Линейные неравенства с параметром

1.

2.

Определение:
Неравенства вида ax>b, ax<b, ax≥b, ax≤b, где a
и b – действительные числа или выражения,
зависящие от параметров, а x – неизвестное,
называются линейными неравенствами с
параметром.

3.

Пример 1:
(m-1)x<5m
Решение:
m=1 – контрольное значение
m 1
m 1
5m
x
m 1
5m
x
m 1
0 x 5 x R

4.

Пример 2:
Решить неравенство при всех значениях
параметра a:
a(3x-5)<6+ax
Решение:
Приведем к линейному виду:
3ax-5a<6+ax
2ax<6+5a
a=0 – контрольное значение
0 (3x 5) 6 x R
6 5a
a 0 x
2a
6 5a
a 0 x
2a

5.

Пример 3:
Чему равно значение переменной при
различных значениях параметра:
b x x 1 b
2
Решение:
Приведем к линейному виду:
b x x b 1
2
x(b 1) b 1
2
b 1 контрольные значения

6.

−
+
-1
+
b
1
1
если b ( ; 1), то b 1 0 x
b 1
1
2
если b ( 1;1), то b 1 0 x
b 1
1
2
если b (1; ), то b 1 0 x
b 1
если b 1, то 0 x 2, x R
2
если b 1, то 0 x 0, x

7.

Пример 4:
Найти все значения переменной
относительно 3ax 4 x 3a 5
параметра а: 3a 9 a 3 3a 9
aРешение:
3 контрольные значения
если a 3 неравенство не имеет смысла
Приведем к линейному виду ax=b:
3ax 4
x
3a 5
ax x (3a 5)( a 3) 4(a 3)
3(a 3) a 3 3(a 3)
a 3
3(a 3)( a 3)
3ax 4 3 x 3a 5
2
x
(
a
1
)
3
(
a
1)
3(a 3)
3(a 3)
a 3
3(a 3)( a 3)
3ax 3 x
4
3a 5
3(a 3) 3(a 3) 3(a 3) a 1 контрольно е значение

8.

−
+
-3
+
+
1
a 1
если a ( ; 3), то
0
a 3
если a 3, то x
a 1
если a ( 3;1), то
0
a 3
если a 1, то 0 x 0, x
3
a 1
x
a 3
a 1
x
a 3
a 1
a 1
если a (1;3), то
0 x
a 3
a 3
a 1
a 1
если a (3; ), то
0 x
a 3
a 3
x

9.

Пример 5:
ax
Решить неравенство:
Решение:
2
a 0 контрольное значение
−
+
0
a
2
если a 0, то x ( модуль отрицательного числа); x
a
если a 0, то 0 x 2; x
2
x a
2
если a 0, то x
2
a
x
a

10.

Пример 6:
При каких значениях k неравенство
(k-1)x+2k+1>0 (1)
верно при всех значениях x, удовлетворяющих
условию |x|≤3?
Решение:
Введем в рассмотрение функцию f(x)= (k-1)x+2k+1
Она является линейной при любом действительном
значении k, т.е. при любом действительном значении k
графиком ее служит прямая.

11.

y
y
y
K<1
K>1
-3
0
3
x
-3
0
3
K=1
x
-3
0
Для выполнения неравенства (1) на всем отрезке [-3;3]
достаточно выполнения условия
f ( 3) 0
f (3) 0
f ( 3) 3(k 1) 2k 1 4 k
f (3) 3(k 1) 2k 1 5k 2
f ( 3) 0
4 k 0
при
0,4 k 4
f (3) 0
5k 2 0
3
x