Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия

3.

Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Сравнение прогрессий
Решение задач
Проверь себя
Контрольное тестирование

это числовая последовательность, в
которой каждое последующее число,
начиная со второго, получается из
предыдущего увеличением его на
определённое число.
Имеет вид:
a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…

5.

Из определения арифметической
прогрессии следует, что d a
a
n 1 n
Прогрессию называют арифметической
потому, что каждый её член, начиная
со второго, является средним
арифметическим двух соседних с ним
членов:
a a
a
n n 2
n 1
2

6.

Формула n-го члена прогрессии:
a a d (n 1)
n 1
Сумма первых n членов прогрессии:
a a
2a (n 1)d
1
n
S
n, S 1
n
n
n
2
2
К
оглавл
ению

7.

8.

это последовательность чисел,
в которой каждое последующее
число, начиная со второго,
получается из предыдущего
умножением его на определённое
число.
Имеет вид:
b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…

9.

Из определения геометрической
b
прогрессии следует, что q n 1
b
n
Прогрессию называют
геометрической потому, что
каждый её член, начиная со второго,
равен среднему геометрическому
двух соседних с ним членов:
b
b b
n 1
n n 2

10.

Формула n-го члена прогрессии:
n
1
b b q
n 1
Формула n-го члена прогрессии:
n
b b q
b (1 q )
1
n
S
,S 1
, q 1
n
1 q
n
1 q

11.

Сумма бесконечной геометрической
прогрессии при
q 1
b
1
S
1 q
К
оглавл
ению

12.

13.

Числовая последовательность, каждый
член которой, начиная со второго,
равен предшествующему члену,
сложенному с одним и тем же числом,
умноженному на одно и то же число,
называется
арифметической
геометрической
прогрессией

14.

Прогрессию называют
арифметической
геометрической
потому, что каждый её член, начиная со
второго, является средним арифметическим
средним геометрическим
двух соседних с ним членов:
a a
a
n n 2
n 1
2
b
b b
n 1
n n 2

15.

Геометрическая
прогрессия
1.bn b1q ( n 1) ;
Арифметическая
прогрессия
2.bn bn 1 bn 1 ;
bn 1
3.q
;
bn
1.an a1 d (n 1);
an 1 an 1
2.an
;
2
3.d an 1 an ;
bn q b1
4.S n
;
q 1
a a
4.S n 1 n n;
2
2a1 d (n 1)
5.S n
n.
2
К
оглавл
ению
b1 (q n 1)
5.S n
, q 1;
q 1
b
6.S n 1 , q 1;.
1 q

16.

17.

Дано: (а n ) - арифметическая
прогрессия, а1 = 5 d = 3.
Найти: а6 ; а10.
Решение: используя формулу
а n = а 1+( n -1) d
а6 = а1 +5 d = 5+ 5 . 3 = 20
а10 = а1 +9 d = 5+ 9 . 3 = 32
Ответ: 20; 32
17

18.

Дано: (b n ) - геометрическая прогрессия
b1= 5, q = 3.
Найти: b3 ; b5.
Решение: используя формулу b n = b1 q n-1
b3 =b1q2 = 5 . 32 =5 . 9=45
b5 =b1q4 = 5 . 34 =5 . 81=405
Ответ:45; 405.
18

19.

Дано: (а n ) - арифметическая
прогрессия, а4 = 11, d = 2.
Найти: а1 .
Решение: используя формулу
а n= а 1+ ( n – 1) d
а4 = а1 +3d ; а1= а4 – 3d =11 – 3 . 2 = 5
Ответ: 5.
19

20.

Дано: (b n ) - геометрическая
прогрессия, b4= 40, q = 2.
Найти: b1.
Решение: используя формулу
b n = b1 q n-1
b4 =b1q3 ; b1 = b4 : q3 =40:23 =40 :8=5
Ответ: 5.
20

21.

Дано: (а n ) - арифметическая прогрессия
а4=12,5; а6=17,5.
Найти: а5
a
a
n
1
n 1
a
Решение: используя свойство n
2
арифметической прогрессии имеем:
a a 12,5 17,5
a 4 6
15
5
2
2
Ответ: 15
21

22.

Дано: (b n ) - геометрическая прогрессия ,
bn >0, b4=6; b6=24.
Найти: b5
Решение: используя свойство
геометрической прогрессии имеем:
bn2 bn 1 bn 1
b52 b4 b6 6 24 144 b5 144 12
Ответ: 12
22

23.

Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него
вписывают числа, так чтобы сумма чисел
по вертикали, горизонтали диагонали была
одним и тем же числом(constanta)
называют магическим квадратом.
Из каждых девяти последовательных
членов любой арифметической прогрессии
натуральных чисел можно составить
магический квадрат.
23

24.

Пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d,
a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные числа.
Расположим её члены в таблицу.
a+3d a+8d a+d
Нетрудно видеть, что
получился магический квадрат,
a+2d a+4d a+6d
константа C которого равна
a+7d a a+5d
3a+12d.
Действительно, сумма чисел в каждой строке,
в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата
равна 3a+12d.
24

25.

Индийский раджа, познакомившись с игрой в
шахматы, решил наградить изобретателя
этой игры и предложил тому самому выбрать
награду. Изобретатель пожелал за первую
клетку шахматной доски получить одно
зернышко пшеницы, за вторую – два
зернышка, за третью – четыре, за четвертую
– восемь, за пятую – 16 и т. д. Удивившись
скромности изобретателя, раджа
распорядился немедленно выдать награду.
Однако выполнить приказ раджи оказалось
невозможно.
25

26.

27.

Подсчитаем, сколько зерен пшеницы нужно было бы
выдать изобретателю шахмат. Количество зерен,
запрошенные за каждую из 64 клеток шахматной доски
составляют геометрическую прогрессию с первым членом,
равным 1, и знаменателем, равным 2. Найдем всех 64
членов этой прогрессии:
64
1 1 2
S
264 1 1,8 1019
64
1 2
К
оглавл
27
ению