Свертка функций Формулы обращения Теоремы разложения

1.

Лекция 36. Cвертка функций.
Формулы обращения. Теоремы
разложения.
1

2.

Изображения элементарных функций.
Изображение функции
– действительное чсло
]
[
]
[
]
[
]=
=
2

3.

Для того чтобы описывать апериодические процессы
применяют функции
=
]=
=
Если встречается функция
=
применяется теорема дифференцирования
изображения.
=
3

4.

Найти оригинал
- некоторое число.
Найти изображение функции
4

5.

Таблица оригиналов и их изображений
5

6.

Свертка, её свойство, формула Дюамеля.
Пусть дано 2 оригинала
t меняется от 0 до + .
Сверткой этих оригиналов называется интеграл вида:
Свертка обозначается в виде:
Основное свойство свертки:
Доказательство.
6

7.

Пусть
Формула Дюамеля
имеет своими изображениями функции:
Тогда справедлива формула Дюамеля:
′
.
Доказательство.
Известно, что свертка 2-х оригиналов
Воспользуемся этой формулой и свойством
дифференцирования оригинала:
)′
При дифференцировании интеграла с переменным верхним
пределом имеем
Формула Дюамеля применяется при решении
дифференциальных уравнений.
7

8.

Нахождение оригиналов по изображению.
- рациональная дробь.
Пусть это правильная рациональная дробь. Докажем,
что в этом случае рациональная дробь всегда будет
иметь оригинал.
Теорема (о существовании оригинала правильной
рациональной дроби)
Если
такова, что
, то используя
теорему о разложении многочлена на множители
имеем:
..
D1 < 0
De < 0
8

9.

Причём каждому из этих множителей в разложении
дроби на элементарные соответствуют дроби 1,2,3 и 4
типа, т. е.
Вспоминая, что
9

10.

Подчёркнутые выражения дадут
Если дискриминант
получается
.
Дробям 3 и 4 типа будут соответствовать оригиналы,
представляющие собой произведение экспонент,
гиперболических или тригонометрических
и степеней t (в зависимости от дискриминанта).
10