Специальные главы математики

1. Специальные главы математики

Лекция 11

2.

Классификация особых точек функции
2

3.

§ 10. Вычеты функции в ее особых точках
Вычетом функции f(z) в ее изолированной особой
точке z0 называется число
где γ+ − положительно ориентированная
граница окрестности точки z0, не содержащая других
особых точек функции (рис.)
Принято также другое обозначение вычета:
3

4.

Способы вычисления вычетов
1. Вычисление вычета через коэффициенты ряда
Лорана.
Разложим функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности ее
особой точки z0, проинтегрируем по положительно
ориентированной окружности γ+ с центром в точке z0
и воспользуемся тем, что
4

5.

Таким образом,
5

6.

2. Вычет в устранимой особой точке.
В окрестности устранимой особой точки z0 ряд
Лорана функции не содержит отрицательных степеней
(z − z0), следовательно, с−1 = 0.
Таким образом, в устранимой особой точке
6

7.

3. Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
Если z0 – П(1) функции f(z), то разложение функции в
ряд Лорана в окрестности точки z0 имеет вид:
Умножим это равенство на (z − z0):
Переходя к пределу при (z→ z0), получим:
т.е. в полюсе первого порядка
7

8.

4. Вычисление вычета функции
если
Таким образом,
8

9.

5. Вычисление вычета в полюсе k-го порядка.
Если z0 – П(k) функции f(z), то разложение функции в
ряд Лорана в окрестности точки z0 имеет вид:
Умножим это равенство на (z − z0)k
и продифференцируем (k − 1) раз:
9

10.

Переходя к пределу при (z→ z0), получим
Таким образом, в полюсе k-го порядка
10

11.

6. Вычет в точке ∞.
Определение. Будем говорить, что функция f(z) аналитична в
1
точке z0 = ∞, тогда и только тогда, когда f z f аналитична
в точке 0 .
1
f
z
f
в ряд Лорана в окрестности
Разложим функцию
нуля:
n
c
1
1
1
n
n
f cn n cn c n
n 1
n 0
z n 1 z
n 0
n
c0 cn z
n 1
n
c n z n .
n 1
11

12.

Классификация ОТ ∞.
n
1
c
1
1
f cn n nn cn c n
n 1
n 0
z n 1 z
n 0
n
c0 cn z
n 1
n
c n z n .
n 1
12

13.

Определение. Вычетом в бесконечно удаленной точке назовем
1
Re
s
f
f ( z )dz, где γ ‒ окрестность точки
число, равное
2 i
бесконечность (окружность большого радиуса), проходимая по
часовой стрелке. Поэтому
Res f c 1
3z 3 2 z 4
4
2
f
(
z
)
3
z
2
Пример.
z
z.
По положительной степени можно определить, что
z = ∞ ‒ полюс 2 порядка.
При этом
Res f c 1 4.
13

14.

§11. Применение вычетов к вычислению
интегралов
1.
Теорема 1. Пусть функция f(z) является
аналитической в замкнутой области D с положительно
ориентированной границей L+ за исключением
изолированных особых точек z1, z2,…, zn, лежащих
внутри D. Тогда
14

15.

Следствие. Если функция f(z) является аналитической
всюду, кроме конечного множества особых точек
z1, z2,…, zn, , то сумма вычетов этой функции во всех
особых точках и вычета в бесконечности равна нулю,
т.е.
15

16.

Пример. Вычислить интеграл
16

17.

2.
(интеграл от ФДП)
Теорема 2. Пусть
1) функция f(x) совпадает с f(z) и непрерывна на (− ∞; + ∞)
2) функция f(z) является аналитической в верхней
полуплоскости, за исключением изолированных особых
точек z1, z2,…, zn,
3) существуют положительные числа М, R0, δ такие, что
при условии, что |z| = R ≥ R0,
Тогда
17

18.

Следствие. Пусть функция
есть
отношение двух многочленов (n − k > 1) и z1, z2,…, zN
есть нули знаменателя Qn(z), лежащие в верхней
полуплоскости. Тогда
18

19.

Пример. Вычислить
19

20.

3.
Так как
то
Следовательно, I2 = Re I1, I3 = Im I1.
20

21.

Теорема 3. Пусть
1) функция f(x) совпадает с f(z) и непрерывна на (− ∞; + ∞)
2) функция f(z) является аналитической в верхней
полуплоскости, за исключением изолированных особых
точек z1, z2,…, zn,
3)
на полуокружности
причем ε(R) → 0 при R → ∞.
Тогда
21

22.

Следствие. Пусть функция
есть
отношение двух многочленов , где k < n, и z1, z2,…, zN
есть нули знаменателя Qn(z), лежащие в верхней
полуплоскости.
Тогда
22

23.

Пример 1. Вычислить
23

24.

4.
(интеграл от ФДП)
Замена: eix = z. Тогда отрезок интегрирования [0; 2π]
отображается в окружность комплексной плоскости
|z| = 1, при этом
24

25.

Пример 1. Вычислить интеграл
25

26.

26