Квадратные уравнения. Способы их решения. 8 класс

1. Государственное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №35 с углубленным изучением английского языка

Василеостровского Административного района Санкт-Петербурга
Урок алгебры в 8 классе
«Квадратные уравнения.
Способы их решения»
учитель Гладких Н.М.

2.

Тема: РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
-Проверим знания определений, формул и
формулировок правил, которые необходимо знать
для успешного усвоения темы и умений решать
квадратные уравнения.
-Вспомним все ранее изученные способы решения
квадратных уравнений.
- Изучим новое свойство квадратных уравнений,
которое позволит устно находить корни
квадратного уравнения.

3.

Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это
путь
Самый благородный,
Путь подражания – это
путь
Самый легкий
И путь опыта – это путь
Самый горький.
Конфуций

4.

Уравнения записаны по какому-то определенному
признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой
группы лишнее?
2
1)2 х х 0;
2) х 2 16 0;
2
3)5 х 8 х 3 0;
2
4)2 х 0;
2
5) х 5 х 0,

5.

По формуле корней полного квадратного уравнения
2
x1, 2
b b 4ac
2a
Вычислите корни квадратного уравнения
a 5, b 8, c 3;
5 х 8 х 3 0;
D 64 4 5 3 4,
8 2
8 2 3
x1
1,
x2
0,6.
10
10
5
3
Ответ : x 1, х .
5
2

6.

2
По формуле
x1, 2
b b 4ac
2a
Вычислите корни квадратного уравнения
2
7 х 9 х 2 0;
a 7, b 9, c 2;
D 81 4 7 2 25,
9 5
9 5 2
x1
1, x2
.
14
14
7
2
Ответ : x 1, х .
7

7.

Уравнения записаны по какому-то определенному
признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой
группы лишнее?
2
1) х 5 х 1 0;
2
2)9 х 6 х 10 0;
2
3) х 2 х 2 0;
2
4) х 3 х 1 0;
5) х 2 5 х 17 0,

8.

По формуле корней
приведенного квадратного уравнения
2
x px q 0
2
x1, 2
p
p
q
2
2
p со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим.
И от корня аккуратно
Знаком минус, плюс отделим.
А под корнем, очень кстати,
Половина p в квадрате,
минус q – и вот решенья
небольшого уравнения.

9.

Методом выделения полного квадрата
2
x px q 0
Вычислите корни квадратного уравнения
методом выделения полного квадрата
2
x 6 x 7 0
2
x 6 x 9 9 7
2
х 3 16,
х 3 4, х 3 4,
х 7,
х 1,
Ответ : x 7, х 1.

10.

Вычислите корни квадратного уравнения методом
выделения полного квадрата
2
x 4 x 5 0,
2
x 4 x 4 4 5,
х 2
х 2 3,
х 5,
2
9,
х 2 3,
х 1,
Ответ : x 1, х 5.

11.

Вычислите корни квадратного уравнения методом
выделения полного квадрата
2
x 2 x 3 0,
2
x 2 x 1 1 3,
х 1
х 1 2,
х 1,
2
4,
х 1 2,
х 3,
Ответ : x 1, х 3.

12.

Вычислите корни квадратного уравнения методом
выделения полного квадрата
2
x 2 x 3 0,
2
x 2 x 1 1 3,
х 1
х 1 2,
х 1,
2
4,
х 1 2,
х 3,
Ответ : x 1, х 3.

13.

По теореме, обратной теореме Виета.
p, q, x1 , x2 таковы, что
x1 x2 p,
x1 x2 q,
Если числа
то
x1
и
x2
- корни уравнения
2
x px q 0.

14.

По теореме, обратной теореме Виета.
b
c
ax bx c 0 : a
x x 0.
a
a
c
b
x1 x2 , x1 x2 .
a
a
2
2
По праву в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – дробь уж готова:
В числителе с, в знаменетеле а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда –
В числителе в, в знаменателе а.

15.

Решите приведенные квадратные уравнения по
теореме, обратной теореме Виета
2
x x 2 0
x1 x2 1
x1 1,
x1 x2 2
x2 2.
Ответ : x 1, х 2.

16.

