Вписанная и описанная окружности

1.

2.

В. 21 Если все стороны многоугольника касаются
окружности, то окружность называется вписанной
в многоугольник.
А многоугольник
D
С
О
В
А
называется
описанным около
этой окружности.
ВАЖНО!!!
E
Центр вписанной
окружности в
многоугольник
находится в точке
пересечения
биссектрис

3.

Вопрос № 1. Какой из двух четырехугольников АВСD
или АЕКD является описанным?
К
С
E
В
О
D
А

4. Вопрос № 2.

5.

ВАЖНО!!! Какие известные свойства нам пригодятся при
изучении вписанной окружности?
Свойство касательной
С
E
Свойство отрезков
касательных
F
В
О
D
P
К
А

6.

В. 22 Теорема
А
В любой треугольник можно
вписать окружность, и притом
только одну.
Дано: АВС
Доказать, что в
треугольник можно
вписать окружность
С
В

7.

1) Доп.Постр. : проведем биссектрисы углов треугольника.
Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника
2)
СOL = COМ, по гипотенузе и ост. углу
А
ОL = MО
3)
МОА= КОА, по гипотенузе и ост. углу
МО = КО
4) LО=MО=KО
точка О равноудалена от сторон
треугольника. Значит, окружность с
центром в т.О проходит через точки
K, L и M. Стороны треугольника АВС
касаются этой окружности. Значит,
окружность является вписанной
АВС.
В
M
K
О
С
L

8.

В. 23.
Не в любой четырехугольник можно
вписать окружность.
В прямоугольник нельзя вписать окружность.
С
В
О
А
D

9.

В любом описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны.
АВ+СД= ВС + АD
DN=RD= a (как отрезки
С
касат.)
E
• АВ= b+c . BC= c+d
R
• CD=d+a AD= a+b
AB+CD= b+c+d+a
BC+AD=c+d+a+b
О
D
d
d
c
В
a
c
a
F
N
b
А
b
т.е. AB+CD=BC+AD

10.

Верно и обратное утверждение.
Если суммы противоположных сторон выпуклого
четырехугольника равны, то в него можно вписать
окружность.
С
В
О
А
Если в
четырехугольнике
ВС + АD = АВ + DC,
то в него можно
вписать окружность
D

11. Вопрос № 3.

Вопрос №С 3.
5
4 • Объясните
почему??
В
О
D
8
7
А
Можно ли в данный
четырехугольник
вписать окружность?

12.

Вопрос № 4. Найти FD
D
?
5
F
7
О
4
А
6
N

13.

В. 24. Если все вершины многоугольника лежат на
окружности, то окружность называется описанной
около многоугольника.
А многоугольник
называется
вписанным в эту
С
D
окружность.
В
О
А
E
ВАЖНО!!!!
Центр описанной
окружности в
многоугольник
находится в точке
пересечения
серединных
перпендикуляров.

14.

Вопрос № 5. Какой из многоугольников, изображенных
на рисунке является вписанным в окружность?
С
С
D
D
P
В
В
О
О
E
L
А
E
X
А
E

15. Вопрос № 6.

16.

ВАЖНО!!!! Какие известные свойства нам пригодятся при
изучении описанной окружности?
В
А
О
D
С
Теорема о вписанном угле

17.

В. 25. Теорема Около любого треугольника можно
описать окружность, и притом только
А одну.
Дано: АВС
Доказать, что можно
описать окружность около
треугольника АВС.
С
В

18.

1) Доп.Постр: проведем серединные перпендикуляры к сторонам
ВOL = CO L, по катетам ВО = СО
3) СОМ = АOМ, по катетам СО = АО
2)
4) ВО=СО=АО, т.е. точка О
равноудалена от вершин
треугольника. Значит,
окружность с центром в т.О
и радиусом ОА пройдет
через все три вершины
треугольника, т.е. является
описанной окружностью.
А
M
K
С
О
L
В

19.

В
А
О
1
А ВCD
2
+
1
C ВAD
2
3600
D
С
1
А С ( ВСD ВАD )
2
А С 1800

20.

Верно и обратное утверждение.
Если сумма противоположных углов
четырехугольника равна 1800, то около него можно
описать окружность.
В
А
670
А
1000
D
В
990
О
1130
770
О
800
1230
С
D
790
С

21.

Вопрос № 7. Найти неизвестные углы
четырехугольников.
В
А
?
650
?
В
А
?
590
1000
О
О
1150
D
800
С
D
1210
?
9 00
С

22. Домашнее задание.

• Дать ответы на вопросы 1-7 (слайды
№ 3,4,11,12,14,15,21)
• Подготовка к зачету по теме
« Окружность». ( на следующей неделе)
Стр. 162-182
вопросы на стр. 184-185

23. Ссылки видиоуроков

• https://www.youtube.com/watch?v=uNVey
qJecCU
• https://www.youtube.com/watch?v=I37Pg_
JQ4K8