Производная и её приложение

1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЕ

2.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть точка движется с переменной скоростью по закону S(t)
.
В момент времени t тело прошло путь
S(t). В момент времени (t+Dt) тел
о прошло путь S(t+Dt). За время Dt тело
прошло путь DS.
DS = S(t+Dt)-S(t).
Средняя скорость точки за время Dt:

3.

Если Dt 0, то средняя скорость приближается к некоторому
числу, которое называется мгновенной скоростью и
обозначается,
Физический смысл производной состоит в том,
что производная функции в точке равна
.
мгновенной скорости изменения функции в этой
точке.

4.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Угловой коэффициент прямой
Пусть функция y = f(x) задана графически. Точка М принадлежит
графику функции y = f(x) и имеет координаты М (x; f(x))
МТ- касательная к графику функции МNсекущая. Дадим аргументу приращение Dx.
Точка N принадлежит графику функции y =
f(x) и имеет координаты N(x+Dx; f(x+Dx)).
-это угол между касательной МТ и положительным направлением оси OX.

5.

-это угол между секущей MN и положительным направлением оси
OX;
из
.
Если Dx 0,то N M и
Вывод: Если график y = f(x) в точке (x; f(x)) имеет касательную, не
перпендикулярную оси абсцисс, то функция y = f(x) имеет в этой точке производную.
Верно и обратное утверждение.

6.

Тангенс угла
называется угловым коэффициентом касательной.
Обозначается:
. Значит, геометрический смысл производной
состоится в том, что значение производной
функции y = f(x) в точке x равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции в
.
точке с абсциссой x:

7. История дифференциальных исчислений

О происхождении терминов и обозначений.
Раздел математики, в котором изучаются производные и их
применения к исследованию функций называется
дифференциальным исчислением. Приращения вида ,
представляющие собой разности , играют заметную роль при
работе с производными. Естественно поэтому появление
латинского корня differentia ( разность) в названии calculis
differentialis нового исчисления, которое переводится как
исчисление разностей. Термин производная ввел Лагранж в 1797
году.
Производная определяется во всех руководствах именно как
предел. Пишут f (хо) = lim вместо принятого выше обозначения
Обозначение lim - сокращение латинского слова limes ( межа,
граница); уменьшая, например, , мы устремляем значения к
«границе» Г (хо).
Термин предел ввел Ньютон. Примером бесконечно малой может
служить функция от , поскольку —>0. Вообще, если lim (х) =0,
говорят, что - бесконечно малая. Бесконечно малые играют
важную роль в математическом анализе, который поэтому часто
называют также анализом бесконечно малых.
Заметим наконец, что слово « экстремум»№ происходит от
латинского extremum ( крайний). Махimum переводится как
наибольший, а minimum- наименьший.

8.

Из истории дифференциального исчисления.
1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно
недавно, в
конце XVII столетия.
Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика
Н. Тартальи-здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона
орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. И.
Кеплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме
параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса. К рассмотрению
касательной и нормали( так называется прямая, перпендикулярная касательной и
проведенная в точке касания) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств
линз. С помощью методов аналитической геометрии и изобретенного им метода
неопределенных коэффициентов он сумел решить задачи о построении нормалей
к ряду кривых, в том числе эллипсу. В 1629 г. П. Ферма предложил правила
нахождения экстремумов многочленов. Систематическое учение о производных
развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулировал две основные проблемы
анализа:
1. Длина проходимого пути постоянно (т.е. в любой момент времени ) дана; требуется
найти скорость движения в предложенное время.
2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в
предложенное время пути.
Первая проблема задает программу развития дифференциального исчисления. Вторая
относится к интегральному исчислению
А. Лопиталь, который учился у Бернулли, издал уже 1696 году первый печатный курс
исчисления «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий»,
способствовавший распространению новых методов.
С числовыми и функциональными рядами работал не только Ньютон, но и его
предшественники, и поэтому несколько несправедливо название формула Тейлора
( Б. Тейлор (1685-1731)- английский математик, опубликовавший ее в 1715 году.),
принятое для следующего замечательного соотношения:
( здесь (х)- значение полученное n-кратным дифференцированием функции f в точке
х0, а n!=1 2...п.

