Механические волны. Лекция № 7

1. Лекция № 7

МЕХАНИЧЕСКИЕ
ВОЛНЫ

2.

Волна – процесс распространения
возмущений некоторой физической величины
в пространстве.
Механическая волна – процесс
распространения возмущений в среде.
Волновой процесс – сложная модель
движения частиц среды, которые не движутся
вместе с волной, а колеблются около своих
положений равновесия. Вместе с волной от
частицы к частице передается лишь
состояние колебательного движения и его
энергия и импульс.

3.

Упругость – свойство протяженной
среды восстанавливать свою форму и объём
(твёрдые среды) после прекращения действия
внешних сил или других воздействий,
вызывающих её деформирование. Среда,
обладающая такими свойствами – упругая
среда.
Волновая
поверхность
–
геометрическое место точек, колеблющихся в
одинаковой фазе.
Волновое поле – область среды,
приведенная в возмущенное состояние
распространяющейся волной.

4.

Волновой фронт – геометрическое
место точек, до которых к данному моменту
времени дошло возмущение (или граница,
отделяющая
волновое
поле
от
невозмущенной
области).
Его
форма
определяет вид волны:
• плоская,
• цилиндрическая,
• сферическая и т.д.

5. Виды механических волн

По своей мерности волны подразделяют
на одномерные волны (волны в стержнях,
струнах и т.п.); поверхностные волны,
возникающие на границах раздела сред
(волны
на
поверхности
водоема)
и
пространственные
волны,
распространяющиеся
в
любой
неограниченной среде.
По
различают
волны.
направлению
продольные и
возмущения
поперечные

6.

В продольных волнах возмущение
направлено по направлению распространения
волны (в жидких, твердых, газообразных
средах). В поперечных волнах возмущение
направлено перпендикулярно направлению
распространения волны. К поперечным
можно отнести поверхностные волны.
Упругие волны – процесс распространения механических возмущений в
упругой среде (частный случай мех. волн).
Основное св-во всех упругих волн –
перенос энергии без переноса массы.

7. Упругие волны в стержнях. Волновое уравнение

Вдоль упругого стержня распространяется
упругая волна. (x, t) – смещение частицы
стержня в момент времени t
C
а)
x dx
x
x, t
б)
F x, t
C
x
x d x, t
F x d x, t
x

8.

Основное ур-е динамики для элемента dx:
(7.1)
S d x 2 F x d x, t F x, t
t
Здесь – плотность материала, S – площадь
поперечного сечения стержня,
2
– ускорение элемента.
2
t
Представим
2
F
F x d x, t F x, t
dx
x
(7.2)

9.

Напряжение в стержне
F x, t
x, t
S
(7.3)
Подставим (7.2) и (7.3) в (7.1):
2
x
t
Относительное
удлинение
определяет величину деформации
2
x
(7.4)
элемента
(7.5)

10.

С учетом (7.5)
d d 2
x d x d x 2
(7.6)
Подставив (7.6) в (7.4), получим волновое
уравнение
2
2
2
(7.7)
2
2
t
x
В (7.7) скорость упругих волн в стержне
1 d
d
(7.8)

11.

В случае линейно упругого материала
стержня, подчиняющегося закону Гука E ,
скорость продольных упругих волн в линейноупругой среде
E
(7.9)
Волновое уравнение, описывающее
распространение
возмущения
в
неограниченной среде
1
2 2
t
2
(7.10)
где (x, y, z) – смещение частиц среды, Δ –
оператор Лапласа.

12.

В прямоугольной декартовой
координат
2
2
2
2 2 2
x
y
z
системе
Скорость распространения поперечных
упругих волн в неограниченной изотропной
среде
G
где G – модуль сдвига среды, – плотность
среды.

13. Плоская гармоническая волна, длина волны, фазовая скорость

Если на торце полубесконечного
стержня действует источник гармонических
то по стержню
колебаний Acos t ,
будет
распространяться
гармоническая
волна: прямая волна
x
Acos t A cos t x (7.11)
и обратная волна
x
Acos t A cos t x (7.12)

14.

x и
x
Фазы волн t
t
Гармонические волны создают такое
волновое движение в данной точке, которое
можно рассматривать как гармонические
колебания частиц среды.
Длина волны – расстояние между
двумя
ближайшими
точками
среды,
колеблющимися в одинаковой фазе
T ,
ν
(7.13)
где ν = ω/(2π) – частота колебаний, T=1/ν –
период колебаний.

15.

Монохроматическая
волна
–
гармоническая волна, распространяющаяся с
постоянной амплитудой A и частотой ω
f x, t
T
A
t
f x, t
A
x

16.

Решение ур-я (7.7) – ур-е плоской
монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x
x
x, t A cos t ,
(7.14)
где A = const, ω = const, φ – начальная фаза.
Далее считаем φ=0. Уравнение прямой волны
2
x, t A cos t x A cos t
x
x, t A cos t k x ,
2
– волновое число
где k

17.

