Динамика механической системы. Курс лекций

1.

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)
Кафедра теоретической механики
Научно-технический центр транспортных технологий
Бондаренко А.Н.
Курс лекций по
теоретической
механике
Динамика (I часть)
Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов,
обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе (1974-2006 гг.).
Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров.
Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра
Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional.
Замечания и предложения можно послать по e-mail: [email protected] .
Москва - 2007

2.

Содержание
Лекция 4. Динамика механической системы. Механическая система. Внешние и внутренние силы. Центр
масс системы. Теорема о движении центра масс. Законы сохранения.
Пример решения задачи на использование теоремы о движении центра масс.
Лекция 5. Импульс силы. Количество движения. Теорема об изменении количества движения. Законы
сохранения. Момент количества движения. Теорема об изменении момента количества движения..
Законы сохранения. Элементы теории моментов инерции. Кинетический момент твердого тела.
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела.
Пример решения задачи на использование теоремы об изменении момента количества движения
системы.
Рекомендуемая литература
1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.2. М.: Высшая школа. 1977 г. 368 с.
2. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука. 1986 г. 416 с.
3. Сборник заданий для курсовых работ /Под ред. А.А. Яблонского. М.:Высшая школа. 1985 г. 366 с.
4. Бондаренко А.Н. “Теоретическая механика в примерах и задачах. Динамика” (электронное пособие
www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm ), 2004 г.

3.

Лекция 4
Динамика механической системы.
Система материальных точек или механическая система – Совокупность материальных точек или материальных тех, объединяемых общими
законами взаимодействия (положение или движение каждой из точек или тела зависит от положения и движения всех остальных)
Система свободных точек - движение которых не ограничивается никакими связями (например, планетная система, в которой планеты
рассматриваются как материальные точки).
Система несвободных точек или несвободная механическая система – движение материальных точек или тел ограничиваются наложенными на
систему связями (например, механизм, машина и т.п.).
Силы,
действующие на систему. В дополнение к ранее существовавшей классификации сил (активные и реакции связей ) вводится новая
классификация сил:
1. Внешние силы (e) – действующие на точки и тела системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы.
2. Внутренние силы (i) – силы взаимодействия между материальными точками или телами, входящими в данную систему.
Одна и та же сила может являться как внешней, так и внутренней силой. Все зависит от того, какая механическая система рассматривается.
Например: В системе Солнце, Земля и Луна все силы тяготения между ними являются внутренними. При рассмотрении системы Земля и Луна силы
тяготения, приложенные со стороны Солнца – внешние:
На основании закона действия и противодействия каждой внутренней силе Fk соответствует другая внутренняя
Л
сила Fk’, равная по модулю и противоположная по направлению.
C
Из этого следуют два замечательных свойства внутренних сил:
1.
Главный вектор всех внутренних сил системы равен нулю:
R i F i 0.
2.
З
z m1
r1
rC
m2
zC
r2
O
x
yC
Или в проекциях на координатные оси:
mk
C r
k
Главный момент всех внутренних сил системы относительно
любого центра равен нулю:
xС
mn
y
i
M Oi M kO
0.
M kxi 0; M kyi 0; M kzi 0.
Центр
масс системы материальных точек. Для описания движения системы в целом вводится
геометрическая точка, называемой центром масс, радиус-вектор которой определяется
выражением
mk rk , где M – масса всей системы: M m .
rC
rn
X ki 0; Yki 0; Z ki 0.
k
M
k
,
Или в проекциях на координатные оси:
xC
mk x k ,
M
yC
mk y k ,
M
zC
mk z k .
M
Формулы для центра масс аналогичны формулам
для центра тяжести. Однако, понятие центра масс
более общее, поскольку оно не связано с силами
тяготения или силами тяжести.
1

4.

