Similar presentations:
Понятие первообразной. 11 класс
1. Понятие первообразной.
ПОНЯТИЕПЕРВООБРАЗНОЙ.
2. Содержание
СОДЕРЖАНИЕпонятие первообразной
неопределенный интеграл
таблица первообразных
три правила нахождения первообразных
определенный интеграл
вычисление определенного интеграла
площадь криволинейной трапеции
площадь криволинейной трапеции (1)
площадь криволинейной трапеции (2)
площадь криволинейной трапеции (3)
площадь криволинейной трапеции (4)
пример (1)
пример (2)
3.
4.
Как по скорости движения тела найти законего движения?
5.
6.
7.
8. Понятие первообразной
ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙФункцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x ) f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.
9.
Примеры1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F (x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F (x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)
10. Неопределенный интеграл
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛНеопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
Где С – произвольная постоянная (const).
11.
Примеры1. Adx Ax C ; Ax C A
x
x
x
x
2. e dx e С; e C e
3. sin xdx cos x С ;
4
x
4. x dx
С;
4
3
cos x C
sin x
tg x C
1
2
cos x
x
1
С 4x 3 x 3
4
4
1
5.
dx tg x C ;
2
cos x
4
12.
Три правила нахожденияпервообразных
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf(х).
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
1
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
F(kx + b)
k
есть первообразная для f(kx + b).
13. Таблица первообразных
ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХF(x)
x n 1
C
n 1
2x x
C
3
sin x C
cos x C
tgx C
ctgx C
f(x)
F(x)
f(x)
a C
ax
lna
1
C
x
ln x
cos x
ex C
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
C
ex
Cx
loga x C
1
x lna
x
n
х
x
arcsin x C
1
1 x2
14.
Криволинейная трапецияКриволинейной трапецией называется фигура,
ограниченная графиком непрерывной и не меняющей
на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми
х=а, x=b и отрезком [а;b].
У
0
a
x=b
х=а
y = f(x)
b
Х
Отрезок [a;b] называют основанием
этой криволинейной трапеции
15.
Криволинейная трапециях
у
1
У=х²+2х
-2
0
2
у 2
-1
0 1
-1
0
х
-1
0
2
16.
21
Неверно
верно
у
3
у
у
y = f(x)
y = f(x) 3
y = f(x)
У=1
0
4
0
0
х
5
у
верно
х
6
у
y = f(x)
х
y = f(x)
у
y = f(x)
У=3
0
0
х
верно
0
х
х
верно
Неверно
17.
ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИИ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
18.
Площадь криволинейной трапеции.y f (x)
y
S
0
a
b
x
S F (b) F (a)
где F(x) – любая первообразная функции f(x).
19.
Формула Ньютона-ЛейбницаS F (b) F (a)
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
b
1643—1727
f ( x)dx F (b) F (a)
a
b
S f ( x)dx
a
1646—1716
20. Площадь криволинейной трапеции
yПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ
ТРАПЕЦИИ
D
C
b
S ABCD
f x dx
a
F b F a
a
b
B
x=b
x=a
0
A
y=0
x
21. Площадь криволинейной трапеции (1)
ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙТРАПЕЦИИ (1)
y
B
b
y=0
x
b
S ABCD f x dx
F a F b
D
C
x=b
a
x=a
0
A
a
22.
yПлощадь криволинейной
трапеции (2)
D
C
S PMCD S ABCD S ABMP
P
0
Aa
M
b B
x
b
b
a
a
f x dx g x dx
b
f x g x dx
a
23.
yПлощадь криволинейной
трапеции (3)
D
0
A
a
C
S PMCD S ABCD S ABMP
B
b
x
P
M
b
b
a
a
f x dx g x dx
b
f x g x dx
a
24. Пример 1:
вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
ПРИМЕР 1:
y
S
C
B
A
-1
2
2
2
1
1
2
x
2
dx
x
dx
2
2
3
x
x
2
х 2 х dx 2x
3 1
2
1
2
8 1
1
1
2 4 2 5 4,5
3 2
3
2
O
D
2
x
25.
yПлощадь криволинейной
трапеции (4)
SАЕDВ SAEDC SСDB
D
с
b
a
с
f x dx g x dx
Е
0
Aa
с
C
b
B
x
26.
вычислить площадь фигуры,Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
y
4
0
SАDВ SADС SСDB
D
A
2
4
C
8
B
x
27.
вычислить площадь фигуры,Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
4
8
x - 2 dx 2
2
2
4
3 4
x 2
8 - хdx
3
4 8 x 8 x
3
2
8
4
4 2 3 2 2 3 4 8 8 8 8 4 8 4 8 4
3
3
3
3
8 32 40
1
13
3 3
3
3
28. Определенный интеграл
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛb
f x dx F x
b
a
F b F a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл
равен
площади
криволинейной
трапеции,
образованной линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x),
и прямыми у = 0; х = а; х = b.
29. Вычисление определенного интеграла
ВЫЧИСЛЕНИЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
3x
2
2
2 x 1 dx x x x
3
2
2
1
1
2 2 2 1 1 1 6 1 5
10
3
3
2
3
2
2 x 6 x 6
x 6 dx
3
10
3
2 10 6 10 6 2 3 6 3 6 80
2
18 7
3
3
3
3