Первообразная и интеграл

3.24M

Category: $mathematics$ mathematics

1. Первообразная и интеграл

7. Понятие первообразной

Функцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x ) f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.

8.

9.

Примеры
1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F (x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F (x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)

10. Правила отыскания первообразных

11.

12.

13.

14. 15. Таблица первообразных

F(x)
x n 1
C
n 1
2x x
C
3
sin x C
cos x C
tgx C
ctgx C
f(x)
F(x)
f(x)
a C
ax
lna
1
C
x
ln x
cos x
ex C
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
C
ex
Cx
loga x C
1
x lna
x
n
х
x
arcsin x C
1
1 x2

16. Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
Где С – произвольная постоянная (const).

17.

Примеры
1. Adx Ax C ; Ax C A
x
x
x
x
2. e dx e С; e C e
3. sin xdx cos x С ;
4
x
4. x dx
С;
4
3
cos x C
sin x
tg x C
1
2
cos x
x
1
С 4x 3 x 3
4
4
1
5.
dx tg x C ;
2
cos x
4

18. Определенный интеграл

b
b
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
F
(
b
)
F
(
a
)
a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл
равен
площади
криволинейной
трапеции,
образованной линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x),
и прямыми у = 0; х = а; х = b.

19. Вычисление определенного интеграла

2
( 3x
2
3
2
2
2x 1 )dx ( x x x )
1
1
3
2
3
2
( 2 2 2 ) (1 1 1) 6 1 5
10
2( x 6 ) x 6
3 ( x 6 )dx
3
10
3
2(10 6 ) 10 6 2( 3 6 ) 3 6 80
2
18 7
3
3
3
3

20. Площадь криволинейной трапеции

b
S ABCD f ( x)dx
y
a
F (b) F (a)
D
C
a
b
B
x=b
x=a
0
A
y=0
x

21. Площадь криволинейной трапеции (1)

b
S ABCD f ( x )dx
a
F( a ) F( b )
B
b
D
C
x=b
0
A
a
x=a
y
y=0
x

22.

y
Площадь криволинейной
трапеции (2)
S PMCD S ABCD S ABMP
D
P
0
Aa
b
b
a
a
f x dx g x dx
C
b
f x g x dx
a
M
b B
x

23.

y
Площадь криволинейной
трапеции (3)
SPMCD SABCD SABMP
D
0
C
b
b
a
a
f x dx g x dx
b
f x g x dx
a
A
a
B
b
P
M
x

24. Пример 1:

вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
SВОС SABCD SABOCD
2
2
1
1
2
x 2 dx x dx
2
C
B
A
-1
8 1
1
1
2 4 2 5 4,5
3 2
3
2
2
O
2
x2
x3
х 2 х dx 2x
3 1
2
1
2
D
2
x