Лекция 4 (продолжение 4.1)
Теорема о движении центра масс системы
M āC = R̄
e
Произведение массы системы на ускорение ее центра массе
равно главному вектору внешних сил.
M ẍ C =R ex =∑ X ek ;
В проекциях на координатные оси:
M ÿ C =R ey =∑ Y ek ;
Центр масс системы движется как материальная точка массой, равной массе
всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
M z̈ C =R ez =∑ Z ek .
Следствия из теоремы о движении центра масс системы
(законы сохранения):
1. Если в интервале времени [t1, t2] главный вектор внешних сил
системыравен нулю, Re = 0, то скорость центра масс постоянна
, vC = const (центр масс движется равномерно прямолинейно –
закон сохранениядвижения центра масс).
Аналогичные утверждения справедливы для осей x, y и z.
Пример: Два человека массами m1 и m2 находятся в лодке массой m3.
В начальный момент времени лодка с людьми находилась в покое.
Определить перемещение лодки, если человек массой m2 пересел к носу
лодки на расстояние а.
y
x2
а
x
1. Объект движения (лодка с людьми):
1
3. Если в интервале времени [t1, t2] главный вектор внешних сил системы
равен нулю, Re = 0, и в начальный момент скорость центра масс равна нулю,
vC = 0, то радиус-вектор центра масс остается постоянным, rC = const (центр
масс находится в покое – закон сохранения положения центра масс).
Аналогичные утверждения справедливы для осей x, y и z.
Определим на какое расстояние надо пересесть человеку массы m1,
чтобы лодка осталась на месте:
m1 x1 m2 x 2 m3 x3 m1 ( x1 b) m2 ( x2 a) m3 x3 .
0 m1b m2 a.
b
m2
a.
m1
2. Отбрасываем связи (воду):
3. Заменяем связь реакцией:
O
4. Добавляем активные силы:
5. Записываем теорему о центре масс:
MaC R e G1 G2 G3 N
M x C 0.
xC const.
Проецируем на ось x :
G1
x
G2
G3
R
x3
x C const 0.
mk x k 0 mk x k .
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 ( x1 l ) m2 ( x 2 l a) m3 ( x3 l )
m2 a
0 m1l m2 (l a ) m3 l
l
m1 m2 m3
Лодка переместится на расстояние l
в противоположную сторону.
2

5.

Лекция 4 (продолжение 4.2)
Импульс силы – мера механического взаимодействия, характеризующая передачу механического движения со стороны действующих на
точку сил за данный промежуток времени:
t2
t2
( y ) : S y Ydt;
( z ) : S z Zdt.
В проекциях на координатные оси:
S x X (t 2 t1 );
S y Y (t 2 t1 );
S z Z (t 2 t1 );
t1
S F (t 2 t1 ).
t2
( x) : S x Xdt;
S F dt
В случае постоянной силы:
t2
В проекциях
на координатные оси:
t1
t1
t1
Импульс равнодействующей – равен геометрической сумме импульсов приложенных к точке сил за один и тот же промежуток
времени:
S̄= S̄1 + S̄ 2 +. . .+ S̄ n .
Количество движения точки – мера механического движения, определяемая вектором, равным произведению массы точки на вектор ее
скорости:
Количество движения системы материальных точек – геометрическая сумма количеств движения
Q mv .
материальных точек:
Q
v
m
Q Q1 Q2 ... Qn Qk .
Q̄=M v̄ C .
Вектор количества движения системы равен произведению
массы всей системы на вектор скорости центра масс системы.
В проекциях на координатные оси:
Q x Mx C ;
Q y Mx C ;
Q y Mx C .
Теорема об изменении количества движения системы
d Q̄ e
= R̄ .
dt
Производная вектора количества движения системы по времени равна главному вектору внешних сил системы.
В проекциях
на координатные оси:
dQx
dQx
R ex X ke ;
R ex X ke ;
dt
dt
dQx
R ex X ke .
dt
3

6.

Лекция 5
Момент количества движения точки или кинетический момент движения относительно некоторого центра – мера механического движения,
определяемая вектором, равным векторному произведению радиуса-вектора материальной точки на вектор ее количества движения:
K O r Q r mv .
Q
v
Кинетический момент системы
материальных точек относительно
некоторого центра – геометрическая
сумма моментов количеств движений
всех материальных точек относительно
этого же центра:
m
KO
r
O
K O K1O K 2O ... K nO K iO ri mi vi .
В проекциях на оси:
K x K ix ; K y K iy ; K z K iy .
Теорема об изменении момента количества движения системы
dK O
M Oe .
dt
В проекциях
на координатные оси:
Производная вектора момента количества
движения системы относительно
некоторого центра по времени равна
главному моменту внешних сил системы
относительно этого же центра.
dK y
dK x
dK z
M xe ;
M ye ;
M ze .
dt
dt
dt
Производная момента количества движения системы относительно некоторой оси по времени равна главному
моменту внешних сил системы относительно этой же оси.
4

7.

