Электростатическое поле в диэлектрике. Лекция 3

1. Лекция № 3

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ
ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ

2. Электрический диполь в э/ст поле

Электрический диполь – система двух
разноименных точечных зарядов +q и q.
r l
_
q
p
l
+
+q
ось
диполя
l
Электрический дипольный момент
p ql
(3.1)

3.

N
r
q
l
q
r
Потенциал поля диполя
q q
1
4 0 r r
k0 q r r
r r
Так как r>>l (диполь точечный), то
2
r r l cos и r r r
k0 p cos k0
3 rp
2
r
r
(3.2)

4.

x
r
r
r
q
E grad
N
q
l
cos
Ez
z
Ex
x
r i x kz
p kp
z
z
2
x z
2
sin
x
2
x z
2

5.

k0 p
z
1
2
k
pz
x
2
0
2
x2 z 2 x z
3 2
2
k0 pz x z
Ex
x
2
2
3k 0 pxz x
5
2 2
z
3
z2 2
5
2 2x
1
3k 0 p cos sin 3
r

6.

2
2
E z k0 p x z
z
3
2
3 2
z x
2
5
2 2
z
2z
cos 2 1
k
p
2
0
k0 p 3 3 3 3 3 cos 1
r
r
r
E
1 4 0
2
Ex
2
Ez
k0 p
2
2
4
2
9 cos sin
9 cos 6 cos 1
3
r
1 cos 2

7. Поле диполя обладает осевой симметрией.

Поле диполя обладает осевой
E r от центра диполя
симметрией.
на расстоянии
1 p
2
E
1
3
cos
4 0 r 3
ось
r
p
М
(3.3)
E

8. Диполь в однородном электрическом поле

E const
M
F qE
q
F qE
q
p
h l sin
F F F
E

9.

M Fl sin qEl sin pE sin
С учетом направлений p, E , M
M p, E
(3.4)
M = 0, если = 0 или = π (положения
устойчивого и неустойчивого равновесия
соответственно).
Под действием момента сил M
диполь будет стремиться установиться по
полю p E

10. Диполь в неоднородном электрическом поле

M
F
q
q
p
F
E
x l cos
С учетом малых размеров диполя
F qE
E E x , y , z
x
F qE
E E x x, y, z

11.

Проекция
результирующей
силы,
действующей на диполь в направлении оси x
E
x
Fx F F q E E q E q
x
E
E
Fx q l cos p cos
x
x
При
0< <π/2
направление
результирующей силы, действующей на
диполь со стороны электрического поля,
таково, что диполь втягивается в область
более сильного поля. При π> >π/2 диполь
выталкивается из поля.

12. Потенциальная энергия диполя, помещенного в однородное электрическое поле

dWp d A M d
Wp
2
2
M
d
pE sin d
pE cos 2 pE cos pE

13.

Wp= 0 при = π/2, где
p E
Wp
pE
0
pE
l E
2
p E

14.

15.

Выделим малый объем диэлектрика в
виде наклонной призмы. Ее дипольный
момент
(3.8)
p q l S l
S E
Т.к. поляризованность
n определяет
дипольный
момент
единицы
объема
диэлектрика, то дипольный
момент призмы
p P V P S l cos (3.9)
l
Приравниваем (3.8) и (3.9)
P cos Pn
(3.10)

16.

При неоднородной поляризации диэлектрика
связанные заряды появляются не только на
поверхности диэлектрика, но и в его объеме с
некоторой ρ .
Отрицательные
связанные
являются источником линий
P:
div P
заряды
(3.11)
Связанный поляризационный заряд
q d V
V
Тогда теорема Гаусса в интегральной
форме
q P d S
(3.12)
S

17. Вектор электрического смещения

D 0 E P
В СИ D [Кл/м2 ]
(3.13)
В изотропных диэлектриках
Тогда
P 0 E
(3.14)
D 1 0 E 0 E ,
(3.15)
1
В случае анизотропных диэлектриков D и E
могут быть неколлинеарными.

18. Обобщение теоремы Гаусса

1
E d S q q
S
0
(3.16)
где q и q – сторонние и связанные заряды,
охватываемые поверхностью S
q P d S
Тогда
0 E P d S q
S
S
Теорема Гаусса для вектора электрического
смещения в интегральной
форме
(3.17)
DdS q
S

19. Поток

через замкнутую
поверхность равен
Поток
D
алгебраической сумме сторонних зарядов,
заключенных внутри этой поверхности.
В дифференциальной форме
div D
или
D
(3.18)
В диэлектриках обычно связанные заряды не
заданы и определить их можно только после
нахождения напряженности электрического
поля в диэлектрике, поэтому удобно
использовать (3.17) или (3.18), а не (3.16)

20. Поле на границе раздела диэлектриков

Выделим малый участок границы
раздела 2-х диэлектриков с диэлектрическими
проницаемостями ε1 и ε2, на которой нет
распределенных сторонних зарядов. Границу
раздела будем считать плоской.
D1 и D2
– электрические смещения полей в
2-х диэлектриках вблизи границы раздела.

21.

n2
n
2
1
D2
S h
n1
D1
Пусть h→0 а S достаточно мало. Из
теоремы Гаусса:
(3.19)
D2 n S D1n S 0
2
1
Учитывая, что n n2 n1 ,
D2 n D1n
(3.20)

22. Рассматривая диэлектрик с

D 0 E , из (3.20)
2 E 2 n 1 E1n
(3.21)
Выделим прямоугольный замкнутый
контур; l достаточно мало, а h→0.
2
1
l
2
1
Из теоремы о циркуляции:
E1 l E 2 l 0

23.

или
E 2 E1
тогда
D 2 D1
2
1
D2
2
1
D1n
2
D1
1
D1
D2
(3.22)
(3.23)
D2 n
При переходе
через границу раздела 2-х
диэлектриков
линии
электрического
смещения
преломляются.

24. Из рисунка

D1
tg 1
D1n
и
D2
tg 2
D2 n
С учетом (3.20) и (3.23):
D1n D 2 n
и 1 D 2 2 D1
получим
tg 1 D1 1
tg 2 D 2 2
(3.24)