Решение треугольников. 9 класс

1. Решение треугольников

Геометрия
1
9 класс
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

2. Организационный момент

Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник,
А уж вам-то, как не знать…
Но совсем другое дело –
Очень быстро и умело
Треугольники считать!
2
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

3. Тест на определение истинности (ложности) утверждения

И В треугольнике против угла в 150º лежит большая сторона.
2. И В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между
1.
Л
4. И
3.
5. Л
6.
И
Л
8. И
7.
3
собой и каждый равен 60º.
Существует треугольник со сторонами 2 см, 7 см, 3 см.
Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные
катеты.
Сумма длин двух других сторон любого треугольника меньше
третьей стороны.
Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60º, то
прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы.
Существует треугольник с двумя тупыми углами.
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

4. План изучения темы «Решение треугольников»

Что это значит?
Для этого вспомним…
Как это делать?
Примеры задач.
Реши сам.
4
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

5. Определение

Решением треугольника
называется
нахождение всех его
шести элементов (то
есть трёх сторон и
трёх углов) по какимА
нибудь трём данным
элементам.
5
В
c
a
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

6. Для этого вспомним

Решение данных задач основано на использовании теорем
синуса и косинуса, теоремы о сумме углов треугольника и
следствии из теоремы синусов: в треугольнике против
большего угла лежит большая сторона, против большей
стороны лежит больший угол.
Причем, при вычислении углов треугольника предпочтительнее
использовать теорему косинусов, а не теорему синусов.
Соотношения между сторонами и углами в треугольнике
1.
Сумма углов треугольника.
2.
Теорема синусов.
3.
Теорема косинусов.
6
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

7. Сумма углов треугольника

Теорема синусов
Стороны треугольника
пропорциональны синусам
противолежащих углов
В
c
a
a
b
c
sin A sin B sin C
А
8
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

8. Теорема синусов

Теорема косинусов
Квадрат стороны
треугольника равен сумме
квадратов двух других
сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
9
В
c
А
a
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

9. Теорема косинусов

Три задачи на решение треугольника
Рассмотрим 3 задачи на решение треугольника:
решение треугольника по двум сторонам и
углу между ними;
решение треугольника по стороне и
прилежащим к ней углам;
решение треугольника по трем сторонам.
10
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

10. Три задачи на решение треугольника

Договоримся
При решении
треугольников будем
пользоваться
следующими
обозначениями для
сторон треугольника
ABC:
АВ = с, ВС = а, СА = b.
11
В
c
А
a
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

11. Договоримся

Задача 1. Решение треугольника по
двум сторонам и углу между ними
В
Дано: АВС, а, b, C
Найти: с, А, В.
a
c
С
А
12
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

12. Задача 1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

1. Применим теорему косинусов
В
ñ a 2 b2 2ab cos C
2. По теореме косинусов находим
a
b c a
cos A
2bc
3. Угол А находим с помощью
таблицы Брадиса
2
2
2
c
С
B 180 A C
13
4. Запишем ответ
А
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

13. Задача 1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача 2. Решение треугольника по
стороне и прилежащим к ней углам
В
Дано: АВС, а, В, С
Найти: b, c, A
a
c
С
А
14
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

14. Задача 2. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

1. Найдём неизвестный угол
В
A 180 B C
2. С помощью теоремы синусов:
a
a sin B
b
sin A
c
С
a sin Ñ
ñ
sin A
15
3. Запишем ответ
А
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

15. Задача 2. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Задача 3. Решение треугольника по
трём сторонам
В
Дано: АВС, a, b, c
Найти: А, В, С.
a
c
С
А
16
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

16. Задача 3. Решение треугольника по трём сторонам

1. По теореме косинусов найдём
b2 c2 a 2
cos A
2bc
b2 a 2 c2
cos C
2ab
2. Значения углов А и В находим с
помощью таблицы Брадиса.
В
a
c
С
3. Находим оставшийся угол
17
B 180 A C
4. Запишем ответ
А
b
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

17. Задача 3. Решение треугольника по трём сторонам

Таблица – памятка
Решение треугольника по
двум сторонам и углу
между ними
Решение треугольника по
стороне и прилежащим к
ней углам
А
Решение треугольника по
трем сторонам
А
А
c
b
γ
В
a
ñ a 2 b2 2ab cos C
18
γ
β
С В
b
a
A 180 B C
b2 c2 a 2
cos A
2bc
b
a sin B
sin A
B 180 A C
ñ
a sin Ñ
sin A
С В
a
С
b2 c2 a 2
cos A
2bc
b2 a 2 c2
cos C
2ab
B 180 A C
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

18. Таблица – памятка

Решаем задачу 1
Решить треугольник АВС, если
А=60º В=40º, с=14см.
В
Дано: АВС, А=60º,
В=40º, с=14см.
Найти: a, b, С.
А
Ответ
19
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С

19. Решаем задачу 1

Решаем задачу 2
Решить треугольник АВС, если
a=6,3 см, b=6,3 см, C=54º.
С
Дано: АВС, a=6,3 см,
b=6,3 см, C=54º.
Найти: А, В, c.
В
А
Ответ
20
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

20. Решаем задачу 2

Решаем задачу 3
Решить треугольник АВС, если
a=6 см, b=7,7 см, c=4,8 см.
В
Дано: a=6 см, b=7,7 см,
c=4,8 см.
Найти: А, B, C.
Ответ
21
А
C
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

21. Решаем задачу 3

Ответ к примеру 3
А=54º52´
B=84º16´
C=40º52´
24
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

22. Ответ к примеру 1

Найди ошибку
à 2 b 2 c 2 2bc cos
sin A sin B sin C
a
b
c
b a c 2bc cos
sin A
2R
a
a 2 a 2 c 2 2ac sin
b
2r
sin B
2
25
2
2
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

23. Ответ к примеру 2

Измерительные работы
Тригонометрические функции могут быть использованы для
проведения различных измерительных работ на местности.
Об этом мы поговорим на следующем уроке.
26
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

24. Ответ к примеру 3

Задание на дом
•Изучить
материалы
пунктов 96 – 99,
• решить любые 3
задачи, вычислив
неизвестные
элементы
треугольника
АВС:
27
№
а
1
3
b
3
2,4
4
5
5
2
4
6
7
2
4
B
135°
28°
30°
9
3
5
10
15
24
45°
60°
8
14
8
C
60°
1,3
12
7
A
2
3
2
c
36°
25°
64°
48°
60°
18
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

25. Найди ошибку

Психологическая заминка
Урок заканчивается, пожалуйста определите своё
эмоциональное состояние в конце урока. Поставьте на этой
же карточке галочку в клетку, соответствующую настроению
28
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

26. Измерительные работы

Спасибо за урок! Успехов!
29
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

27. Задание на дом

Использованная литература
30
«Геометрия 7-9 класс» Анатасян Л.С.
«Задачи к урокам геометрии 7-11
класс» Зив Б.Г.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