Časové řady v systému SAS

1. Časové řady v systému SAS

2. Základní pojmy

• Časová řada
• Posloupnost věcně a prostorově srovnatelných pozorování, která jsou jednoznačně uspořádána z hlediska času ve směru
minulost - přítomnost.
• Rozlišujeme:
• Dle periodicity ukazatele - Krátkodobé a dlouhodobé časové řady
• Dle charakteru ukazatele - A intervalové a okamžikové časové řady
• Intervalové časové řady
• velikost ukazatele závisí na délce intervalu, za který je sledován,
• pro ukazatele je možné tvořit součty a tento součet má reálný význam
• mají se vztahovat ke stejně dlouhým intervalům, jinak jde o srovnání zkreslené
• Okamžikové časové řady
• jsou sestavovány z ukazatelů, které se vztahují k určitému okamžiku,
• součet za několik po sobě jdoucích hodnot nedává reálný smysl, proto se neprovádí,
• shrnování ukazatelů se provádí pomocí chronologického průměru.

3. Srovnatelnost údajů v časové řadě

• Věcné hledisko
• - údaje by měly být stejně obsahově vymezené(typické pro naturální
ukazatele)
• Prostorové hledisko
• - používat údaje vztahující se ke stejným geografickým územím
• Časové hledisko
• - tento problém se objevuje zejména u intervalových časových řad,
kdy se údaje mají vztahovat ke stejně dlouhým intervalům
• Cenové hledisko
• - použití běžných nebo stálých cen (dává se jim přednost)

4. Cíl analýzy časových řad

• interpolace(vyrovnání časové řady) – pochopení minulého
vývoje tj. nalezení matematické funkce, která dokáže časový
vývoj popsat
• extrapolace(prodloužení časové řady) – především nás zajímá
další vývoj – prognózování budoucího vývoje

5. Grafická analýza časových řad

Elementární charakteristiky časových řad
• ABSOLUTNÍ charakteristiky (absolutní porovnání hodnot) – první absolutní diference
(absolutní přírůstky), druhé absolutní diference, průměrný absolutní přírůstek
RELATIVNÍ charakteristiky (bezrozměrné veličiny)
– koeficient růstu – relativní postupná rychlost změn hodnot v čř
- tempo růstu – koeficient růstu vyjádřený v procentech
- průměrný koeficient růstu (pro monotónní vývoj časové řady, geometrický průměr
jednotlivých koeficientů růstu)
• Úroveň ukazatelů se charakterizuje nejčastěji pomocí průměrů
• Intervalová řada – prostý nebo vážený aritmetický průměr
• Okamžiková řada – prostý nebo vážený chronologický průměr
• Pro popis vývoje/dynamiky sledovaného ukazatele se využívá též indexní analýza

6. Elementární charakteristiky časových řad

Jednorozměrná analýza časových řad –
dekompozice
• Při jednorozměrné analýze časových řad se vychází z empiricky odpozorované zkušenosti, že každá
časová řada může obsahovat následující čtyři složky, které vyjadřují různé druhy pohybu:
• trend
• sezónní složku
• cyklickou složku a
• náhodnou složku, přičemž současná existence všech těchto forem však není nutná
• členíme poté řady na neperiodické a periodické
• Dekompozice: aditivní nebo multiplikativní
• Hlavním úkolem analýzy neperiodických ČŘ je vystižení základní tendence jejich vývoje – trendu.
• Popis trendu v časových řadách je možný:
• Graficky
• Mechanicky (pomocí klouzavých průměrů)
• Analyticky (pomocí trendových funkcí).

7. Základní metody a postupy pro analýzu časových řad

Metody vyrovnávání časových řad
- Vyrovnání pomocí klouzavých průměrů spočívá v nahrazení skutečných
hodnot ČŘ průměrem z určitého počtu hodnot. Trend v krátkých časových
úsecích odhadujeme průměrem několika sousedních pozorování (3-leté, 5leté, atd.).
- Metoda vyrovnávání časových řad, spočívající v tom, že trend popíšeme
pomocí vhodné matematické funkce, se nazývá tzv. analytické
vyrovnávání. Analytické vyrovnávání časových řad trendovými funkcemi je
tradiční způsob popisu trendu časové řady. Aplikace analytických metod bývá
většinou bez větších problémů a následná interpretace výsledků je
jednoduchá. Nabídka trendových funkcí je rozmanitá. Mezi trendové funkce,
jež nejlépe prezentují ekonomické časové řady řadíme následující:

