tg107 0 5tg17 0 tg 90 0 17 0 5tg17 0 ctg17 0 5
Функцию
меняем
tg ctg 1
Ответ: -5

8.

Угол 1
четверти
tgx > 0
16) Найдите значение выражения
7tg13 0 tg 77 0 7tg13 0 tg 90 0 13 0 7tg13 0 ctg13 0 7
Используем формулу приведения:
tg ctg 1
Функцию
меняем
Ответ: 7
17) Найдите значение выражения
Используем формулу приведения:
12
12
12
2
0
2
0
sin 37 cos 37
1
cos sin 1
2
sin 1270 = sin (900 + 370) = cos 370
2
Ответ: 12
18) Найдите значение выражения
Используем формулу приведения:
cos 113 sin 23
2
0
0 2
cos 1130 = cos (900 + 230) = - sin 230
sin2 230
6
6
6
2
0
2
0
2
0
2
0
cos 23 cos 113
cos 23 sin 23
Ответ: 6

9.

19) Íàéäèòå
cos 1 sin
2
3 cos , åñëè
1) Íàéäåì
sin
sin 1 cos 2
3
è ;2
2
cos :
2
2 2
8
1
1
1
cos 1
3
9
9
3
1
ò .ê. óãîë 4÷åòâåðòè , òî
cos
3
2 ) 3 cos 3
20) Íàéäèòå
2 2
3
5 sin , åñëè
1) Íàéäåì
1
1
3
cos
Ответ: 1
2 6
5
3
è
;2
2
sin :
2
2 6
24
1
1
1
sin 1
25
25
5
5
1
ò .ê. óãîë 4÷åòâåðòè , òî
sin
5
1
2 ) 5 sin 5 1
5
Ответ: -1

10.

21) Íàéäèòå
sin
tg
cos
1) Íàéäåì
3
è ;2
2
10
10
tg , åñëè cos
sin :
2
sin 1 cos 2
10
10
1
9
3
1
sin 1
1
100
10
10
10
10
3
ò .ê. óãîë 4÷åòâåðòè , òî
sin
10
2 ) tg
22) Íàéäèòå
cos 1 sin
2
tg , åñëè
1) Íàéäåì
3
10
3
10
:
3
10 10
10 10
sin
5
26
Ответ: -3
3
è ;
2
cos :
2
5
25
1
1
cos 1
1
26
26
26
26
1
ò .ê. óãîë 3÷åòâåðòè , òî
cos
26
2 ) tg
5
1
5
26
:
5
26
26
26 1
Ответ: 5

11.

23)
Íàéäèòå
1 способ:
24 cos 2 , åñëè
1) Íàéäåì
cos 2 cos 2 sin 2
cos 2 1 sin 2
sin 0,2
cos 2 :
cos 2 1 0,2 1 0,04 0,96
2
2 ) 24 cos 2 24 0,96 0,04 24 0,92 22,08
2 способ:
cos 2 1 2 sin
2
24 cos 2 24 1 2 0,2 24 0,92 22,08
2
Ответ: 22,08
24)
Íàéäèòå
10 sin 6
, åñëè
3 cos 3
sin 3 0,6
sin 2 2 sin cos
10 sin 2 3 10 2 sin 3 cos 3 20 sin 3
3 cos 3
3 cos 3
3
1)Óïðîñòèì
âûðàæåíèå
2 )Âû÷èñëèì
20 0,6
20 0,2 4
3
Ответ: 4

12.

25) Найдите значение выражения Угол 2
четверти
cosx < 0
Угол 2
1) cos
cos
четверти
Используем формулу приведения:
Функцию не
меняем
sinx > 0
2 ) sin cos
2
Функцию
Угол 3
четверти
cosx < 0
3 ) cos 3 cos 3 cos
меняем
Подставляем найденные значения
Функцию
3 cos cos
2 cos
не меняем
2
cos
cos
Ответ: 2
26) Найдите значение выражения
1) sin (-x) = - sin x
sin 7 sin 7 sin
3
2 ) cos
sin
2
3 ) sin sin sin
Подставляем найденные значения
2 sin sin sin
1
sin
sin
Ответ: 1

13.

27) Найдите значение выражения
Угол 2
четверти
Используем формулу
приведения:
tgx < 0
tg (-x) = - tg x
2 )tg tg
1)tg 5 tg
Функцию
не
Подставляем
найденные значения
меняем
åñëè
28) Íàéäèòå
5 tg tg 5tg tg 4tg
tg 7, òî
4tg 28
7
sin
, åñëè
2
Ответ: -28
sin 0,8 è ;
Угол 3
2
четверти
sinx < 0
Используем формулу приведения:
2 ) Íàéäåì
cos :
7
1) sin
cos
2
Функцию
меняем
cos 1 0,8 1 0,64 0,36 0,6
2
ò .ê. óãîë
2÷åòâåðòè , òî
3 ) cos 0,6 0,6
cos 0,6
Ответ: 0,6

14.

29) Íàéäèòå
3
26 cos
, Угол
åñëè
4
2
четверти
cos
12
13
3
è ; 2
2
cosx > 0
3
1) cos
sin
2
sin : Функцию
Используем формулу приведения:
2 ) Íàéäåì
2
меняем
144
25
5
12
sin 1 1
169
169
13
13
5
ò .ê. óãîë 4÷åòâåðòè , òî
sin
13
Подставляем найденные значения
30) Íàéäèòå
5
26 sin 26 10
13
5
tg
, åñëè
2
Ответ: -10
tg 0,4
Угол 2
четверти
tgx < 0
Используем формулу приведения:
5
5
4
tg
tg
tg
tg
2
tg
ctg
2
2
2
2
2
ctg
1
1
2,5
tg
0,4
Функцию
меняем
Ответ: -2,5

15.