9.

Основная трудность состояла в том , что точные определения таких
ключевых понятий, как предел, непрерывность , действительное
число , отсутствовали( соответственно и рассуждения содержали
логические пробелы, а иногда были даже ошибочны.
Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был
сделан в 20-е годы прошлого , века французским математиком О.
Коши (1789-1857), предположившим точные определения пределов
функции и последовательности и на их основе доказавшим многие
фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821г.)
определения предела и непрерывности , целый ряд других
замечательных результатов ( в том числе знаменитый пример
функции, непрерывной на промежутке, но не имеющий производной
ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (17811848), но его работы стали известны много позднее.
Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А
называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к а (т.е. lim
f(x)=A), если для любого числа 0 , можно подобрать такое число,что
f(x)-A для всех х, удовлетворяющих неравенству
Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение
непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке хо если lim
f(x)=f(xo).
Число А является пределом последовательности , если для любого
существует номер N , такой, что при всех n N верно неравенство.
Яркие характеристики глубины переворота а математике, происшедшего
bXVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс. Начальный период
развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции
, бесконечно малых величин, пределов и производных, был
охарактеризован Марксом как « Мистический» .

10.

ЖОЗЕФ
ЛУИЖозеф
ЛАГРАНЖ
Лагранж,
Луи (1736–1813), французский
математик и механик. Родился 25 января 1736 в Турине.
Отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и определил его в
Туринский университет. Однако там все свое время Жозеф
отдавал физике и математике. Рано проявившиеся
блестящие математические способности позволили ему в
19 лет стать профессором геометрии в Артиллерийской
школе Турина. В 1755 Лагранж послал Эйлеру свою
эпохальную математическую работу об
изопериметрических свойствах, положенных им
впоследствии в основу вариационного исчисления, а 1756
он по представлению Эйлера стал иностранным членом
Берлинской академии наук. Принимал участие в
организации в Турине научного общества (впоследствии
ставшего Туринской академией наук). В 1764 Парижская
академия наук объявила конкурс по проблеме движения
Луны. Лагранж представил работу, посвященную либрации
Луны, которая и была удостоена первой премии. В 1766 он
получил вторую премию Парижской академии за
исследование, посвященное теории движения спутников
Юпитера, а до 1778 был удостоен еще трех премий этой
академии. В 1766 по приглашению Фридриха II Лагранж
переехал в Берлин, где стал президентом Берлинской
академии наук вместо Эйлера. Берлинский период (1766–
1787) был самым плодотворным в жизни Лагранжа. Здесь
он выполнил важные работы по алгебре и теории чисел, а
также по проблеме решения дифференциальных
уравнений в частных производных.

11.

В Берлине была подготовлена его знаменитая Аналитическая механика (Mecanique
analytique), опубликованная в Париже в 1788. Эта работа стала вершиной научной
деятельности Лагранжа. В ней описано огромное число новых подходов. В основу
всей статики положен т.н. принцип возможных перемещений, в основу динамики –
сочетание этого принципа с принципом Д'Аламбера. Введены обобщенные
координаты, разработан принцип наименьшего действия. Этой работой Лагранж
превратил механику в общую науку о движении тел разной природы: жидких,
газообразных, упругих.
В 1787, после кончины Фридриха II, Лагранж переехал в Париж и занялт один из
постов в Парижской академии наук. Во время Французской революции он принял
участие в работе комиссии, занимавшейся разработкой метрической системы мер и
весов и введением нового календаря. В 1797, после создания Политехнической
школы, вел активную преподавательскую деятельность, читал курс математического
анализа. В 1795, после открытия Института Франции, заменившего Королевскую
академию наук, стал главой его физико-математического класса.
Лагранж внес существенный вклад во многие области чистой математики, включая
вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач
на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лагранжа),
алгебру и теорию вероятностей. В двух своих важных трудах – Теория аналитических
функций (Thorie des fonctions analytiques, 1797) и О решении численных уравнений
(De la rsolution des quations numriques, 1798) – он подытожил все, что было известно
по этим вопросам в его время, а содержавшиеся в них новые идеи и методы нашли
воплощение в работах многих выдающихся математиков 19 в.
Умер Лагранж в Париже 10 апреля 1813.

