Метод конечных разностей во временной области Finite - Difference Time - Domain (FDTD)

1.

§ 13
Метод конечных разностей во временной области
Finite – Difference Time - Domain ( FDTD )
13.4. Уравнения Максвелла. ТМ и ТЕ моды
Схема перешагивания
13.5. Закон Ампера на ячейке сетки
13.6. Закон электромагнитной индукции на ячейке сетки
13.7. Ячейки электрического и магнитного полей
13.8. Условие устойчивости. Основные характеристики
13.9. Граничные условия.
Импульс в двумерном фотонном кристалле

2.

Схема перешагивания “leap frog” во времени
1
1
n
1 n 2
1 1
n
n
2
H
H
E
E
j
j 1
1
j
t j 21
x
0
2
1
1
s
1 n 1
1 1 n 2
n
2
Ej Ej
H
H
1
1
j
t
0 x j 2
2
n+1
Ejn+1
rot H
Ej+1n+1
rot H
“T E” – мода:
Ex≠0, Ey≠0, Ez=0
Hx=0, Hy=0, Hz≠0
n+1/2
Hj-1/2n+1/2
Hj+1/2n+1/2
ΔEjn+1/2
rot E
n
Одномерный случай:
Ex=Ex(x,t); Ey=0
Hz=Hz(x,t)
rot E
Ejn
Ej+1n
t, n
ΔHj+1/2n
Hj-1/2n-1/2
Hj+1/2n-1/2
Hz(x,t)
n-1/2
j-1/2
j
j+1/2
j+1
Ex(x,t)
X, j

3.

Закон Ампера
Приращение компоненты электрического поля Ex
на временном шаге от n до n+1
1
E x j m2s
n
1
n 1
n
t 1
Hz 2 1 Hz 2 1
0 y j m s
j m s
2
2
1
H
z y
Y, m
n+
Hz
m+
1
2
s-
Y, m
X, j
Z, s
1
m2
Z, s
j m+
1
2
j m s
Hy
1
j m s
2
n
1
2
1
2
Hy
1
n+
2
j m s+
1
2
1
s
2
n+
Hy
1
s+
2
1
2
n
1
2
j m s-
1
2
jm s
1
E x 2
jm s
n+
1
2
n+
Hz
1
2
j m-
1
s
2
X, j

4.

Закон Ампера на ячейке сетки.
Теорема о циркуляции полного тока в идеальном диэлектрике
E
1
2
xms
n
1
0
1
y
1
n
n 12
Hz 1 Hz 21
m s
m s
2
2
1
n
1 n 12
2
z Hy m s 1 Hy m s 1
2
2
Hz
m+1/2
EEExxx
m
Hy
Ex
Hy
Y, m
m-1/2
S+1/2
Hz
S
Z, s
S-1/2
S-1
X, j

5.

Центральные конечные разности в законе Ампера
1
n
E x 2
t
jms
1 H z
0 y
Цетральная разность
по времени в узле j, m,
s
во временном слое n+1/2
1
n
2
jms
H y
z j m s
1
2
Цетральная разность
по координате y
в узле j, m, s во
Цетральная разность
по координате z
в узле j, m, s во
временном слое n+1/2
временном слое n+1/2
1
1
n
n
1 n 1
1
1
Hz 21 Hz 21
Ex Ex nm s
m s
0 y m 2 s
t m s
2
Ex nm s1 Ex
n
n
ms
E
1
2
x ms
n
1
n
1 n 12
2
z Hy m s 1 Hy m s 1
2
2
Приращение электрического
поля на одном временном шаге

6.

Закон электромагнитной индукции на ячейке сетки.
1
Hxdydz
E
dz
E
dy
z
y
t y z
0 z
y
j m+1s
Δz
Y, m
Δy
Δy
Ey
j m+1 s+1
Hx
Ez
X, j
Hx
1 Ey Ez
t
0 z
t
j ms
Δz
Z, s
j ms+1
1
1
n
n
1
2
2
Hx Hx
y z
t
j m 1 s 1
2
1
0
2
n
n
n
n
z Ez j m 1 s 1 Ez j m s 1 y E y j m 1 s 1 E y j m 1 s
2
2
2
2

7.

n 21
Hx
1
t
1
n
Hx 2
Закон электромагнитной
индукции на ячейке сетки.
j m 1 s 1
2
2
n
n
1
1 n
n
1
1
E
E
E
E
z
y jms
z j m s
y y j m 1 s 1
z j m 1 s 2
2
m+1/2
m+1/2
1
0
Ez
m+1
m+1/2
Hx
Ex
E
x
Hx
Ey
Ey
Y, m
m
S+1
Z, s
Ez
S+1/2
S
S-1/2
X, j

8.

