Основы теории управления

1. Основы теории управления

Характеристики САУ

2. Характеристики САУ

1. Передаточная функция
2. Временные характеристики
3. Частотные хъарактеристики

3. Передаточная функция

U(s)
Вход
САУ
X(s)
Выход
Передаточная функция – отношение
изображения выходной величины к
изображению входной величины при нулевых
начальных условиях:
X(s)
W (s)
U(s)

4. Передаточная функция

В общем виде ПФ имеет вид:
b0s b1s
m
W(s)
( m 1)
a 0s a1s
n
( n 1)
...b m
...a n
K(s)
D(s)
где K(s), D(s) – степенные полиномы.
В установившемся режиме d/dt = 0, то есть s = 0, и,
коэффициент передачи САУ в установившемся
режиме
K lim W (s)
s 0
K = bm/an.

5. Передаточная функция

Знаменатель передаточной функции D(s)
называют характеристическим полиномом
(уравнением). Его корни, то есть значения s, при
которых знаменатель D(s) обращается в нуль, а
W(s) стремится к бесконечности, называются
полюсами передаточной функции.
Числитель K(s) называют операторным
коэффициентом передачи. Его корни, при
которых K(s) = 0 и W(s) = 0, называются нулями
передаточной функции.

6. Временные характеристики

Зависимость выходной величины элемента или
системы от времени при переходе из одного
установившегося состояния в другое при поступлении
на вход типового воздействия называется временной
динамической характеристикой.
Единичная ступенчатая 1(t) функция и - функция Дирака
6

7. Временные характеристики

Переходной характеристикой h(t)
называется реакция объекта на
единичное ступенчатое воздействие
при нулевых начальных условиях, т.е.
при х(0) = 0 и у(0) = 0.
Импульсной характеристикой w(t)
называется реакция объекта на функцию при нулевых начальных
условиях.

8.

По переходной характеристике можно найти
важнейшие показатели качества системы перерегулирование , время переходного
процесса tп, колебательность N, степень
затухания .
Показатели качества – это свойства,
характеризующие работу системы,
выраженные в количественной форме.

9. Показатели качества

1
x(t)=h(t)
A1
xз(t)
п
xз(t);
xм x(t)
А3
x( )
п
A2
0
tм
tп
t

10. Показатели качества

Перерегулирование - величина, равная
отношению первого максимального отклонения xм
управляемой величины x(t) от ее установившегося
значения x( ) к этому установившемуся значению:
x м x ( )
A1
100
100, %.
x ( )
x ( )
Качество управления считается удовлетворительным, если
<= 30…40%.

11. Показатели качества

Время переходного процесса (время
регулирования) tп – интервал времени от момента
приложения ступенчатого воздействия до момента,
после которого отклонения управляемой величины
x(t) от ее нового установившегося значения x( )
становятся меньше некоторого заданного числа п,
т. е. до момента, после которого выполняется
условие
x(t) - x( ) п.
Величину п обычно принимают равной 5% от установившегося
значения x( ) п = 0,05 x( )

12. Показатели качества

Колебательность N – число переходов управляемой
величины x(t) через ее установившееся значение x( )
за время переходного процесса tп.
Степень затухания
A1 A3
A3
1 .
A1
A1
Интенсивность затухания колебаний в системе считается
удовлетворительной, если = 0,75…0,95.

13. Связь переходной и передаточной функции

Т.к. U(t) = 1(t), то, учитывая, что L{1(t)}=1/s,
получаем следующее выражение для изображения
переходной характеристики:
W ( s)
L( h(t ))
s
, переходная характеристика звена равна:
W ( s )
h( t ) L
s
1

14. Пример 1

Исходное дифф. уравнение: T y y K x ,
где x(t) – вход, y(t) – выход.
Используем преобразование Лапласа, обозначим
L x(t ) X(s), L y(t ) Y(s)
Преобразуем исходное дифф. уравнение с учетом
введенных обозначений:
T s Y(s) Y(s) K X(s)
Y(s) T s 1 K X(s)
Найдем передаточную функцию:
W(s)
Y(s)
K
X(s) T s 1

15. Пример 2

Используем известное соотношение:
W (s)
h(t) L
s
1
Используем обратное преобразование по
Лапласу:
K
t / T
h(t) L
K 1 e
s (T s 1)
1

16. Частотные характеристики

Частотные характеристики (ЧХ) характеризуют
реакцию системы на
гармоническое(синусоидальное) входное
воздействие в установившемся режиме.
Классификация ЧХ:
Амплитудно-частотная A(ω)
Фазочастотная φ(ω)
Вещественная частотная P(ω)
Мнимая частотная Q(ω)
Логарифмическая амплитудно-частотная L(ω)
Логарифмическая фазочастотная φ(ω)

17. Частотные характеристики

sin( t +
a)
y(t) = ymsin( t +
x(t) = xmsin t
б)
x(t)
xm
ym
y(t)
t
б)
xm
ym

18. Частотные характеристики

Для получения частотных характеристик
используется так называемая частотная
передаточная функция (ЧПФ), получаемая из
передаточной функции путем замены s = jω:
m
W ( jω) W(s) s jω
i
a
(
jω
)
i
i 0
n
1 bi ( jω)i
i 1
где ai, bi - коэффициенты полинома, а m, n - степень
полинома числителя и знаменателя ПФ.