12.

ВЕЙЕРШТРАСС Карл Теодор Вильгельм
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) В
детстве Карл интересовался лирикой, стремился изучать
музыку, но у него был плохой слух. Уже в гимнастические
годы он увлекался математикой. Сверх школьной
программы изучил интегральное исчисление,
геометрические работы Я. Штейнера. Математика
помогала вносить свой вклад в семейный бюджет: с 15 лет
он начал вести приходно-расходные книги у одной из
торговок ветчиной и маслом. Карл окончил гимназию и,
подчиняясь воле отца, поступил на юридический
факультет боннского университета, хотя он сам
предпочитал изучение математики. он вскоре перестал
ходить на лекции и начал самостоятельно изучать
математические работы. Ему попалась короткая запись
лекций по теории эллиптических функций Х. Гудермана.
Продолжить дальнейшее обучение не позволяло
материальное положение семьи. В 1839г. он зачислен в
Мюнстерскую академию, где слушал лекции только
Гудермана. После сдачи письменных экзаменов
состоялись устные и пробные лекции в различных
старших классах гимназии. После блестяще сданных
экзаменов 25-летний Вейерштрасс получил право на
преподавания в гимназиях.

13.

В католической прогимназии небольшого городка Дрейч-Крон он получил
должность штатного учителя. Кроме математики приходилось преподавать
физику, ботанику, географию, историю, немецкий язык, чистописание и
гимнастику. Осенью 1848г. его перевели в гимназию Браунсберге. Учебная
нагрузка была большой, и научными исследованиями Вейерштрасс
занимался по ночам. В центре его исследований была теория абелевых
функций. Постоянные умственные перегрузки привели к тому, что
Вейерштрасс в 1850г. серьезно заболел. Отдыхая, он подготовил статью "К
теории абелевых функций". Она была признана лучшей работой в этой
области. Философский факультет Кенигсбергского университета присудил
Вейерштрассу 31 марта 1854г. степень почетного доктора без защиты
диссертации. Имя Вейерштрасса становилось все более популярным. 14
июня его утвердили профессором Промышленного института в Берлине.
Наконец, Вейерштрасс получил возможность пользоваться хорошей
математической библиотекой и общаться с людьми, увлеченными наукой.

14.

11 ноября 1856г. Вейерштрасса назначили на должность экстраординарного профессора.
В 1861г. избрали членом Баварской академии наук. 16 декабря 1861г. во время лекции у
него был такой сильный приступ головокружения, что он был вынужден прервать ее.
Больше никогда Вейерштрасс не мог читать лекции, стоя у доски. Он читал их сидя, а ктолибо из хороших студентов писал на доске. В 1868г. его избрали членом-корреспондентом
Парижской академии наук. В 1870г. у 55-летнего Вейерштрасса появилась ученица из
России- двадцатилетняя С.В. Ковалевская. В 1873г. Вейерштрасса избрали ректором
университета. Он продолжал руководить работой Ковалевской, которую она готовила для
получения звания доктора. В1874г. Вейерштрасса представили к особому ордену за
"Заслуги в области науки и искусств". В1881г. его избрали членом Лондонского
королевского общества. В конце 1886г. Парижская академия объявила конкурс на премию
Бордена, которая в 1888г. будет присуждена тому, кто усовершенствует в каком-нибудь
важном пункте теорию движения твердого тела. В конкурсе решила принять участие
Софья Васильевна. Она исследовала задачу о вращении твердого тела около
неподвижной точки. В декабре 1888г. комиссия единодушно присудила премию
Ковалевской. Ее победа очень обрадовала Вейерштрасса.
В 1889г. был очень тяжелым. В феврале Вейерштрасс сильно заболел, только лежа он не
чувствовал недомогания. 10 февраля 1891г. в возрасте 41 года С.В. Ковалевская умерла.
Вейерштрасс был так потрясен известием о кончине своей ученицы, что родные стали
беспокоиться за его жизнь. Среди венков, возложенных ан гроб Ковалевской, был венок
из белых лилий с короткой надписью "Соне от Вейерштрасса". В период 1892-1896гг.
Вейерштрасс занимался изданием своих трудов. В начале 1897г. он заболел гриппом,
который перешел в воспаление легких. 19 февраля 1897г. он скончался.