Лекция 5
(продолжение 5.1)
■
Следствия из теоремы об изменении момента количества движения системы (законы сохранения):
1. Если в интервале времени [t1, t2] вектор главного момента внешних сил системы относительно некоторого центра равен нулю, MOe = 0, то
вектор момента количества движения системы относительно этого же центра постоянен, KO = const – закон сохранения момента
количества движения системы).
2. Если в интервале времени [t1, t2] главный момент внешних сил системы относительно оси x равен нулю, Mxe = 0, то момент количества
движения системы относительно оси x постоянен, Kx = const.
Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z.
■
Элементы теории моментов инерции – При вращательном движении твердого тела мерой инерции (сопротивления изменению
движения) является момент инерции относительно оси вращения. Рассмотрим основные понятия определения и способы вычисления
моментов инерции.
Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей – формула перехода к параллельным осям:
z2
z1
I z 2 I zC d 2 M .
dm
O2
d
b
x2 x
1
O1
y2
z
a
y1
x2
x1
y2
y1
Масса тела M
d2
Расстояние между
осями z1 и z2
5

8.

Лекция 5 (продолжение 5.2)
4.
Момент инерции однородного стержня постоянного
сечения относительно оси z и Zc:
zС
z
L
5.
Момент инерции однородного сплошного цилиндра
относительно оси симметрии:
z
R
x
C
x
L
H
dx
L
3
3
x
L ML
I z = x dm= x ρ Adx=ρA |0L=ρA =
3
3
3
0
0
2
2
y
Момент инерции стержня относительно центральной
оси (проходящей через центр тяжести)
x
0
0
r
r
2 H
4
dr
ML
L
I zC M .
3
2
I z I zC d M .
R
I z r 2 dm r 2 2 rdrH
4 R
2
2
2
R
2
0
R 4 MR 2
2 H
4
2
2
I zC
6.
ML2 L
ML2
M
.
3
12
2
■
Кинетический момент вращающегося тела равен
произведению угловой скорости на момент инерции
относительно оси вращения.
Момент инерции тонкого цилиндра относительно оси
симметрии :
R
z
t
2
Кинетический момент твердого тела
K z = dK z =ω z h2 dm=ωz I z .
z
2
I z R 2 RtH MR .
z
H
y
hi
Δmi
x
vi
y
x
6

9.

Лекция 5 (продолжение 5.3)
Пример: Два человека одинакового веса G1 = G2 висят на канате, переброшенном через сплошной блок весом G3 = G1/4. В некоторый момент
один из них начал подниматься по канату с относительной скоростью u. Определить скорости подъема каждого из людей.
После начала движения одного человека относительно каната
вся система пришла в движение, но кинетический момент
системы должен остаться равным нулю: Kz = 0.
Кинетический момент системы складывается из кинетических
моментов обоих людей и блока:
1. Выбираем объект движения (блок с людьми):
2. Отбрасываем связи (опорное устройство блока):
3. Заменяем связь реакциями (подшипника):
4. Добавляем активные силы (силы тяжести):
5. Записываем теорему об изменении
кинетического момента системы относительно оси
вращения блока: dK
R
G3
u
z
K z K z1 K z 2 K z 3
G1
G
(u v2 ) R 2 v2 R I 3 3 0.
g
g
Здесь v2 – скорость второго человека, равная скорости троса,
M ze G1 R G2 R 0.
v2
M 3 R 2 G3 R 2 G1 R 2
. 3 .
Так как момент внешних сил равен нулю, то
R
2
2g
4 2 g
кинетический момент должен оставаться постоянным:
2
8u
G
G
G R v2
v2 .
G2
G1
K z const.
K z 0 K z .
1 (u v 2 ) R 1 v 2 R 1
0.
17
g
g
4 2 g R
В начальный момент времени t = 0 было равновесие и Kz0 = 0.
8u 9u
v1 u
.
17 17
■
Дифференциальное уравнение вращения твердого тело относительно оси:
Пример: Определить период малых свободных колебаний
z
Запишем теорему об изменении кинетического момента
z
однородного стержня массы M и длиной l, подвешенного
твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
dt
одним концом к неподвижной оси вращения.
y
l
dK z
M ze .
dt
z
Mz
Кинетический момент вращающегося твердого тела
равен:
K I .
z
y
x
Iz
z z
Момент внешних сил относительно оси вращения
равен вращающему моменту (реакции и сила тяжести
моментов не создают):
e
x
O
z
С
d ( z I z )
M z M вращ .
dt
I z M z M вращ .
l
В случае малых колебаний sinφ φ:
M z M z M вращ .
Подставляем кинетический момент и вращающий момент в теорему
I z M z Mg sin .
2
Mg l
Или:
sin 0.
Iz 2
G
Mgl
Mgl
0 или k 2 0, k
2I z
2I x
Период
колебаний:
Момент инерции
стержня:
Iz
T
2
2I x
2
.
k
Mgl
Ml 2
.
3
T 2
2l
.
3g
7