19. Частотные характеристики

Выражение ЧПФ можно представить в виде
вектора на комплексной плоскости.
Проекции вектора на
действительную и
мнимую оси называют
соответственно
действительной и
мнимой частотными
характеристиками и
обозначают P( ), Q( ).
Im
Q(ω)
A(ω)
φ(ω)
0
P(ω)
Re

20. Частотные функции

Запишем ЧПФ в алгебраической форме:
W(j ) = P( ) +j Q( )
Представим ЧПФв тригонометрической и
показательной формах:
W(j ) = A( )cos ( ) + j A( )sin ( )=A( )ej ( ) ,
где A( ) – модуль функции; ( ) – аргумент
функции.

21. Частотные функции

АЧХ показывает, как САУ пропускает сигналы
различной частоты. Очевидно, что
уравнение АЧХ будет соответствовать A( ):
A( ) = W(j ) = P 2 ( ) Q 2 ( ) ,
где P( ) и Q( ) – вещественная и мнимая
части частотной ПФ.
Для их нахождения необходимо избавиться от мнимости в
знаменателе, умножением на сопряженную знаменателю
комплексную величину.

22. Частотные функции

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –
зависимость фазового сдвига между входным и
выходным сигналами от частоты.
ФЧХ показывает, какое отставание или опережение
выходного сигнала по фазе создает САУ при
различных частотах.
ФЧХ соответствует уравнению аргумента ( ):
Q ( )
.
( ) = arg W(j ) = arctg
P( )

23. Частотные функции

Частота, после которой
значение АЧХ уменьшается
ниже 0 дБ (коэффициент
усиления меньше 1, сигнал
ослабляется), называется
частотой среза системы ωс.
A( )
A( )
0
Частота, после которой
значение АЧХ падает ниже 3 дБ (коэффициент усиления
меньше, чем 0.708),
называется полосой
пропускания системы ωb.
( )
( )
270 o

24. Частотные функции

Физический смысл АЧХ и ФЧХ:
1) АЧХ показывает, как изменяется
протекание сигнала различной частоты, при
этом оценка пропускания делается по
соотношению амплитуд входных и выходных
величин;
2) ФЧХ показывает фазовый сдвиг, вносимый
системой на различных частотах.

25. Частотные функции

Амплитудную и фазовую характеристики можно
объединить в одну общую – амплитудно-фазовую
частотную характеристику (АФЧХ).
АФЧХ представляет собой функцию комплексного
переменного j , которую можно представить в
показательной форме как
W(j )=A( )ej ( ) ,
где A( ) – модуль функции; ( ) – аргумент функции.

26. Частотные функции

( )
0
(j
W
)
)
A(
Каждому фиксированному
значению частоты i
соответствует комплексное
число, которое можно
изобразить вектором,
имеющим длину A( i ) и угол
поворота ( i ).
0≤ω≤∞
Im
8
АФЧХ представляет собой
график ЧПФ, построенный
на комплексной плоскости.
Re

27. Частотные функции

При практических расчетах САУ удобно
использовать частотные характеристики,
построенные в логарифмической системе координат
– логарифмические характеристики.
Логарифмическая амплитудно-частотная
характеристика (ЛАЧХ) – это АЧХ звена,
построенная в логарифмических шкалах (lg по оси
абсцисс и 20lgA( ) по оси ординат).
Логарифмическая фазочастотная
характеристика (ЛФЧХ) имеет логарифмический
масштаб только по оси частот.

28. Частотные функции

За единицу длины по оси частот логарифмических
характеристик принимают декаду.
Декада – интервал частот, заключенный между
произвольным значением частоты i и его десятикратным
значением 10 i .
L( )
дБ
60
La( )
40
L( )
20
10
-1
-1
10
0
0
10
c1
1
1
10
c2
2
2
10
3
3
lg

29. Частотные функции

Уравнение ЛАЧХ имеет следующий вид:
L( ) = 20 lg A( ),
ординаты которой измеряют в
логарифмических единицах – децибеллах
(дБ).

30. Пример 2

Рассмотрим ПФ апериодического звена 1-го
порядка с единичными коэффициентами, имеющего
1
)
s
(
W
передаточную функцию вида
s 1 . Выведем и
построим различные частотные характеристики для
данного звена.
Перейдем от записи в операционной форме к
частотному представлению:
W ( j ) W ( s) s j
1
j 1

31. Пример 2

Получим выражения для ВЧХ и МЧХ. Избавимся от
комплексного числа в знаменателе при помощи
умножения числителя и знаменателя дроби на
комплексно-сопряженное знаменателю:
W( j )
j 1
1 j
1
j
2
( j 1)( j 1) 1 2 1 2
1
Таким образом, ВЧХ имеет вид
Соответственно, МЧХ
Q( )
P( )
1
2
.
1
1
2
.
.

32. Пример 2

Получим выражения для АЧХ и ФЧХ:
1
2
2
A( ) [P(ω)] [Q(ω)]
2
2
2
1 1
1
1
2
2
,
Q(ω)
1
(ω) arctg
arctg (
:
) arctg ( ) .
2
2
P(ω)
1 1
Логарифмическая
характеристика звена
амплитудно-частотная
L( ) 20 lg A( ) 20 lg(
1
1
2
)
20lg(1) - 20lg( 1 ) -20lg( 1 ).
2
2