Предел и непрерывность функций

1. § 3. Предел и непрерывность функций

Опр. 20. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу х, х∈Х по
определенному правилу (закону) f ставится в соответствие один элемент у, у∈Y то
говорят, что на множестве Х задана функция
Пишут:
f
X
Y
или
f.
y=f(x)
Основные элементарные функции:
Алгебраические:
y=C y=xα
Трансцендентные:
y=ax
y=logax
Тригонометрические:
y=sin x y=cos x y=tg x y=ctg x
Обратные тригонометрические:
y=arcsin x y=arccos x
y=arctg x
y=arcctg x
ТЕСТ в электронном курсе Т 3.0 ВЫПОЛНИТЬ!
Опр. 21. Функция, которая состоит из конечного числа алгебраических
операций над основными
элементарной функцией
пропустить 5 клеточек
элементарными
функциями
называется

2. Общие свойства функций

Опр. 22. Функция y=f(x) называется ограниченной, если
C R x D[ y] | f ( x) | C
Опр. 23. Функция y = f( x ) называется
а) возрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1) < f(x2);
при x1< x2
b) убывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
c) невозрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1) > f(x2);
f(x1) ≥ f(x2);
d) неубывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1) ≤ f(x2).
Опр. 24. e-окрестностью точки x0∈R называется множество точек x
из R таких, что расстояние от x до x0 не превышает e.
Пишут
U( x0 , e ) = {x: x∈ R, | x - x0 | < e}
Опр. 25. Проколотой
множество
e-окрестность
точки
x0,
называется
Ů( x0, e ) = {x: x∈R, 0 < | x - x0 | < e }

3.

26. Определение предела функции (на языке e-d) (по Коши)
В силу полноты множества R
a, b R, a b (a b) c R : a c b
lim f ( x) A
x x0
Число А называется пределом (предельным значением) функции f(x) при x
стремящимся к x0, если по любому сколь угодно малому числу ε >0 всегда
можно найти положительное δ такое, что для всех х, удовлетворяющих
условию |x - x0| < δ будет выполняться неравенство | f(x) – A | < ε.
e 0 d 0 x | x - x0 | d | f ( x) - A | e
пропустить 1 страницу

4.

Опр. 27. Определение предела функции по Гейне
(на языке последовательностей).
Пусть y=f(x) определена в Ů(x0, ε). Число А называется пределом функции
f(x) в т. x0 при x→x0, если
∀{xn} ∈ Ů(x0, ε)
То есть верно равенство
из
xn→x0 ⇒
lim f ( xn ) A
f( xn ) → A.
n
пропустить 10 строк
Замечание: Определение по Коши равносильно определению по Гейне
Следствия из замечания:
1. Функция f(x) не может иметь двух пределов, т.к. сходящаяся
последовательность f(xn) имеет 1 предел.
2. Все свойства, характерные для предела последовательности, будут
иметь место и для предела функции.

5.

Свойства пределов функции
(Можно переписать, а можно иметь ввиду)
1. О локальной ограниченности.
Пусть lim
x x0
f ( x) A . Тогда ∃ U( x0 , e ), в которой |f( x )| ≤ M.
2. Об устойчивости знака функции.
Пусть lim f ( x) A 0 . Тогда ∃ U( x0 , e ), в которой
x x 0
sign( f(x) )= sign A.
3. Если y = f ( x ) имеет предел, то ее можно представить как сумму
постоянной, равной этому пределу и б.м.
lim f ( x) A
x x 0
f ( x) A ( x), где ( x) - б.м.
4. Об арифметических операциях.
Пусть
и
lim f ( x) A
а) lim[ f ( x) g ( x)] A B
lim g ( x) B. Тогда
b) lim[ f ( x) g ( x)] A B
x x 0
x x 0
x x 0
x x 0
f ( x) A
c) lim
,
x x 0 g ( x)
B
B 0

6.

О предельном переходе
5. Пусть ∀x∈ Ů(x0, d) f ( x ) ≤ g ( x ),
Тогда, A ≤ B
6. Пусть ∀x∈ Ů(x0, d)
Тогда lim F ( x) A
lim f ( x) A
x x 0
lim g ( x) B
x x 0
f ( x ) ≤ F ( x ) ≤ g ( x ) и lim f ( x) lim g ( x) A
x x 0
x x 0
x x 0
7. О пределе сложной функции.
Пусть существуют конечные пределы
lim f ( x) b
x x 0
Пусть ∀x∈ Ů( x0, d) f( x ) ≠ b (т.е. f(x) не const.).
lim F ( y) A
y b
Тогда в точке x0 существует предел сложной функции F ( f (x) ) и
lim F ( f ( x)) lim F ( y)
x x 0
y b

7.

