c772e5104dea467d929255de54f83d93 (3)

1.

14.10.2025
1

2. Определение

14.10.2025
Определение
Решением треугольника называется
нахождение всех его шести элементов (то
есть трёх сторон и трёх углов) по какимнибудь трём данным элементам.
В
c
А
2
a
С
b
2

3. Для этого вспомним

14.10.2025
Сумма углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180º
A B C 180
В
С
А
4
4

4. Сумма углов треугольника

14.10.2025
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
a
b
c
sin A sin B sin C
В
c
А
5
a
С
b
5

5. Теорема синусов

14.10.2025
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
a b c 2bc cos A
2
2
2
А
6
В
c
a
С
b
6

6. Теорема косинусов

14.10.2025
Три задачи на решение
треугольника
7
7

7. Три задачи на решение треугольника

14.10.2025
Дано : АВС , ВС a, АС b, C
C
A
В
8

8.

Решение
14.10.2025
с а в 2ав сos , значит
2
с
2
2
а в 2ав cos
2
2
2) Если γ- тупой угол, значит α и β острые углы
Если γ –острый угол, то сравниваем а и b, выбираем меньшую
и находим меньший угол (он точно острый)
Допустим это α
а
c
a sin
sin
sin sin
c
3) β =180º- (α + β)
Задача имеет одно решение
9

9. Решение

14.10.2025
Решаем задачу 1
Решить треугольник АВС, если a=6,3 см, b=6,3 см, C=54º.
Дано: АВС, a=6,3 см,
b=6,3 см, C=54º.
Найти: А, В, c.
В
Ответ
А
10
С
10

10. Решаем задачу 1

14.10.2025
C
A
Дано : АВС , ВС a, C , В
В
11

11.

Решение:
14.10.2025
γ = 180º - (α+β), α+β < 180º
а
b
a sin
b
sin sin
sin
a
c
a sin
c
sin sin
sin
Задача имеет одно решение
12

12. Решение:

14.10.2025
Решаем задачу 2
Решить треугольник АВС, если А=60º В=40º, с =14см.
Дано: АВС, А=60º,
В=40º, с=14см.
Найти: a, b, С.
С
Ответ
В
13
А
13

13. Решаем задачу 2

14.10.2025
Дано : АВС , ВС a, АС b, АВ с
C
A
В
14

14.

14.10.2025
Решение
Пусть а – наибольшая сторона треугольника,
а 2 с 2 в 2 2вс cos
c b a
cos
2cb
a
b
, значит
sin
sin
b sin
sin
a
180 ( )
2
2
2
Задача имеет одно решение
15

15. Решение

14.10.2025
Решаем задачу 3
Решить треугольник АВС, если a=6 см, b=7,7 см, c=4,8 см.
Дано: a=6 см, b=7,7 см,
c=4,8 см.
Найти: А, B, C.
В
Ответ
А
16
C
16

16. Решаем задачу 3

14.10.2025
IV тип задач
по двум сторонам и углу,
лежащему против одной из них
Дано:
∆ АВС
а , в, α
Найти: с, γ, β
а
в
α
17

17. IV тип задач по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них

14.10.2025
Решение
а
b
b sin
, значит sin
sin sin
a
1. Если в намного больше а, то sinβ >1 и
задача не имеет решений.
2. Если sinβ =1, то β =90º, γ =90º-α,
с = в cosα
в этом случае задача имеет
единственное решение
18

18. Решение

14.10.2025
3. Если 0 < sinβ < 1 , то β может быть и
острым и тупым углом
Сравниваем а и в
Если а < в, то
существуют два угла β
значит
1 -острый,
треугольник-
остроугольный
1 180 ( 1 )
а sin 1
с1
sin
2 =180º- (α + 1)-тупой,
значит треугольниктупоугольный
2 180 ( 2 )
a sin 2
c2
sin
19
В этом случае задача имеет два решения

19.

14.10.2025
Таблица – памятка
Решение
треугольника по двум
сторонам и углу
между ними
А
В
В
β
B 180 A C
В
С
A 180 B C
a sin B
sin A
a sin С
с
sin A
b
А
b
c
γ
a
С
с a 2 b 2 2ab cos C
b2 c2 a 2
cos A
2bc
Решение треугольника по
трем сторонам
А
b
γ
a
Решение
треугольника по
стороне и
прилежащим к ней
углам
a
С
b2 c2 a 2
cos A
2bc
2
b a2 c2
cos C
2ab
B 180 A 20
C

20. Таблица – памятка

14.10.2025
Ответ к примеру 3
А=54º52´
B=84º16´
C=40º52´
23
23