Гармоническое колебательное движение. (Лекция 6)

1. Гармоническое колебательное движение

А
А
Поступательное движение
В
Колебательное движение
Т – период колебаний
Гармоническое колебательное движение –
движение колеблющейся точки по закону
косинуса либо синуса.

2. Кинематика гармонических колебаний

φ = φ0 + ωt - уравнение движения т.Д
Д
А
φ
y
L
О
x
М
φ = φ0 при t = 0
К
x = A cosφ = A cos (ωt + φ0)
Уравнение гармонических колебаний
x – смещение
|A| – амплитуда колебаний
φ – фаза колебаний
φ0 – начальная фаза (t = 0)
ω – круговая частота
cos φ
X
2π
T = ω
ω = 2π ;
T
от – 1 до +1
от – A до + A
- период колебаний
1
T =ν

3.

Векторная диаграмма гармонического колебания
y = A sinφ = A sin(ωt + φ0)
Уравнение гармонических колебаний
К
Д
М
y
φ
О
x
А
x = A cosωt
(φ0 = 0)
v – скорость гармонических колебаний точки
dx
v x A sin t A cos t
dt
2
v A cos t
L
2
а – ускорение гармонических колебаний точки
d 2 x dv
a x 2 A 2 cos t
dt
dt
a A cos t
2

4. Динамика гармонических колебаний

a A cos t
2
F mAω cos ω t
A cos t x
2
2
m
F m x
2
F ma
F=-кх
- сила, вызывающая гармонические
колебания
Свойства силы F
1) F ~ x
2) x>0 F<0; x<0 F>0
3) x=0 F=0

5.

Пример: сила упругости пружины

6.

к – коэффициент жёсткости пружины
к m
2
к
m
2
m
Т
2
к
Т и ω не зависят от A
Т = f (m, к); ω = f (m, к)
F=-кх
Сила, подчиняющаяся этому закону, но не
являющаяся
упругой,
называется
«квазиупругой».
Упругие и
«квазиупругие»
гармонические колебания.
силы
вызывают

7. Математический маятник

P F F
α
P mg
x
F P cos
x
mg
F P sin mg sin
x,
ℓ
T
M
F
α
sinα ≈ α (при малых α)
Обозначим:
α
P
Составляющая силы
тяжести вызывает
гармонические
колебания
F′
F=-кх
mg
к , тогда:
- квазиупругая сила
2
к
g
;
Т
;
m
Т 2π
g

8. Энергия гармонического колебания

mv 2
Ек
2
- Кинетическая энергия
V A sin t
mA sin t
Ек
2
2
2
2
mA
кА
2
2
2
Ек, max
Ек А 2
2
2

9.

x
Епот
Епот
кx 2 m 2 A 2 cos 2 t
Fк ydx кxdx
2
2
0
m 2 A 2 cos 2 t
- Потенциальная энергия
2
Е Ек Епот
Е А
2
кА
;
2
2
m A
кА
2
2
2
Епот, max
2
Епот, max А 2
2

10. Сложение колебаний одного направления

ω 1 = ω2 = ω 0
х1 = А1 cos (ω0t+φ1)
х2 = А2 cos (ω0t+φ2)
А1, А2 – амплитуды
складываемых колебаний
φ1, φ2 – начальные фазы
х = х1 + х2 – результирующее колебание
Используется метод векторной диаграммы

11.

Метод векторной диаграммы
ω0
А1
А
A
φ1
ω0
φ1
φ
φ2
φ
х2
о
o
А2
x
x
Векторная
диаграмма
гармонического колебания
Суммарное колебание – также
гармоническое
х
х
Векторная диаграмма для сложения
одинаково направленных колебаний
одинаковой частоты
А А1 А 2
х(t) = A cos (ω0t +φ)
х1
х х1 х 2
А 2 А12 А 22 2А1А 2 cos( 1 2 )
по теореме косинусов
A1sin 1 A 2sin 2
tg
A1cos 1 A 2cos 2

12. Сложение взаимноперпендикулярных колебаний

Колебания происходят вдоль осей х и у с одинаковой чистотой ω.
Пусть начальная фаза колебания вдоль оси х равна нулю.
(1) х = А cos ωt
(2) y = B cos (ωt+φ)
φ – разность фаз колебаний
A и B – амплитуда складываемых колебаний
Уравнение траектории колеблющейся точки y = y (x).
1) Разность фаз φ = 0
у
В
Из (1) и (2) находим
B
y x
A
-А
B
y x
A
y B cos( t ) B cos t
2) Разность фаз φ = π
о
-В
А
х
Траектория
точки,
также прямая (пунктир
на рисунке)

13.

3) Разность фаз φ = π/2
y B cos( t ) B sin t
2
х = А cos ωt
х2 у 2
2 1
2
А
В
y = -B sin ωt
у
-А
Уравнение эллипса
В
В
у
А
О
х
-В
2
-А
А
О
-В
х
4
Если А=В, то эллипс вырождается в окружность
13