8. Имеют место аналогичные свойства б.м. и б.б. функций.
б.м. функции
1
а) если ( x ) – б.м., то ( x)
– б.б.
б) ( x ) + b ( x ) + … + t ( x ) = g ( x ) – сумма конечного числа б.м. есть б.м.
в) ( x ) .M( x ) = b ( x ) – произведение б.м. на ограниченную есть б.м.
г) ( x ) . b ( x ) = g ( x ) – произведение б.м. на б.м. есть б.м.
д) ( x ) . с = g ( x ) – произведение б.м. на const есть б.м.
б.б. функции
е) F ( x ) + G ( x ) = R ( x ) – сумма б.б. одного знака есть б.б.
ж) F ( x ) .M( x ) = R ( x ) – произведение б.б. на ограниченную и ≠ 0 есть б.б.
з) F ( x ) + M ( x ) = R ( x ) – сумма б.б. и ограниченной есть б.б.
пропустить 0,5 страницы

8. Опр. 28. Число А называется правосторонним пределом f(x), если

§ 4. Односторонние пределы
Опр. 28. Число А называется правосторонним пределом f(x), если
по Коши: ∀e>0 ∃d(e) ∀x∈R: 0 < x - x0 < d выполняется | f(x) – A | < e
по Гейне: ∀ { xn }: xn > x0 , xn → x0 при n →∞ выполняется f( xn ) → A
lim f ( x) A
x x0
Опр. 28*. Число А называется левосторонним пределом f(x), если
по Коши: ∀e>0 ∃d(e) ∀x∈R: - d < x - x0 < 0 выполняется | f(x) – A | < e
по Гейне: ∀ { xn }: xn < x0 , xn → x0
при n →∞ выполняется f( xn ) → A
lim f ( x) A
x x0-
Теорема 4 (о существовании предела)
Для того, чтобы существовал предел lim f ( x) необходимо и достаточно, чтобы
x x 0
существовал левосторонни и правосторонний пределы f(x) и они оба были равны.
В этом случае их значение и является двусторонним пределом f(x) в точке x0.
пропустить 0,5 страницы
lim f ( x) A lim f ( x) lim - f ( x) A
x x 0
x x 0
x x 0

9. Опр. 29. Ф. y = f(x) называется непрерывной справа в x0, если ∃ правосторонний предел и

§ 5. Непрерывность функций
Опр. 29. Ф. y = f(x) называется непрерывной справа в x0, если
∃ правосторонний предел и
lim f ( x) f ( x0 )
x x 0
Ф. y = f(x) называется непрерывной слева в x0, если
∃ левосторонний предел и
lim f ( x) f ( x0 )
x x 0-
Опр. 30.
y = f(x) называется непрерывной в x0, если
lim f ( x) lim - f ( x) f ( x0 )
x x 0
Опр. 30*.
x x 0
y = f(x) называется непрерывной в x0, если
lim D y 0 .
D x 0
Б. м. приращению аргумента Dx = x – x0 соответствует б. м. приращение
функции
D y = f ( x ) – f ( x0 )

10.

Общие свойства непрерывных функций
1. Всякая основная элементарная функция непрерывна в своей области
определения.
Доказать для каждой
пропустить 10 клеточек
2. Сумма, произведение, частное непрерывных на (a,b) функций есть
непрерывная на (a,b) функция
3. Непрерывность композиции элементарных функций.
Если
u = j ( x ) – непрерывна в x0
y = f ( u ) – непрерывна в u0
то сложная функция y = f ( j ( x )) непрерывна в x0
Следствие. Операция предельного перехода перестановочна.
lim f (u) f ( lim u( x) )
u u 0
пропустить 4 клеточки
x x 0

11.

Точки разрыва и их классификация
Опр. 31. Т. x0 называется точкой разрыва ф. y = f(x), если для нее не
выполняется определение непрерывности.
lim f ( x) f ( x0 )
x x 0
Т.
x0 - точка устранимого разрыва, если ∃ lim f ( x)
но
x x 0
lim f ( x) f ( x0 )
x x 0
A B
область
3х5 клеточек
или
область
3х5 клеточек
Т. x0 - точка скачка (разрыв I рода), если
lim f ( x) A
x x 0
область
3х5 клеточек
lim f ( x) B
x x 0
-
Т. x0 - точка разрыва I I рода, если
хотя бы один из односторонних пределов
и
∞
∄.

12. План исследования функции на непрерывность

1. Найти точки, подозрительные на разрыв
2. Найти lim f ( x) и lim - f ( x). Вычислить f (x0)
x x 0
x x 0
3. Назвать характер разрыва
4. Построить график. (При необходимость вычислить
lim f ( x) ).
x