Решите приведенные квадратные уравнения по
теореме, обратной теореме Виета
2
x 3 x 2 0
x1 x2 3
x1 1,
x1 x2 2
x2 2.
Ответ : x 1, х 2.

17.

Решите приведенные квадратные уравнения по
теореме, обратной теореме Виета
2
x 3 x 2 0
x1 x2 3
x1 1,
x1 x2 2
x2 2.
Ответ : x 1, х 2.

18.

Дано уравнение: х
2
6 х 5 0
Не решая уравнения, найти:
1) сумму корней x1 x 2 6
2) произведение корней x1 x 2 5
3) квадрат суммы
x1 x 2 2 36
корней
4) удвоенное произведение корней 2 x1 x2 10
5) сумму чисел обратных
корням
6
1
x1 x 2
1
1
1
x1 x 2
x1 x 2
5
5
.

19.

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается,
немаловажную роль играет сумма коэффициентов
2
x x 2 0,
сумма коэффициентов
Ответ : x 1, х 2.
2
x 2 x 3 0,
сумма коэффициентов
Ответ : x 1, х 3.
2
x 3 x 2 0,
сумма коэффициентов
Ответ : x 1, х 2.
2
5 x 8 x 3 0,
3
Ответ : x 1, х .
5
сумма коэффициентов

20.

Запись этого свойства для решения
квадратного уравнения имеет вид:
2
ax bx c 0,
сумма коэффициентов a b c 0,
c
x1 1, х2 .
a
Для решения приведенного квадратного уравнения имеет вид:
2
x bx c 0,
a b c 0,
x1 1, х2 c.

21.

Запись этого свойства для решения
квадратного уравнения имеет вид:
2
ax bx c 0,
сумма коэффициентов a b c 0,
c
x1 1, х2 .
a
Для решения приведенного квадратного уравнения имеет вид:
2
x bx c 0,
a b c 0,
x1 1, х2 c.

22.

Это свойство применяют для устного решения квадратных
уравнений.
Воспользуйтесь этим свойством и решите уравнения.
ВАРИАНТ I
2
а) x 23 x 24 0,
2
б )2 x x 3 0,
2
в) 5 x 4,4 x 0,6 0,
1 2
2
г ) x 2 x 3 0,
3
3
ВАРИАНТ II
2
а ) x 15 x 16 0,
2
б )5 x x 6 0,
2
в ) 2 x 1,7 x 0,3 0,
1 2 3
г ) x 3 x 4 0,
4
4

23.

ВАРИАНТ I
2
а ) x 23 x 24 0,
ВАРИАНТ II
2
а ) x 15 x 16 0,
1 23 24 0,
Ответ : x 1, х 24.
1 15 16 0,
Ответ : x 1, х 16.
2
2 1 3 0,
Ответ : x 1, х 1,5.
5 1 6 0,
Ответ : x 1, х 1,2.
2
б )2 x x 3 0,
2
в ) 5 x 4,4 x 0,6 0,
5 4,4 0,6 0,
Ответ : x 1, х 0,12.
б )5 x x 6 0,
2
в) 2 x 1,7 x 0,3 0,
2 1,7 0,3 0,
Ответ : x 1, х 0,15.
1 2
2
г ) x 2 x 3 0,
3
3
1 2 3
г ) x 3 x 4 0,
4
4
Ответ : x 1, х 9.
Ответ : x 1, х 16.
1
2
2 3 0,
3
3
1
3
3 4 0,
4
4

24.

Домашнее
задание
2
x x 2 0,
2
x 2 x 3 0,
2
5 x 8 x 3 0,
x 2 3x 2 0,
Найдите еще свойство коэффициентов квадратного
уравнения, позволяющее устно найти его корни.

25.

Спасибо за
урок!

26. Сведения из истории

III до н.э. Древнегреческий ученый Евклид
– решение квадратных уравнений графически
XIII век Европа, Леонардо Пизанский
– формулы нахождения корней квадратного уравнения
XVI век Французский математик Франсуа Виет
– вывод формулы корней квадратного уравнения в
общем виде
XVI век Германия, Штифель (священник и математик)
– систематическое употребление термина «корень уравнения»
XIX век Ирландский, ученый – математик Гамильтон
- ввел термин дискриминант