Нормальный закон распределения. (Тема 6)

1.

6. Нормальный закон распределения
Стандартный нормальный закон
Функция Лапласа
Вероятность попадания
нормальной СВ в заданный интервал
Правило «трех сигм»

2.

Непрерывное распределение, которое занимает
наиболее важное положение в теории и практике
статистики распределение Гаусса, или
нормальное распределение
Это так,
и этот ЗР
действительно
важен
вот почему:
«Нормальный» можно понимать
как выражение нормы, некоторого
стандарта, «образца поведения» СВ
to be continued
1) Чаще всех в практических задачах («приложениях»)
2) Им часто аппроксимируют другие законы

3.

3) Является пределом для других ЗР при некотором
n (биномиальный при числе испытаний)
4) Занимает центральное положение в семействе ЗР
(моделей распределений), центр симметрии (А, Е = 0)
Часто встречается в связи с тем, Примеры:
что
Случайная величина X распределена нормально,
когда все ее значения x формируются под
суммарным воздействием очень большого числа
случайных факторов, эффекты каждого из них
малы, сравнимы по величине
и равновероятны по знаку

4.

Ошибки измерений часто нормальны
(такие распределения обнаружили астрономы в 18 веке)
В статистике распределение выборочного
среднего стремится к нормальному, даже если
отдельные наблюдения не нормальны
Некоторые характеристики живых
организмов подчинены нормальному закону
В производстве и контроле качества % брака,
производительность, размеры деталей …
В сфере финансов, рынка, в деловой практике
отношение «цена / доход», годовая зарплата …

5.

СВ распределена по нормальному закону
если ее функция плотности равна
( x ) 2
1
2
2
f ( x)
e
Тогда
2
2
1
( x )
f ( x)
exp[
]
2
2
2

6.

Функция распределения нормальной
величины определяется как
2
1
(u )
F ( x)
exp[
]
du
2
2
2
x
Параметры и 2 матожидание и дисперсия
Это двухпараметрический закон
1) если известно, что распределение нормально,
знание и дает полное описание СВ
2) все нормальные СВ отличаются только и
Используют специальное обозначение
нормальных величин N: ,
!

7.

0.3/
f
1
2
0.1/
1
N: ,
NB!
x
Чем это
распределение
отличается от
следующего?
F
0.5
+
-
x
+ 2

8.

0.4
f
N: 0, 1
0.3
0.2
1
f ( z)
2
z
1
2
0.1
z2
e 2
0
F
1
z
2
1
u
F ( z)
exp( )du
2
2
z
0.5
-3
-2
-1
0
1
2
3

9.

Коллекция нормальных распределений
f
30, 2.5
Площади
под
кривыми
равны
-5, 5
5, 10
30, 5
x
-20
0
20
40

10.

У нормальных распределений с разными и
Различия:
Общее:
колоколообразная
форма кривой,
с точкой перегиба
на расстоянии от
унимодальные,
высшая ордината
в точке = Мо = Ме,
хвосты 0 в обоих
направлениях
(ПР 0 при x )
симметричные,
равноудаленные от
меньшие и большие х
имеют равные p
привязаны к разным
точкам числовой оси
чем < , тем > площадь
под кривой вблизи ,
> вероятность значений
вблизи центра

11.

Стандартный нормальный закон
Это N: 0, 1 нормальный закон с = 0 и = 1
Узнаете
стандартизованное
стандартное
(или
единичное)
(единичное)
отклонение?
нормальное
распределение
Измеряет
в «сигмах»
отклонения x от центра
распределения
Будучи
стандартом
для других ЗР,
нормальное
распределение
имеет свой
собственный
Любое
нормальное распределение
стандарт
можно записать
в стандартной форме с помощью
нормализованной переменной
x
z

12.

Зачем нужна
нормализация и
стандартный
нормальный ЗР?
Смысл есть,
весьма
утилитарный!
Дело
в том,
что
!
Из x = z + f(x) = f(z)/ , dx = dz
И
!
F(x) = F(z)
Тогда
P { X < x} = P{Z < z } = F[z = (x- ) / ]
P {x1< X < x2} = F[z2= (x2 - )/ ] F[z1= (x1 - )/ ]

13.

Вместо расчета интегралов всякий раз
для разных и , можно использовать
раз и навсегда рассчитанные значения
стандартной нормальной ФР
называется
?
1 z
u2
интеграл
F ( z)
exp( )du
2
2
вероятности
Однако,
есть таблицы
значений
обычно при расчете вероятностей
значений нормальной величины
в том или ином интервале
вместо интеграла вероятности используется
функция Лапласа

14.

z
2
1
u
( z )
exp( )du
2 0
2
У нее следующие свойства:
(0) = 0; ( ) = 0.5;
это нечетная функция, ( z) = (z)
Поскольку F(z) = 0.5 + (z), то
P {x1 < X < x2} =
(z2) (z1)

15.

Удобное практическое правило
Вероятность того, что нормальная величина
примет значение из некоторого интервала
равна разности значений функции Лапласа
для нормализованных
верхней и нижней границ этого интервала
Пример
Производительность за смену (Y) распределена
нормально, = 160 изд., = 20.
Экономическая целесообразность требует, чтобы
выпускалось не более 200 и не менее 150 шт.

16.

P{150 < Y < 200} =
[z2 = (200-160)/20=2] Для
более надежного
выполнения требований
[z1 =(150-160)/20=-0.5] необходимо
=
?
(2) + (0.5) = 0.4472 +статистически
0.1915 = 0.6687
увеличить , снизить !
организационно ???
f
120
140
160
180
200
Производительность (шт)
Это означает, что
только 67%
производственных
ситуаций
отвечают
требованиям

17.

Важный пример с обобщением
Пусть
X распределена нормально, = 10, = 4
т.е., вероятности
попасть в интервал
Тогда
12 10
8 10
P(8 X 12) (
) (
)
симметричный
4
4
относительно
2 (( 2) / ) 2 0.1915 0.383
Соответствует
заштрихованной площади
и равно вероятности
отклонений от
не более, чем на = 2
x
f
2
6
10
?
14
16

18.

Общее правило
P ( X )
P ( X )
2 ( z )
Вероятность того, что
(при измерении, управлении, производстве …)
отклонение от
(неизвестного истинного, предписанного … значения)
в обоих направлениях не превысит
максимально допустимого
равна удвоенному значению функции Лапласа
от « / стандартных отклонений»

19.

Очевидно!
P ( X ) 1 2 ( )
определяет !!!
шансы отклонений,
превышающих заданное
риск выйти за нормативные границы
!

20.

Примеры с важным обобщением
= z = / = 1 2 (1) = 0. 6826
68.3% значений величины X оказываются
= 2 z = 2
в интервале ( - , + )
P( X- < =2 ) = 0.9545
= 3
P( X- < ) = 0.9973
f
x

21.

99.7% значений нормально
распределенной величины попадают в
интервал ( 3 )
Тогда
P( X > 3 ) = 1 0.9973 = 0.0027
Вспомнив про
уровень значимости,
можно считать это
невозможным
событием
только 27 из 10000
можно ожидать
дальше от
среднего, чем
3

22.

«Правило трех сигм»
The End
Если СВ нормальна, абсолютное значение
ее отклонений от среднего не превышает
три сигмы
The End
В примере с производительностью:
количество производимой за смену продукции
может находиться в пределах
от 100 до 220 шт.