Функционально – графический метод решения уравнений

1. Функционально – графический метод решения уравнений.

2. Цель урока: Научиться решать уравнения методом подстановки, используя свойства монотонности и ограниченности функций.

3. Справочный материал

1. Функция называется возрастающей (убывающей) на
множестве X, если на этом множестве при увеличении
(уменьшении) аргумента значение функции увеличивается
(уменьшается).
Пример 1:
y 3x 5; y 2 x
y 5x 1
• являются возрастающими функциями
Пример 2:
x
1
y 6 2x; y ;
y 2 x 5
2
являются убывающими функциями

4. Справочный материал

2. Сумма двух возрастающих функций, есть возрастающая
функция.
Пример: y 3 x 5 2 x 6
3. Сумма двух убывающих функций, есть убывающая функция.
x
x
Пример:
1
1
y
2
3
4. Функция возрастающая или убывающая на множестве X
называется
монотонной на этом множестве

5. Свойство монотонности.

• Если одна из функций монотонно
возрастает, а другая монотонно
убывает, то графики функций
пересекутся в одной точке, или
вообще не пересекутся.
Уравнение f(x)=g(x) либо имеет
одно решение, либо не имеет
решений.

6.

Решить уравнение:
2
2
2
y
2
x 1
2 x
y 2 x
x 1
0
При х = -1,
2
2 2 1
1=1. Ответ: х = -1

7. Свойство монотонности

• Если на некотором промежутке
одна из функций монотонно
возрастает (или убывает), а другая
принимает постоянное значение, то
графики функций пересекутся в
одной точке или вообще не
пересекутся.
Уравнение f (x)
= А имеет одно решение, либо не
имеет решений.

8.

Решить уравнение:
6х 3 2х 5
у 6 х 3 2 х возрастает на своей области определения
Уравнение имеет один корень или не имеет корней.
При х 2, 12 - 3 4 5.
5 5
Ответ : х 2.

9. Свойство ограниченности.

• Если на промежутке Х наибольшее значение
одной из функций равно А и наименьшее
значение другой из функций тоже равно А,
то уравнение
f (x)=g (x) равносильно
системе уравнений
f ( x) A
g ( x) A

10. Решить уравнение:

cos x x 1
2
Решение: у = cos x – ограничена, D (y)= [-1;1]
y=х2+1-ограничена снизу; D (y)= [1;∞];
Уравнение равносильно системе уравнений
cos x 1
2
x 1 1
Система имеет
решение при х = 0
y = x2 + 1
y = cos x

11. Спасибо за внимание.