15.

БЕРНУЛЛИ Иоганн I
Бернулли Иоганн I (1667-1748) Род Бернулли ведет сове начало из
Фландрии. В конце 16 в. Бернулли покинули родной Антверпен из-за
религиозных гонений и после неудачной попытки осесть во Франкфурте на - Майне, оказались в Базеле. Отец Бернулли занимал в городе заметное
положение, был членом городского суда и членом Большого городского
совета. У старшего брата, Якова, был сын художник. У Иоганна было пять
сыновей, но научной деятельностью занимались только три старших Николай, именуемый обычно Николаем II, Даниил I и Иоганн II. Все три
сына Иоганна I ыли профессорами математики. У Иоганна II было два
сына математика - Иоганн III, академик Берлинской академии наук, и Яков
II- математик Петербургской академии наук, утонувший в Неве в
тридцатилетнем возрасте. После Иоганна III и Якова II в семье Бернулли
математиков не было, но крупные деятели в других областях культуры,
например историки, музыканты, художники, искусствоведы и т.д.,
появляются непрестанно. Любопытно, что в течение свыше 250 лет в
Базельском университете всегда были профессора Бернулли, а кафедрой
математики Бернулли заведовали более ста лет- с 1687г. (Яков I) по 1790г.
(Иоганн III). Кресло иностранного члена Парижской академии Бернулли
занимали в течение 91 года. Иоганн, впоследствии называвшийся
Иоганном I, родился 27 июля 1667г. В 1682г. после окончания школы, он
был отправлен отцом в Невшатель для торговой практики и
совершенствования во французском языке (Невшатель расположен в той
части Швейцарии, где говорят на французском языке). Через год Иоганн
возвратился домой, но никакой склонности к торговой практике не
обнаружил. Он поступил в университет и вскоре защитил диссертацию
(написанную латинскими стихами) на степень бакалавра В1685г. он
защитил еще одну диссертацию, на этот раз написанную греческими
стихами, и получил степень магистра искусств. В том же 1685г. по совету
брата он начинает заниматься математикой. За два года изучены труды
древних и новых математиков, включая "Геометрию" Декарта; Иоганн
сравнивается с братом, и статью Лейбница они изучают сообща. Они не
только поняли все, что содержалось в статье, но и продвинули
исчисление значительно дальше. Иоганн успешно изучает еще и

16.

В 1690г. Иоганн отправляется в путешествие. После Женевы он едет в Париж. В
литературном салоне известного тогда философа Мальбранша он знакомится с
Лопиталем. Завязывается оживленная беседа на математические темы и
Лопиталь просит Бернулли прочитать ему несколько лекций по новому
исчислению и получает согласие. В 1692г. Иоганн возвратился в Базель. Яков в
это время успешно разрабатывал новые отделы дифференциального
исчисления. 1691-1696 годы отличаются большим числом и важностью
полученных братьями результатов. Иоганн продолжает изучать медицину и в
1694г. он успешно защитил диссертацию на степень доктора медицины. Через
несколько дней после защиты Иоганн женился и вместе с семьей в 1695г. уехал
в Гронинген, где прожил десять лет. Он читал там математику и
экспериментальную физику.
В 1705г., после смерти Якова Бернулли, Иоганн возвращается в Базель и
занимает там кафедру математики. Главный предмет его занятий - это
приложение анализа к различным вопросам механики, физики и т.д. Осенью
1747г., когда Иоганну исполнилось восемьдесят лет, его здоровье стало сдавать.
Но такова была привычка к труду, что он продолжал работать ежедневно до
полуночи. 1 января 1748г. он скончался. К его портрету Вольтер написал
четверостишие: Его ум видел истину, Его сердце познало справедливость. Он гордость Швейцарии И всего человечества.

17.

