Использование монотонности при решении уравнений

1. Тема урока: Использование монотонности при решении уравнений

Учитель математики Грязнова Е.В.

2. Задача:

Решить уравнение
2
2 sin x
3
3sin x 2
2 sin x 3
3
2
3sin x 2
3

3. Билет №1

Решить уравнение .
log 1 ( x 5) log 1 3
2
2
Решить уравнение .
log 2 ( x 3) log 2 12 log 2 2
2

4. Билет № 2

При каком условии логарифмическая
функция y log a x
возрастает?
Какие из перечисленных функций являются
возрастающими?
y log x
y log 1 x
2
y log 3 x
y lg x

5. Билет № 3

При каком условииx показательная функция
убывает?
Какие из перечисленных функций являются
убывающими?
y a
y 2,1
x
y e
x
1
y
3
x
y 3
x

6. Билет № 4

Закончите предложение: Для возрастающей
функции большему аргументу соответствует
….
Закончите предложение: Сумма двух
убывающих функций является … .

7. Билет № 5

Решите уравнение .
2
x 5
2
3 3 x
Решите уравнение .
x 10 8 x

8.

Если для любых двух значений аргумента x1и x2 из
некоторого промежутка из условия x2 > x1 следует
f
( x2 ) > f ( x1 ), то функция f (x ) называется
возрастающей на этом промежутке;
если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из
некоторого промежутка из условия x2 > x1 следует
f (x2)< f (x1),то функция f (x ) называется убывающей
на этом промежутке.
Функция, которая только возрастает или только
убывает, называется монотонной.

9.

Можно ли применить монотонность функций
при решении уравнений?
Если да, то насколько эффективно это
применение?

10. Этап 1

Как решается графически уравнение вида
f ( x) a
где а – некоторое число?

11.

Если f(x) – монотонная функция, то уравнение
f(x) = а имеет не более одного корня.
Пример

12.

3
4x 1 x 1 x 6 6
3
9
Если х = 7,
то 3 + 2 + 1 =6,
значит х = 7 – единственный корень.

13. Этап 2

Теперь решаем уравнение вида
f ( x) g ( x)
причем
y f (x) возрастающая функция
y g (x )
убывающая функция

14.

Пусть функция y f (x) возрастает на
промежутке М, а функция y g (x )
убывает на этом промежутке. Тогда
уравнение
имеет на
промежутке М не более одного корня.
f ( x) g ( x)

15. Задания:

5
x
1
x
x
1
2
3
x 1
3
x
x
10
0,1
x
x
4 x 5
x
x
1
3x 8
5
x 3 5 x
1
x 1 5 x
4
log 2 x 1 x
1
log 1 x x 2
3
3

16. Этап 3

Пусть область определения функции f (t )есть
промежуток М, и пусть эта функция
непрерывна и строго монотонна (т.е.
возрастает или убывает) на этом
промежутке. Тогда уравнение f ( ( x)) f ( ( x))
равносильно системе
( x ) ( x ),
( x ) M ,
x M

17. Рассмотрим пример. Решить уравнение .

arcsin( x 8) arcsin( 9 x 26)
2
Решение: Пусть f (t ) arcsin t . Она
определена, непрерывна и возрастает на [ 1;1].
Уравнение имеет вид f ( x 2 8) f (9 x 26) .
Значит, оно равносильно системе
x 8 9 x 26,
1 9 x 26 1
2
x 3,
x 6,
25
x 3
9
x 3

18. Этап 4.

Задание: Выявите функцию , область ее
определения и вид монотонности для
следующих уравнений.
lg x 17 lg 11x 45
2
log 3 x 1 log x 5
2
3
arccos x 14 arccos x 6
1
2
cos2 x
2
1
2
4 4 sin x

19. Рассмотрим более сложные примеры

Решить уравнение
sin x
1
2
cos x
5
1
sin x
2
5 cos x

20. Решение.

t
1
Рассмотрим функцию f t t .
2
Она определена, непрерывна на ; .
t
1
Как разность убывающей функции y
2
5
и возрастающей функции y
функция f t убывает на R .
5
t

21. Данное уравнение имеет вид

f sin x f cos x .
Значит, по утверждению
оно равносильно
sin x cos x,
уравнению
tgx 1;
x
Ответ:
4
4
n, n Z .
n, n Z .

22. Решить уравнение

e
x 2 4 x 5
2 x 2 3 x 7
x 4x 5 e
3
2
2 x 3x 7
3
2

23. Решение.

Пусть f t et 3 t . Эта функция определена,
непрерывна и возрастает на всей числовой прямой.
Данное уравнение имеет вид:
f
x
2
4x 5 f
2 x
2
3x 7 .
Согласно утверждению оно равносильно уравнению
x
2
4x 5
x x 2 0,
2x
2
3 x 7.
2
D 1 8 7 0,
Ответ: нет корней.

24. Решить уравнение

2
x 2 1007
2007
x 1007 2
2
2009x 1001
2007 2009 x 1001

25. Сможете ли решить записанное на доске уравнение?

3
2 sin2 x
3 sin x 2
2 sin x 3
3
2
3sin x 2
3

26.

- Можно ли применять монотонность при
решении уравнений?
- Эффективно ли применение монотонности
при решении уравнений?
- Что нового вы узнали на этом уроке?
- Какие задачи из предложенных вам
понравилось решать?
- Чувствуете ли вы уверенность в данный
момент перед нестандартными уравнениями?

27. Домашнее задание

решить уравнения
1
3
sin x
1 cos 2 x
1
sin x
3
5
3
1 cos x
3
5
2
3
3
cos 2 x 6 cos 2 x cos x 6 cos x
2
2
3
sin x 1 x 1 x 2 1 sin 2 x 8x 3 2 x 0
2
8 4
2 4
2
sin 9 x
7 sin 3x 7 18 x
6 x 28
x
x2
x2 x