1.98M

Category: $mathematics$ mathematics

Вычисление определенного интеграла

1.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2. Повторим…

ПОВТОРИМ…

3. Понятие первообразной

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ
Функцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x ) f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.

4.

ПРИМЕРЫ
1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F (x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F (x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)

5. Неопределенный интеграл

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Неопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
где С – произвольная постоянная (const).

6.

ПРИМЕРЫ
1. Adx Ax C ; Ax C A
x
x
x
x
2. e dx e С; e C e
cos x C
3. sin xdx cos x С ;
4
x
4. x dx
С;
4
3
sin x
x
1
3
3
С 4x x
4
4
1
5.
dx tg x C ;
2
cos x
4
tg x C
1
2
cos x

7. Таблица первообразных

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ
F(x)
x n 1
C
n 1
2x x
C
3
sin x C
cos x C
tgx C
ctgx C
f(x)
x
n
х
cos x
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
F(x)
f(x)
ax C
ax
lna
1
C
x
ln x
ex C
ex
C
Cx
loga x C
1
x lna
arcsinx C
1
1 x2

8.

ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ
ПЕРВООБРАЗНЫХ
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf(х).
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
1
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
F(kx + b)
k
есть первообразная для f(kx + b).

9.

ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

10. Определенный интеграл

b
f x dx F x
b
a
F b F a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл равен
площади криволинейной трапеции, образованной
линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x),
и прямыми у = 0; х = а; х = b.

11. Вычисление определенного интеграла

3x
2
1
2
2 x 1 dx x x x
3
2
2
1
2 2 2 1 1 1 6 1 5
10
3
3
2
3
2
2 x 6 x 6
x 6 dx
3
10
3
2 10 6 10 6 2 3 6 3 6 80
2
18 7
3
3
3
3

12. Пример 1:

вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
SВОС SABCD SABOCD
C
2
2
1
1
2
x
2
dx
x
dx
2
B
A
-1
2
x2
x3
2
х 2 х dx 2x
3 1
2
1
2
O
D
2
8 1
1
1
2 4 2 5 4,5
3 2
3
2
x