Прогрессии вокруг нас

1. Прогрессии вокруг нас

Презентация к уроку алгебры 9

2.

5; 5,5; 6; 6,5 …
6; 0,6; 0,06; 0,006 …
Арифметическая
прогрессия
Геометрическая
прогрессия

3.

Историческая справка
Прогрессии – частные виды числовых
последовательностей – встречаются в памятниках
II тысячелетия до н.э.
В клинописных табличках вавилонян, как и в
египетских папирусах, встречаются примеры
арифметических и геометрических прогрессий.

4.

Историческая справка
Задачи по данной теме имеются и в
древнекитайском трактате «МАТЕМАТИКА В
ДЕВЯТИ КНИГАХ».

5.

Историческая справка
Первые из дошедших до нас задач на
прогрессии связаны с запросами хозяйственной
жизни и общественной практики, как, например,
распределение продуктов, деление наследства…

6.

Историческая справка
Теоретические сведения, связанные с
прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до
нас документах Древней Греции.
Слово «ПРОГРЕССИЯ» латинского
происхождения, буквально означает
«ДВИЖЕНИЕ ВПЕРЁД».

7.

(an)
Геометрическая
(bn)
a
a d
n 1 n
b
b q, q 0
n 1
n
Арифметическая
№
Прогрессии
1
Определение
2
Формула для
нахождения n-го
члена
a a (n 1) d
n
1
b b q n 1
n
1
3
Сумма n первых
членов прогрессии
a an
Sn 1
n
2
2 a1 (n 1) d
Sn
n
2
b1 (q n 1)
Sn
q 1
b
Sn 1 , q 1
1 q
4
Характеристическ
ое свойство
a
n
a
n
5
Полезные формулы
an 1 an 1
,n 2
2
an k an k
,k n
2
ak an ak m an m , m k
d
an ak
n k
b
n
bn 1 bn 1 , n 2
bn2 bn k bn k , k n
bk bn bk m bn m , m k
q n k
bn
bk

8.

Эпизод из биографии К.Ф. Гаусса
Однажды на уроке, чтобы
занять первоклассников, пока он
будет заниматься с учениками 3
класса, учитель велел сложить все
числа от 1 до 100, надеясь, что это
займёт много времени.
Но маленький Гаусс сразу
сообразил, что 1+100=101, 2+99=101
и т.д. И таких чисел будет 50.
Осталось умножить 101·50. Он
сделал это в уме. Учитель понял,
что это самый способный ученик в
его практике.

9.

В доме было 7 кошек.
Каждая кошка съедает 7 мышей.
Каждая мышь съедает 7 колосьев.
Каждый колос даёт 7 растений.
На каждом растении вырастает 7 мер зерна.
СКОЛЬКО ВСЕХ ВМЕСТЕ?

10.

Шли 7 старцев.
У каждого старца по 7 костылей.
На каждом костыле по 7 сучков.
На каждом сучке по 7 кошелей.
В каждом кошеле по 7 пирогов.
В каждом кошеле по 7 воробьёв.
СКОЛЬКО ВСЕГО?

11.

Легенда о шахматной доске
Шахматная игра придумана в Индии в XIX
веке. Изобретателя звали Сета, который в награду
за своё изобретение потребовал от индийского царя
пшеницу. Её должно быть столько, чтобы на
первую клетку можно положить одно зерно, на
вторую – два, на третью – четыре, на четвёртую
– восемь…

12.

Легенда о шахматной доске
Чтобы разместить это зерно в амбаре, его
размеры должны быть: высота 4 метра, ширина 10
метров, длина 300’000’000 километров – вдвое
больше расстояния от Земли до Солнца.

13.

Задача №1
Вертикальные стержни фермы имеют
такую длину: наименьший 5 дм, а каждый
следующий на 2 дм длиннее. Записать длину
семи стержней.

14.

Задача №2
Срочный вклад 1000 рублей, положенный в
банк, ежегодно увеличивается на 10%. Каким
станет вклад через 3 года?

15.

Задача №3
Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в
первый день и увеличивают время этой процедуры в
каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней
следует принимать воздушные ванны в указанном
режиме, чтобы достичь их максимальной
продолжительности 1 час 45 минут?

16.

Задача №4
Из пункта «А» выехал велосипедист со
скоростью 15 км/ч. Спустя 3 часа вслед ему
отправился мотоциклист. Который в первый час
проехал 20 км, а в каждый следующий час проезжал
на 1 км больше, чем в предыдущий. Сколько часов
потребовалось мотоциклисту, чтобы догнать
велосипедиста?

17.

1) Какое число не является
членом арифметической
прогрессии 4; 8; 12; 16 …?
a) 60;
б) 64;
в) 66;
г) 68;
2) В каждом столбике на два
квадрата больше, чем в
предыдущем. Сколько
квадратов в двадцатом
столбике?
a) 20;
б) 39;
в) 40;
б) b4 >b6;
a) последовательность
натуральных чисел кратных 3;
б) последовательность кубов
натуральных чисел;
в) последовательность
натуральных степеней числа 3;
г) последовательность чисел
обратных натуральным;
г) 41;
3) В геометрической прогрессии
(bn): b1=81, q=-1/3. В каком
случае при сравнении членов
этой прогрессии знак
неравенства поставлен
неверно?
a) b2 <b3;
г) b5 >b7;
4) Какая из последовательностей
натуральных чисел является
геометрической прогрессией?
в) b3 >b4;
5) Укажите формулу, которой
нельзя задать
арифметическую прогрессию
(an): 1; 3; 5; 7 …
a) a1=1; an=an-1+2;
б) an=1+2·n;
в) an=1+2·(n-1);
г) an=2·n-1;

18.

1) Какое число не является
членом арифметической
прогрессии 4; 8; 12; 16 …?
a) 60;
б) 64;
в) 66;
г) 68;
2) В каждом столбике на два
квадрата больше, чем в
предыдущем. Сколько
квадратов в двадцатом
столбике?
a) 20;
б) 39;
в) 40;
б) b4 >b6;
a) последовательность
натуральных чисел кратных 3;
б) последовательность кубов
натуральных чисел;
в) последовательность
натуральных степеней числа 3;
г) последовательность чисел
обратных натуральным;
г) 41;
3) В геометрической прогрессии
(bn): b1=81, q=-1/3. В каком
случае при сравнении членов
этой прогрессии знак
неравенства поставлен
неверно?
a) b2 <b3;
г) b5 >b7;
4) Какая из последовательностей
натуральных чисел является
геометрической прогрессией?
в) b3 >b4;
5) Укажите формулу, которой
нельзя задать
арифметическую прогрессию
(an): 1; 3; 5; 7 …
a) a1=1; an=an-1+2;
б) an=1+2·n;
в) an=1+2·(n-1);
г) an=2·n-1;