8. Jednorozměrná analýza časových řad – dekompozice

Trendové funkce
Lineární
Tt = a + b· t
Kvadratická
Tt = a + b· t + c· t2
Logaritmická
Tt = a + b· log t
Exponenciální
Tt = a · bt
Mocninná
Tt = a · tb
Odmocninná
Tt a b t

9. Metody vyrovnávání časových řad

Adaptivní modely časových řad
• Modely analytického vyrovnávání (pomocí trendových funkcí) přiřazují všem hodnotám
časové řady stejné váhy a jsou tak vhodné zejména pro časové řady, které vykazují
určitou permanentní deterministickou složku a náhodnými fluktuacemi nejsou výrazně
ovlivňovány (ceteris paribus - princip stabilních vnějších podmínek).
• V případě mnoha reálných ekonomických časových řad velmi často nereálný, může vést
k selhání analytických modelů (není možné k popisu použít jednu matematickou funkci s
konstantními parametry).
• Pak se úspěchem uplatňují modely adaptivní, které předpokládají, že pro konstrukci
extrapolační prognózy budoucího vývoje jsou nejcennější nejnovější pozorování časové
řady. Proto jsou těmto nejnovějším pozorováním časové řady přiřazeny největší váhy a
starší pozorování se buď úplně vyřazují ze zkoumání, nebo se jim přiřazují menší váhy ve
srovnání s později pozorovanými hodnotami. Adaptivní modely tedy berou v úvahu
stárnutí informací. Systém vah je tvořen pomocí tzv. vyrovnávacích konstant, které
nabývají hodnot z intervalu < 0, 1 > a pro nalezení optimální hodnoty vyrovnávací
konstanty se v praxi využívá „metody pokusů a omylů“. Za optimální hodnotu je
považována ta hodnota, která minimalizuje vhodně zvolenou chybu odhadu (nejčastěji
MSE). Statistický systém SAS, který bude v této práci využit pro efektivní realizaci všech
potřebných analýz, provádí odhad hodnoty vyrovnávací konstanty automaticky.

10. Trendové funkce

Brownovy modely expon. vyrovnávání
• Důležitou podtřídou adaptivních modelů jsou tzv. Brownovy modely
exponenciálního vyrovnávání. S využitím těchto modelů je odhad trendu
získáván ve formě lineární kombinace všech dosavadních pozorování časové
řady s tím, že je uvažováno stárnutí informací, tzn. váhy dřívějších pozorování
exponenciálně klesají. V rámci této techniky je (z hlediska použité vyrovnávací
křivky) možné rozlišit 3 základní varianty, a to jednoduché exponenciální
vyrovnávání (krátká období/úseky čas. Řady, v nichž je trend konstantní),
dvojité (trend lineární) a trojité exponenciální vyrovnávání (trend kvadratický).
• Zmíněné Brownovy modely přináší v praktických aplikacích dobré výsledky.
• Mezi další významné představitele exponenciálního vyrovnávání patří Holtův
model exponenciálního vyrovnávání, model exponenciálního vyrovnávání s
tlumeným lineárním trendem a Wintersův model exponenciálního vyrovnávání
sezónních časových řad.

11. Adaptivní modely časových řad

Posouzení vhodnosti modelů ČŘ
Často používaným ukazatelem, který slouží k popisu stupně shody je index resp.
koeficient determinace, přičemž čím větší hodnota, tím je funkce pro popis vývoje
zvoleného ukazatele vhodnější.
- Moderní statistická metodologie standardně implementovaná v statistických programech:
-
M.E. – střední chyba odhadu
M.S.E. – střední kvadratická chyba odhadu
M.A.E. střední absolutní chyba odhadu
M.P.E. – střední procentuální chyba odhadu
M.A.P.E. – střední absolutní procentuální chyba odhadu – nejvyužívanější
Obecně za velmi vhodně použitý model je hodnota MAPE 10%, ale můžeme se setkat i se
situacemi, kdy je požadována hodnota 5% či naopak větší např. 15%. Hodnota MAPE
(respektive její výše) se pohybuje v závislosti na dané situaci.
y t y
100
MAPE
n
yt

