Метод замены множителей. Показательная и логарифмическая функции и вызываемые ими замены

1.

Основная идея метода
Если неравенство приведено к стандартному
виду
u u u
1
2
n
v1 v2 vn
0,
(1)
где символ « » обозначает один из четырех
возможных знаков неравенства: , , , , то
любой множитель в числителе или знаменателе
можно заменить на более простой множитель,
совпадающий с ним по знаку и имеющий те же
самые корни.

2.

Замечание.
Преобразованное
таким
образом
неравенство равносильно исходному в области его
определения.
Предупреждение. Указанная замена возможна только
тогда, когда неравенство приведено к стандартному
виду.

3.

Монотонность – ключ к замене
Утверждение 1. Функция f (x)
строго возрастает тогда и только тогда,
когда для любых значений t1 и t2 из области определения функции разность
t1 t2 совпадает по знаку с разностью f (t1 ) f (t 2) , то есть
ОДЗ
f t 1 t2
f (t1 ) f (t 2 ) .
Утверждение 2. Функция f (x) строго убывает тогда и только тогда, когда
для любых двух значений t1 и t2 из области определения функции разность
t1 t2 совпадает по знаку с разностью f (t2 ) f (t1) , то есть
ОДЗ
f t1 t2
f (t2 ) f (t1) .
Комментарий. Практически, только замена знакопостоянных множителей не
вытекает из этих утверждений. Поэтому, если нет желания трогать знак
неравенства, всюду положительные множители просто убираем, а всюду
2
ax
bx c с
отрицательные – заменяем на (-1). Квадратный трехчлен
отрицательным дискриминантом заменяем на старший коэффициент (или на
свободный член), то есть ax 2 bx c a c при D 0 .
(2)

4.

Функция y t n и вызываемые ею замены
Поскольку функция y t n при n 0 является строго возрастающей на
множестве неотрицательных чисел (а при нечетном натуральном n – на всей
числовой оси), то в силу утверждения 1 справедливы замены:
t1 t2 t1n t2n при n 0, t1 0, t2 0,
(3)
t1 t2 t12 k 1 t22 k 1 при k натуральном.
(4)
Функции y t 2 и y t , рассматриваемые на множестве неотрицательных
чисел, являются строго возрастающими, то есть
t1 t2 t12 t22 t1 t2 .
Поэтому
t1 t2 t12 t22 ,
t1 t2 t1 t2 , где t1 , t2 0.
(5)
(6)
2
m
m
Так как m 0 и
для любого m, то получаем, что
2
t1 t 2 t1 t 2 t12 t 22 .
2
2
(7)

5.

Пример 1. Решить неравенство
x 2 4 x x 4
2
x2 x 2
1 x 4 3 x x 5
0.
(8)
Решение (подробное). Исходное уравнение имеет вид
u1 u2
0.
v1 v2
Все множители u1, u2, v1 и v2 имеют вид t1 t2 , где t1 0 и t2 0 поэтому, в
силу (5), эти множители можно заменить на знакосовпадающие с ними
множители вида t12 t22 :
(8)
x 2 2 4 x 2 2 x 4 2
1 x
2
x
2
42 3 x x 5
2
x 2
0.
2
2
2
2
2
Так как m m и x x 2 x x 2 , то с учетом неотрицательности
подкоренного выражения получаем:
2

6.

2
2
2
2 2
2
x
2
4
x
x
4
x
x
2
0,
2
2
2
(8)
1 x 42 3 x x 5
x 2 x 2 0
x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 9 x 18
0,
1 x 4 1 x 4 3 x x 5 3 x x 5
x 1 или x 2
9 x 2 x 6 x 2 x 2 x 2
0,
16 x 3 5 x x 1
x 1 или x 2
2
2
где знакопостоянные (D<0) квадратные трехчлены x x 6 и x x 2
согласно (2) заменяем на (-1) и 1 соответственно

7.

1 1 x 2
0,
x 3 x 5 x 1
x 1 или x 2
3 x 2 или 1 x 5,
x 1 или x 2
Ответ: 3 x 2; 2 x 5.
x 2
0,
x 3 x 5 x 1
x 1 или x 2
3 x 2,
2 x 5.