31)
Íàéäèòå
cos 2 sin 2 1
1) Ïðåäñòàâèì
2 ) Ïîäñòàâèì
tg 2 , åñëè
5 sin2 13 cos 2 6
6 6 1 6 cos 2 sin2 6 cos 2 6 sin2
â ðàâåíñòâî
:
5 sin2 13 cos 2 6 cos 2 6 sin2
sin2 7 cos 2 0, : cos 2 0
Ответ: 7
tg 7 0 , tg 7
32)Íàéäèòå
tg
sin
cos
3 cos 4 sin
, åñëè
2 sin 5 cos
tg 3
sin
3 , sin 3 cos
cos
3 cos 4 3 cos 3 cos 12 cos 9 cos
9
2 3 cos 5 cos 6 cos 5 cos
cos
Ответ: -9

16.

33) Íàéäèòå
tg
10 cos 4 sin 15
, åñëè
2 sin 5 cos 3
tg 2,5
sin
2,5, sin 2,5 cos
cos
sin
cos
10 cos 4 2,5 cos 15 10 cos 10 cos 15 15
5
2 2,5 cos 5 cos 3
5 cos 5 cos 3
3
Ответ: 5
34)Íàéäèòå
tg , åñëè
1)Ðàññìîòðèì
7 sin 13 cos
3
5 sin 17 cos
ïðîïîðöèþ
7 sin 13 cos 3
5 sin 17 cos 1
7 sin 13 cos 3 5 sin 17 cos
7 sin 13 cos 15 sin 51cos
tg
sin
cos
8 sin 64 cos 0 , : cos 0
8tg 64 0, tg 8
Ответ: 8

17.

35)
Íàéäèòå
tg , åñëè
3 sin 5 cos 2 1
sin 3 cos 6
3
3 3 sin 5 cos 2 sin 3 cos 6
9 sin 15 cos 6 sin 3 cos 6 0
tg
sin
cos
8 sin 18 cos 0 , : cos 0
8tg 18 0, tg 2,25
36) Íàéäèòå
Используем формулу приведения:
7 cos 2 sin , åñëè
2
Угол 3
четверти
cosx <0
Ответ: 2.25
cos
1
3
Угол 2
четверти
sinx >0
7 cos 2 sin 7 cos 2 cos 9 cos
2
Функцию не
Функцию
меняем
1меняем
9 cos 9 3
3
Ответ: 3

18.

3
5 sin 7 11cos
, åñëè
2
37)Íàéäèòå
sin (- ) = - sin
1)5 sin 7 5 sin 7 5 sin
3
2 )11cos
11sin
2
3 ) 5 sin 11sin 16 sin 16 0,25 4
38)
1 способ:
sin 0,25
Íàéäèòå
9 cos 2 , åñëè
cos
Ответ: 4
1
3
cos 2 2 cos 2 1
2
1
2
2
9 cos 2 9 2 cos 1 18 cos 9 18 9 2 9 7
3
2 способ:
cos 2 cos 2 sin 2
2
1 8
1
2
2
1) sin 1 cos 1 1
9 9
3
1 8
7
2 )9 cos 2 9 cos sin 9 9 7
9 9
9
2
2
Ответ: -7

19.

39) Найдите значение выражения
Используем формулу приведения
для sin 410
sin cos 0,5 sin 2
sin 410 sin 90 0 49 0 cos 49 0
5 sin 98 0
5 sin 98 0
10
sin 49 0 cos 49 0 0,5 sin 98 0
Ответ: 10
40) Найдите значение выражения
Используем формулу приведения
для cos530
cos 53 0 cos 90 0 37 0 sin 37 0
5 sin 74 0
5 sin 74 0
10
0
0
0
cos 37 sin 37
0,5 sin 74
Ответ: 10
41) Найдите значение выражения
Используем формулу приведения
12 sin 180 0 30 0 cos 90 0 30 0 12 sin 30 0 sin 30 0 12
1 1
3
2 2
Ответ: -3

20.

42) Найдите значение выражения
sin cos 0,5 sin 2
5
1
5
8 0,5 sin 2
4 sin 4 sin 4 2
4 sin
6
6
6
2
12
Ответ: 2
43) Найдите значение выражения
cos 2 sin 2 cos 2
5
5
5
5
3 cos 2
sin 2
3 cos 2
3 cos
12
12
6
12
3
3 cos 3 cos 3
1,5
6
6
2
Ответ: -1,5

21.

44) Найдите значение выражения
cos 2 2 cos 2 1
5
5
5
3 3 2 cos 2
1 3 cos 2
12
12
12
5
3 cos
3 cos 150 0 3 cos 180 0 30 0
6
3
3 cos 30 0 3
1,5
3
Ответ: -1,5
2 3 cos 2
45) Найдите значение выражения
cos 2 1 2 sin 2
3 2 3 sin 2
5
5
5
3 1 2 sin 2
3 cos 2
12
12
12
5
3
3 cos
3 cos 3 cos 3
1,5
6
6
6
2
Ответ: -1,5