КОШИ, ОГЮСТЕН ЛУИ
Французский математик. Родился 21 августа 1789 в Париже. Первым учителем
мальчика был его отец, который занимался со своими сыновьями историей и
древними языками, заставляя их читать античных авторов в подлиннике. В 1802 Коши
поступил в Центральную школу в Париже, где изучал главным образом древние языки.
В 1805 сдал вступительный экзамен в Центральную школу общественных наук
Пантеона (переименованную впоследствии в Политехническую школу). Профессорами
были лучшие ученые того времени; многие выпускники школы рано начали карьеру и
стали знаменитыми учеными (например, Пуансо, Био, Араго). Окончив школу, Коши
поступил в Институт путей сообщения, затем работал в Шербуре инженером на
строительстве порта.
С 1813 Коши начал публиковать работы по математике. В 1816 был назначен членом
Парижской Академии наук вместо Г.Монжа, уволенного по политическим причинам. В
том же году мемуар Коши по теории волн на поверхности тяжелой жидкости получил
первую премию на конкурсе по математике, и его автор был приглашен в качестве
преподавателя сразу в три учебных заведения – Политехническую школу, Сорбонну и
Коллеж де Франс. После революции 1830 Коши, верный королю Карлу X, уехал за
границу, давал уроки математики, физики и химии внуку короля – герцогу Бордоскому.
Во Францию Коши вернулся лишь в 1838, когда ему предложили занять кафедру в
Политехнической школе, не требуя присягать на верность новому королю – Филиппу
Орлеанскому. С тех пор ученый жил в Париже, занимаясь математикой.
Научные работы Коши посвящены арифметике, теории чисел, алгебре,
математическому анализу, дифференциальным уравнениям, механике,
математической физике и т.д. Всего Коши написал свыше 800 работ, полное собрание
его сочинений содержит 27 томов.

18.

Коши впервые дал четкое определение основным понятиям математического анализа –
пределу, непрерывности функции, сходимости ряда и т.д. Он установил точные условия
сходимости ряда Тейлора к данной функции и провел различие между сходимостью этого
ряда вообще и его сходимостью к данной функции. Ввел понятие радиуса сходимости
степенного ряда, дал определение интеграла как предела сумм, доказал существование
интегралов от непрерывных функций. Нашел выражение аналитической функции в виде
интеграла по контуру (интеграл Коши) и вывел из этого представления разложение функции
в степенной ряд. Таким образом, он развил теорию функций комплексного переменного:
используя интеграл по контуру, нашел разложение функции в степенной ряд, определил
радиус сходимости этого ряда, разработал теорию вычетов, а также ее приложения к
различным вопросам анализа и т.д. В теории дифференциальных уравнений Коши впервые
поставил общую задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными
начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Коши занимался
также геометрией (теорией многогранников, поверхностями 2-го порядка), алгеброй
(симметрическими многочленами, свойствами определителей), теорией чисел (теоремой
Ферма о многоугольных числах, законом взаимности). Ему принадлежат исследования по
тригонометрии, механике, теории упругости, оптике, астрономии. Коши был членом
Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и ряда других академий
Европы.

19.

ЛОПИТАЛЬ де Гиймон Франсуа
Гиймон Франсуа Антуан Лопиталь родился в 1661г. в Париже в богатой и знатной
семье. О последнем свидетельствует то, что он носил звание маркиза (де Сен-Мэм) и
графа (Антрмон). В его детских занятиях математика не играла никакой роли. Известно,
что он делал слабые успехи в латинском языке, предмете, который относился в то
время к числу важнейших. Истинное его призвание обнаружилось почти случайно,
когда ему в руки попал учебник геометрии. Он сначала заинтересовался чертежами и,
что называется, "заглянул" в книгу, чтобы понять, для чего эти чертежи служат. Это
первое знакомство с геометрией быстро переросло в настоящую страсть. Хорошего
учителя юному математику почему-то не удалось найти, и он изучил любимый предмет
самостоятельно. По обычаю родовитой знати все мужчины в семье Лопиталей были
военными. Служил капитаном кавалерии и Гийом Франсуа. Сильная близорукость
вынудила его оставить военную службу. Он получил возможность посвятить себя
любимой математике. Есть сведения, что 1688г. он начал изучать работы Лейбница.
Успехи, по-видимому, оставляли желать лучшего, во всяком случае к моменту
знакомства с молодым Иоганном Бернулли Лопиталь сознавал себя не более чем
начинающим учеником. Он просил нового знакомого прочитать ему курс лекций. Летом
1692г. в своем имении близ Вандома Лопиталь в течение четырех месяцев усиленно
занимался с Иоганном Бернулли. Занятия были успешными. В 1693г. Лопиталь уже
свободно владел новой отраслью. Он переписывается с Лейбницем и решает задачу,
предложенную Бернулли: найти кривую, обладающую тем свойством, что длина
касательной должна находиться в постоянном отношении к длине отрезка оси абсцисс,
заключенного между точкой пересечения оси с касательной и точкой пересечения оси с
кривой. Одновременно с Лопиталем опубликовали решения Якова Бернулли, Лейбниц,
Гюйгенс. В 1693г. Лопиталя избрали членом Парижской академии наук.
В 1696г. вышло из печати главное творение его жизни - "Анализ бесконечно малых для
познания кривых линий". В 1703г., 43 лет от роду Лопиталь скончался от
апоплексического удара.