8.

Две любопытные замены:
t
t ,
(9)
f g
f g.
(10)
ОДЗ
ОДЗ
Замена (9) очень удобна там, где приходится отслеживать
область допустимых значений.
Замена (10) суммы f g при возможном одновременном
равенстве нулю подкоренных выражений на сумму f g
позволяет учитывать эту возможность.

9.

Пример 2. Решить неравенство
x
2
x 6 x 2 2 x 3 0.
Решение.
x x 6 x 2x 3 0
x x 6 x 2 x 3 0,
2
2
2
2
2
x 2 x 3 0
x 3,
x 1,
x 3 x 2 x 1 x 3 0,
x 1 или x 3
x 3.
Ответ:
; 3 1 3; .

10.

Пример 3. Решить неравенство
x 10 3x x 14 2 x 0.
Решение. Множители
уже нельзя
x 10 3 x и x 14 2 x
рассматривать как разности неотрицательных величин, так как выражения 3x
и 2x в области допустимых значений (то есть при x 10 0 ) могут
принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако, если
ОДЗ исходного неравенства разбить на два промежутка 10 x 0 и
x 0 (при x=0 выражения 3x и 2x меняют знак), то легко заметить, что на
промежутке 10 x 0 мы имеем произведение двух положительных
чисел, и поэтому исходное неравенство ложно, а на втором промежутке
каждый множитель есть разность двух неотрицательных чисел, а
следовательно, можно воспользоваться методом замены множителей. Итак,
10 x 0,
x 10 3 x x 14 2 x 0 ( ложно)
x
0
,
x 10 3x x 14 2 x 0
2
2
2
2
x
10
3
x
x
14
2
x
0

11.

x 0,
2
2
2
x 10 9 x x 14 2 x 0
x 0,
2
9 x x 10 x 14 2 x x 14 2 x 0
x 0,
10
9 x 1 x 9 14 x 3x 14 0
x 0,
10
x 9 x 14 0
так как при x>0 (x+1) и (3x+14) – положительные числа
x 0,
10
x 14.
10
9
x
14
9
10
;
14
.
Ответ.
9

12.

Показательная и логарифмическая функции
и вызываемые ими замены
Показательная функция y a строго убывает при 0 a 1
и строго возрастает при a 1 . Поэтому, в частности, для a 10
получаем
t
t
t
10 1 10 2 t1 t2 .
Для произвольного основания a, пользуясь
логарифмическим тождеством, можно увидеть, что
a a 10
t1
Откуда
t2
10
lg a t1
lg a t 2
10
t1 lg a
основным
10
t 2 lg a
.
a a t1 lg a t2 lg a,
t1
t2
то есть a a t1 t2 lg a.
t1
t2
(11)

13.

Функция y lg x - строго возрастающая. Поэтому
x1 x2
lg x1 lg x2 .
ОДЗ
Если x1=a и x2=1, то получаем, что
a 1 lg a lg 1,
то есть lg a a 1.
(12)
Откуда соотношение (11) принимает вид
a t1 a t2 t1 t2 a 1 .
(13)
Таким образом, разность степеней с одним и тем же основанием
по знаку совпадает с произведением разности показателей этих
степеней на разность основания и единицы.

14.

Для логарифмической функции
устанавливаем
y log a t
аналогично
lg t1 lg t2
1
lg t1 lg t2 .
log a t1 log a t2
lg a lg a lg a
Отсюда следует, что
lg t1 lg t2
t1 t2
log a t1 log a t2
.
lg a
a 1
То есть разность логарифмов по одному и тому же основанию
всегда по знаку совпадает с отношением разности
подлогарифмических выражений к разности основания и
единицы:
t1 t 2
log a t1 log a t 2
.
a 1
(14)

15.

Замечание. Утверждения (14) и (13) равносильны, поскольку
показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.
Эти утверждения также позволяют эффективно решать многие
неравенства, которые принято относить к разряду задач
повышенной сложности. В частности, из (13) и (14) получаются
полезные
схемы
решения
основных
показательных
логарифмических неравенств:
1)
f g a 1 0,
a a
a 0;
2)
a f b,
f log a b a 1 0;
b 0
f
g