Тогда фаза волны
t k x
(7.15)
Откуда
1
x t
k
Фазовая
скорость
распространения фазы
–
dx
2
2
dt k
скорость
(7.16)

18. Сферические волны

Самостоятельно
Продольная волна является сферической,
если
1
1
r , t f1 t r f 2 t r (7.17)
r
r
где f1 и f2 относятся к расходящимся и
сходящимся
сферическим
волнам
соответственно. Если в центре волны
расположен
источник
гармонических
колебаний
=Acosωt,
то
уравнение
расходящейся гармонической волны:
A
r , t cos t k r
r

19. Объемная плотность энергии волны

Плоская волна распространяется
упругой среде, плотность которой
Скорость
A cos t k x
u
A sin t k x
t
в
(7.18)
(7.19)
и деформация
A k sin t k x
x
(7.20)
всех частиц в пределах выделенного объема
ΔV одинаковы.

20.

Кинетическая ΔEk и потенциальная ΔEp
энергии частиц объема ΔV:
1 2
Ek u V
2
(7.21)
1 2 2
E 2
V V
E p
2
2
где E
1 2
2 2
E Ek E p u V
2
(7.22)
(7.23)
2
2
1
2
E V
2 t
x

21.

или с учетом (7.19), (7.20) и (7.16) выражение
(7.23) примет вид
E A sin t kx V
2
2
2
(7.24)
Объемная плотность энергии
E d E
w lim
V 0 V
dV
(7.25)
Согласно (7.24) и (7.25) объемная плотность
энергии упругой волны
w A sin t kx
2
2
2
(7.26)

22.

Среднее значение плотности энергии за
период
1 2 2
w A
2
(7.27)
Выражение (7.27) показывает, что волна
переносит энергию; все частицы среды
получают
энергию
в
результате
распространения волны.

23. Вектор Умова – вектор плотности потока энергии

Плотность потока энергии – поток
энергии через единичную площадку dS ,
перпендикулярную к направлению переноса
энергии
Дж
dE
j 2
j
,
d S
d S d t
м c
d t
Бегущая волна переносит с собой энергию.
За время dt волна распространится на
расстояние υdt. За dt через малую площадку
dS , перпендикулярную скорости волны
пройдут только те возмущения, которые

24.

находятся в объеме dV=υdtdS , перенеся с
собой заключенную в нём энергию:
d E wdV w d S d t j d S d t ,
j w
Для определения направления плотности
потока энергии вводят вектор Умова
(7.28)
j w
– вектор скорости, нормальной к
волновой поверхности в данном месте.
Поток энергии сквозь
поверхность S
равен потоку вектора
сквозь
эту
j
поверхность.
где

25.

Поток энергии Φ через произвольную
поверхность S:
j d S jn d S
S
S
где jn – проекция вектора Умова на нормаль к
поверхности.
Среднее
во
времени
значение
плотности потока энергии называется
интенсивностью волны
I j w
Единица интенсивности в СИ – ватт на
квадратный метр (Вт/м2)

26. Когерентные волны. Интерференция волн. Стоячая волна

Когерентные волны – монохроматические волны одинаковой частоты. У таких
волн разность фаз ΔΦ = Φ2 – Φ1 не меняется
во времени (ΔΦ = const).
Интерференция волн – результат
суперпозиции
когерентных
волн.
В
зависимости от ΔΦ в пространстве
происходит устойчивое во времени взаимное
усиление
или
ослабление
волн,
т.е.
происходит перераспределении энергии в

27.

пространстве;
возникает
устойчивая
картина
распределения
амплитуды
результирующего колебания с характерным
чередованием максимумов и минимумов.
Стоячая волна – частный случай
интерференции волн, результат сложения
двух гармонических волн с одинаковыми
амплитудами
и
частотами,
распространяющихся
вдоль
оси
x
в
противоположных направлениях. Например,
наложение прямой и обратной волны. При
φ = 0 ур-я этих волн:
2 A cos t k x
1 A cos t k x

28.

Ур-е стоячей волны
1 2 2 A cosk x cos t Acт cos t , (7.29)
где Aст = 2Acoskx – амплитуда стоячей волны.
Acтmax 2 A
при
cosk x 1
2
kx
x n, n 0, 1, 2,
Откуда координаты точек, в которых
расположены пучности стоячей волны
(амплитуда колебаний в них максимальна):
n 0, 1, 2,
xn n ,
2

29.

2
x
2
узлы
пучности
min
Acт
0
при
2
x 2n 1 ,
k x
2
cos k x 0
n 0, 1, 2,

30.

Узлы стоячей волны, амплитуда
колебаний в которых минимальна, имеют
координаты:
xn 2n 1 ,
4
n 0, 1, 2,
Расстояние между двумя ближайшими
узлами (и пучностями)
xn 1 xn 2
2
Между двумя соседними узлами все
точки среды колеблются синфазно, при
переходе же через узел фаза изменяется на π.

31.

Узлы смещения как бы разделяют среду
на автономные области, в которых
гармонические
колебания
совершаются
независимо.
В стоячей волне нет переноса
возмущения вдоль оси x, в отличие от
бегущей волны. Отсюда – название волны.
Формула стоячей волны (7.22) также
является решением волнового уравнения (7.7)
В стоячей волне
2 A cosk x sin t
2 A k sink x cos t
x

32.

, ,
t 0
0
x
, ,
,
t T 4
0
x
Это тоже стоячие волны, причем они
сдвинуты относительно друг друга по фазе на
π/2 как в пространстве, так и во времени.