20.

“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона ,крещен 20 августа 1601 г.
Крестный отец – Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать – Жанна
Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот
документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До
этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!)года исправно служил чиновником
кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны
вблизи Монтабане-на-Тарне(во Франции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день
не в силах осознать значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма,
последний математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший
судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками,
осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник, гениальный
компилятор, один из четырех титанов математики нового времени.
Ферма почти не выезжал из
Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон, дочери советника тогосамого парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел
вожделенную приставку “де”. Сын третьего сословия, практичный отпрыск богатых
кожевников, нашпигованный латынью и францисканским благочестием, он не ставил перед собой
грандиозных задач в реальной жизни. Он имел пятерых чад ,в последствии ставших судейскими
чиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество.
В свой бурный век он
прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был
наперсником французских королей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал и не
посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникам
провинциальных судов предписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявлений
публичности. Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своей страсти к
формальным досужим играм. На склонелет наш герой пишет: “Так как, говоря откровенно, я считаю
геометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременно столь бесполезным, что я
делаю мало различия между человеком, который занимается только геометрией, искусным
ремесленником. Я называю геометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же только
профессией, и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в
нее все силы...”. Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые
блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Не
обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферма умирает в Кастре близ
Тулузы 12 января 1665.

21.

Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зрелом
возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащий краткую
сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток
права и античной филологии,вдруг задается целью полностью восстановить ход
рассуждений знаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может
попытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографии по
алгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более
того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительное открытие:
для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи.
Первый систематический прием для отыскания экстремумов (от лат. extremum «крайнее»)
Ферма изложил в своей работе «Метод исследования максимумов и минимумов». Эта работа
была частично опубликована в 1642-1644 гг., а полностью - в 1779г., после смерти ее автора. Из
писем Ферма стало, однако, известно, что своим методом он владел уже в 1629г. Этот метод,
имеющий инфинитезимальный характер (т.е. основанный на рассмотрении бесконечно
малых), Ферма впервые применил к функции(1)1 Пусть есть бесконечно малое приращение
независимой переменной; тогда новое значение функции (1) будет (2)Для выражения «принципа
остановки», т.е. того факта, когда функция, достигая максимума или минимума, как бы
останавливается в своем изменении(на современном языке - скорость изменения, т.е.
производная, равна 0),Ферма приравнивает (1) и (2): (3)Раскрывая скобки и сокращая на h.
Ввиду того что бесконечно малое h исчезает перед конечным (по существу это молчаливый
предельный переход при [pic]), то
Он быстро продвинулся дальше. Он нашел
достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба,
провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько
лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и
гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С),
вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв.
Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того
времени. Он уверен в себе и жаждет признания.
В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну:”Святой отец! Я Вам
чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду на то, что мы
сможем беседовать письменно;... Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и
книгах по Математике, которые появилась за последние пять-шесть лет.... Я нашел также
много аналитических методов для различных проблем, как числовых, так и
геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с
Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, от которого я более свободен и
более далек, чем любой другой человек на свете”.

22.

Презентацию готовили:
Сахаровский Евгений
Николаев Максим
Шлюбович Василий
Силин Дмитрий
Усенко Елена