12. Brownovy modely expon. vyrovnávání

Analýza periodických ČŘ
Periodická složka:
• ≤ 1 rok … sezónní složka St
> 1 rok … cyklická složka Ct
Periodická složka bývá velmi často reprezentována sezónní složkou, tato se vyskytuje pouze v
krátkodobých časových řadách.
Velmi důležitá je v tomto případě identifikace a popis sezónní složky. Vždy je potřeba identifikovat, zda
je sezonní kolísání skutečně statisticky významné
(grafická analýza, výpočet klouzavých průměrů, autokorelační funkce, analýza periodogramu).
Sezónními vlivy se rozumí soubor přímých či nepřímých příčin, které se opakují.
Důsledkem působení sezónních vlivů na analyzovanou časovou řadu jsou tzv. sezónní výkyvy, tj.
pravidelné výkyvy zkoumané čas. Řady nahoru a dolů vůči určitému „nesezónnímu“ normálnímu
vývoji řady v průběhu let.
Intenzitu sezónního kolísání měříme pomocí absolutních sezónních odchylek nebo sezónních indexů.
Před vlastní analýzou časové řady (trendu) je potřeba časovou řadu očistit od periodického kolísání,
které by mohlo maskovat charakter trendu časové řady – pak mluvíme o sezónním očišťování:
- aditivní model – od hodnot původní časové řady odčítáme sezónní odchylky
- multiplikativní model - hodnoty původní časové řady dělíme sezónním indexem.

13. Posouzení vhodnosti modelů ČŘ

Předpovědi časových řad
- Analýza časových řad se v podstatě provádí ve dvou základních fázích, jimiž jsou fáze
interpolace časové řady a její následná extrapolace. Model, kterým byl popsán dosavadní
vývoj, je možné využít ke stanovení budoucí úrovně sledovaného ukazatele.
- Dva základní typy předpovědí: bodová a intervalová.
- Každá předpověď je spojena s určitou chybou předpovědi. Případná chyba je tím větší, čím
kratší je délka časové řady, čím nedokonalejší je popis uplynulého vývoje a čím vzdálenější je
horizont předpovědi.
- Přesnost předpovědí je možné hodnotit ex post pomocí tzv. pseudoprognóz. Jedná se o
prognózu v časti časového období, kdy již známe skutečnost. Porovnáním skutečných a
prognózovaných hodnot získáme charakteristiky, které hodnotí přesnost prognózy.
- Mezi tyto charakteristiky patří mimo jiné například :
- Relativní chyba prognózy (podíl absolutní chyby prognózy a skutečné hodnoty)
- A Theilův koeficient nesouladu (odmocnina tohoto koeficientu se uvádí v procentech jako
chyba prognózy).

14. Analýza periodických ČŘ

Kombinované modely
• Zejména pokud by u vybraných nejlepších prognostických modelů bylo dosaženo
výsledků, které se z hlediska zvoleného kritéria příliš neodlišují, bylo by vhodné
zkonstruovat agregované předpovědi modelů
• Tyto konstruují předpovědi ve formě určitých kombinací předpovědí poskytnutých
jednotlivými individuálními modely.
• Systém SAS nabízí možnost kombinování individuálních předpovědí ve formě jejich
prostého nebo váženého aritmetického průměru s různým systémem vah (nabízené
tzv.regresními váhy jistým způsobem penalizují předpovědi zatížené vyššími
předpovědními chybami zvoleného hodnotícího kritéria).

15. Předpovědi časových řad

Obecný postup
• Grafické rozhraní modulu SAS/ETS – TSFS
• 1. import dat, volba datového souboru, sledovaného ukazatele, nastavení
časové proměnné
• 2. nastavení hodnotícího kritéria, výběr počtu modelů
• 3. diagnostika časové řady
• 4. stanovení horizontu předpovědi (max 1/3 délky časové řady)
• 5. výběr (generování) modelu
• 6. grafické posouzení vhodnosti modelu(graf reziduí případně korelogramy)
• 7. odhady parametrů modelu, hodnoty bodových předpovědí, reziduí,
předpovědi vč IS atd.
• 8. konstrukce pseudoprognóz
• 9. možnost konstrukce kombinovaných předpovědí
• 10. závěrečné zhodnocení modelu/modelů