Вписанные и описанные окружности

1.

2.

3.

a b c
r
2

4.

Если все стороны многоугольника касаются
окружности, то окружность называется вписанной
в многоугольник.
А многоугольник
D
С
называется
описанным около
этой окружности.
О
E
В
А

5.

Какой из двух четырехугольников АВСD или АЕКD
является описанным?
К
С
E
В
О
D
А

6.

В прямоугольник нельзя вписать окружность.
С
В
О
А
D

7.

Какие известные свойства нам пригодятся при изучении
вписанной окружности?
Свойство касательной
С
E
Свойство отрезков
касательных
F
В
О
D
P
К
А

8.

В любом описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны.
E
d
С
d
R
c
a
В
О
D
c
a
F
N
b
А
b

9.

№ 695 Сумма двух противоположных сторон
описанного четырехугольника равна 15 см.
Найдите периметр этого четырехугольника.
С
D
В
О
ВC+AD=15
AB+DC=15
А
PABCD = 30 см

10.

Найти FD
D
?
5
F
7
О
4
А
6
N

11.

Равнобокая трапеция описана около окружности.
Основания трапеции равны 2 и 8. найдите радиус
вписанной окружности.
ВC+AD=10
AB+DC=10
В L
5
2
С
5
О
4
А
3
N
S
F
8
3
D

12.

Верно и обратное утверждение.
Если суммы противоположных сторон выпуклого
четырехугольника равны, то в него можно вписать
окружность.
С
ВС + АD = АВ + DC
В
О
D
А

13.

Можно ли в данный
четырехугольник
вписать окружность?
С
5
4
В
О
D
8
7
А
5+7 = 4+8

14.

Теорема
А
В любой треугольник можно
вписать окружность.
Дано: АВС
Доказать, что в
треугольник можно
вписать окружность
С
В

15.

1) ДП: биссектрисы углов треугольника
Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника
2)
СOL = COМ, по гипотенузе и ост. углу
А
ОL = MО
3)
МОА= КОА, по гипотенузе и ост. углу
МО = КО
4) LО=MО=KО
точка О равноудалена от сторон
треугольника. Значит, окружность с
центром в т.О проходит через точки
K, L и M. Стороны треугольника АВС
касаются этой окружности. Значит,
окружность является вписанной
АВС.
В
M
K
О
С
L

16.

В любой треугольник можно
вписать окружность.
Теорема
А
M
K
О
С
L
В

17.

№ 697 Докажите, что площадь
описанного многоугольника равна
половине произведения его
периметра на радиус вписанной
окружности.
+
a
С
2
В
a1
r
r
r
a3
D
О
1
S n (a1 a2 a3 ...) r
2
А
К
1
S AOB a1 r
2
1
S ВОС a2 r
2
1
SCOD a3 r
2
…
F
1
S n Pn r
2

18.

В
А
С

19.

Если все вершины многоугольника лежат на
окружности, то окружность называется описанной
около многоугольника.
А многоугольник
С
В
D
О
А
E
называется
вписанным в эту
окружность.

20.

Какой из многоугольников, изображенных на рисунке
является вписанным в окружность?
С
С
D
D
P
В
В
О
О
E
L
А
E
X
А
E

21.

Какие известные свойства нам пригодятся при изучении
описанной окружности?
В
А
О
D
С
Теорема о вписанном угле

22.

В любом вписанном четырехугольнике сумма
противоположных углов равна 1800.
В
А
О
1
А ВCD
2
+
1
C ВAD
2
3600
D
С
1
А С ( ВСD ВАD )
2
А С 1800

23.

Найти неизвестные углы четырехугольников.
В
А
?
650
?
В
А
?
590
1000
О
О
1150
D
800
С
D
1210
?
9 00
С

24.

Верно и обратное утверждение.
Если сумма противоположных углов
четырехугольника равна 1800, то около него можно
вписать окружность.
В
А
670
А
1000
D
В
990
О
1130
770
О
800
1230
С
D
790
С

25.

Теорема
Около любого треугольника можно
описать окружность.
А
Дано: АВС
Доказать, что можно
описать окружность
С
В

26.

1) ДП: серединные перпендикуляры к сторонам
ВOL = CO L, по катетам ВО = СО
3) СОМ = АOМ, по катетам СО = АО
2)
4) ВО=СО=АО, т.е. точка О
равноудалена от вершин
треугольника. Значит,
окружность с центром в т.О
и радиусом ОА пройдет
через все три вершины
треугольника, т.е. является
описанной окружностью.
А
M
K
С
О
L
В

27.

Теорема
А
Около любого треугольника
можно описать
окружность.
M
K
О
С
L
В

28.

О

29.

О

30.

31.

32.

№702
В окружность вписан треугольник АВС так, что
АВ – диаметр окружности. Найдите углы треугольника,
если: а) ВС = 1340
б) АС = 700
В
В
350
1340
230
О
О
С
С
670
550
700
А
А

33.

№703
В окружность вписан равнобедренный
треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы
треугольника, если ВС = 1020.
(1800 – 510) : 2 = 1290 : 2 = 128060/ : 2 = 64030/
В
1020
О
510
С
А

34.

№704 (a)
Окружность с центром О описана около
прямоугольного треугольника. Докажите, что точка О –
середина гипотенузы.
В
А
О
С
1800

35.

№704 (б)
Окружность с центром О описана около
прямоугольного треугольника. Найдите стороны
треугольника, если диаметр окружности равен d, а один
из острых углов треугольника равен .
AB
cos
d
В
А
АВ d cos
О
d
С
BC
sin
d
ВС d sin

36.

№705 (а) Около прямоугольного треугольника АВС с
прямым углом С описана окружность. Найдите радиус
этой окружности, если АС=8 см, ВС=6 см.
С
8
А
6
О
5
10
5
В

37.

№705(б) Около прямоугольного треугольника АВС с
прямым углом С описана окружность. Найдите радиус
0
этой окружности, если АС=18 см, В 30 .
С
В
300
18
36
18
О
18
А

38.

Боковые стороны треугольника, изображенного на
рисунке, равны 3 см. Найти радиус описанной около него
окружности.
В
3
А
3
О
С
1800

39.

Радиус окружности, описанной около треугольника,
изображенного на чертеже, равен 2 см.
Найти сторону АВ.
В
?
А
450
2
О
2
С
1800