Векторы в пространстве

1. Векторы в пространстве

Геометрия

2.

Вектор – отрезок, для которого указано, какой из
его концов считается началом, а какой - концом.
Нулевой вектор – любая точка пространства.
F
A
L
C
M
a
G
N
NA, LF, a , CC = 0
K
D

3.

Длиной ненулевого вектора АВ называется
длина отрезка АВ
Обозначение :
| a | или | АВ |
B
a
А
Длина нулевого вектора равна 0
С
| 0 | =0, │СС│=0

4. Коллинеарные векторы (от лат. com — совместно и linea — линия)

a
Лежат на
параллельных
прямых
Лежат на одной
прямой.
b
с
a
b
р

5.

Два ненулевых вектора называются
сонаправленными, если они коллинеарны и
лучи АВ и CD сонаправлены
a
a
b
B
A
C
b
D
Два ненулевых вектора называются
противоположно направленными, если они
коллинеарны и лучи АВ и CD противоположно
направлены
c
A
B
c d
D
C
d

6.

Укажите векторы, сонаправленные с АК ,
Противоположно направленные DD1
B1
C1
A1
D1
К
N
B
A
C
D
СВ

7.

Векторы называются РАВНЫМИ, если они:
1. сонаправлены
2. их длины равны.
a
a
а = b <=>
b
b
|a|=|b|

8.

От любой точки пространства можно
отложить вектор, равный данному и
притом только один
N
M
c

9. Постройте 1) вектор с началом в точке D1 , равный вектору А1В; 2) два вектора с началом и концом в вершинах куба, коллинеарные

с вектором AD, но не равные ему.
B1
C1
A1
D1
B
A
C
D

10. №322

М
B1
К
A1
D1
B
A
C1
C
D
Указать все пары:
1. сонаправленных векторов;
2. Противоположно направленных векторов;
3. Равных векторов

11. § 2 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

§2
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
ВЕКТОРОВ

12. Правило треугольника

В
b
a
С
А
a+b
АВ + ВС = АС
x+y
x
y
M

13. Правило параллелограмма

a
a+ b
M
b

14. Правило многоугольника

С
b
a
a+b+c
c
А
О
В

15. Противоположные векторы

с
Векторы с и к
противоположны, если
с к и с = к
к
Вычитание векторов
a – b = c <=> b + c = a
a – b = a + (-b)
b
a
c
a-b
a
-b
-b
b
a-b

16. № 332

B1
C1
К
A1
D1
DK=DD1-KD1
B
A
C
AC-B1C=AB1
D
Представьте векторы АВ1 и DK в виде разности двух
векторов с началом и концом в указанных на рисунке
точках

17. Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора а на число k
называется такой вектор b, длина которого равна
│k│•│a│, причем
a
M
При k>0 векторы a и b
сонаправлены
3a = b
При k<0 векторы a и b противоположно
направлены
b
-1•b
N

18. Законы сложения и умножения вектора на число

1.
2.
3.
4.
5.
а + b = b + а (переместительный)
(а + b) + с = а + (b + с) (сочетательный)
(k n) a = k (n a) (сочетательный)
k (a + b) = ka + kb (распределительный)
(k + n) a = ka + na (распределительный)

19. § 3 КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

20. Компланарные векторы (от лат. com — совместно и planum — плоскость)

а
c
b

21. Любые два вектора компланарны

Любые три вектора, два из
которых коллинеарные,
компланарны
c
a
d
b
k
A

22. Признак компланарности векторов

Если c = xa + yb, где x и y – некоторые числа,
то a, b и с компланарны
yb
в
а
xa
c = xa + yb

23. Признак компланарности векторов

Если c = xa + yb, где x и y – некоторые числа, то
a, b и с компланарны
yb
в
а
xa
c = xa + yb

24.

№355 Дан параллелепипед.
Какие из
следующих трех векторов компланарны?
B1
D1
A1
C1
А) AA1,CC1,DD1
Б) AB,AD,AA1
B
A
C
D
B) B1B,AC,DD1
Г) AD,CC1,A1B1

25. Правило параллелепипеда

c
B1
C1
A1
a
D1
B
C
b
A
D

26.

№ 356 Точки E и F- середины ребер АС и BD
тетраэдра ABCD. Доказать, что 2FE=BA+DC
A
E
D
с
F
B
Компланарны ли векторы FE, BA и DC