Ячейка электрического поля
Углы - с целыми
номерами
Δ
J m+1 s-1
1
H y 12
1
j m 1 s
2
2
n
J+1 m+1 s-1
Ez
J m+1 s
n
j 1 m 1 s
Ey
J+1 m+1 s
ΔH
Ex
Ez
Y, m
n
j m s
1
2
n
1
j m s 1
2
Ey
j 1 m
1
Δ H y 12
1
j m s
2
2
Jms
1
s
2
n
Ex
n
1
j m s
2
j 1 m
n
1
s 1
2
1
2
j 1 m
1
1
s
2
2
J+1 m s-1
Ez
X, j
Z, s
n
Δ Hx
n
1
2
J+1 m s
n
j 1 m s
1
2
На ребрах ячейки –
электрическое поле;
в центре граней –
магнитное

9.

Трехмерная ячейка магнитного поля
На ребрах ячейки –
магнитное поле;
в центре граней –
электрическое
Hx
Ey
Hz
Hz
Hy
Hx
Jms
Hy
Ex
Hy
Ez
Hz
Y, m
Hx
X, j
Z, s

10.

Трехмерная ячейка магнитного поля с номерами узлов
Узлы в углах ячейки
имеют полуцелые
номера
Hx
J-1/2 m+1/2 s-1/2
J+1/2 m+1/2 s-1/2
Ey
Hz
Hz
Hy
J-1/2 m+1/2 s+1/2
Hx
Jms
Hy
Hy
J+1/2 m-1/2 s-1/2
Ez
Hz
Y, m
J-1/2 m-1/2 s+1/2
X, j
Z, s
Ex
Hx
J+1/2 m-1/2 s+1/2
На ребрах ячейки –
магнитное поле;
в центре граней –
электрическое

11.

Ячейка магнитного поля
Углы - с полуцелыми
1
1
номерами
j- m
2
Hz
j-
j
2
Δ Ey
s
1
2
n 1
j m
1
s
2
Hz
1
1
m s
2
2
Ey
j
Jms
ΔEx
j
1
1
m s
2
2
j
j
1
1
m s
2
2
Δ Ey
X, j
1
1
1
m
s
2
2
2
Hx
j m
1
s
2
Hz
j
j
j
1
1
m s
2
2
1
1
1
m
s
2
2
2
j
1
1
m s
2
2
n 1
1
j m s
2
1
1
1
m
s
2
2
2
n 1
Y, m
j-
1
s
2
Hy
Hy
Z, s
j m
1
1
m s
2
2
1
1
1
m
s
2
2
2
J m s-1
Hy
n 1
1
1
m s
2
2
J+1 m s

12.

Ячейки магнитного и электрического полей
J+1 m+1 s-1
J m+1 s-1
J m+1 s
J+1 m+1 s
j-
Hz
j
1
1
1
m
s
2
2
2
1
1
m s
2
2
J+1 m s-1
1
1
1
j- m
s
2
2
2
Hy
Hy
1
1
m s
2
2
j
Jms
1
1
j m s
2
2
J+1 m s
j
Y, m
Hy
j
1
1
m s
2
2
Hz
X, j
Z, s
j-
1
1
1
m
s
2
2
2
1
1
1
m
s
2
2
2
j
1
1
1
m
s
2
2
2
j
1
1
m s
2
2

13.

Распространение электромагнитного импульса
в фотонном кристалле. Двумерная задача
Граничные условия
TF - Область
полного поля
SF - Область
рассеянного поля
Mur – граничные
условия Мура
Импульс от точечного источника
в прямом волноводе и
волноводе, изогнутом на 900
А.Н.Боголюбов и др.,
ВМУ, Физика.Астрономия, №5, с.8, (2013)

14.

15.

16.

17.

18.

Ячейка магнитного поля
На ребрах ячейки –
магнитное поле;
в центре граней –
электрическое
Hx
Ey
Hz
Hz
Hy
Hx
Jms
Hy
Ex
Hy
Ez
Hz
Y, m
Hx
X, j
Z, s

19.

Ячейка магнитного поля с номерами узлов
Узлы в углах ячейки
имеют полуцелые
номера
Hx
J-1/2 m+1/2 s-1/2
J+1/2 m+1/2 s-1/2
Ey
Hz
Hz
Hy
J-1/2 m+1/2 s+1/2
Hx
Jms
Hy
Hy
J+1/2 m-1/2 s-1/2
Ez
Hz
Y, m
J-1/2 m-1/2 s+1/2
X, j
Z, s
Ex
Hx
J+1/2 m-1/2 s+1/2

20.

21.

22.

Ячейка магнитного поля ???
Δ Ey
j-
Hz
j-
j
1
1
1
m
s
2
2
2
n 1
j m
1
s
2
Hz
1
1
m s
2
2
Ey
j
ΔEx
Hy
j
1
1
m s
2
2
j
j
1
1
m s
2
2
Δ Ey
X, j
1
1
1
m
s
2
2
2
Hx
j m
1
s
2
Hz
j
j
j
1
1
m s
2
2
1
1
1
m
s
2
2
2
j
1
1
m s
2
2
n 1
1
j m s
2
1
1
1
m
s
2
2
2
n 1
Y, m
j-
1
s
2
Hy
1
1
1
m
s
2
2
2
Jms
Z, s
j m
1
1
m s
2
2
J m s-1
Hy
n 1
1
1
m s
2
2
J+1 m s

23.

Трехмерная ячейка магнитного поля
На ребрах ячейки –
магнитное поле;
в центре граней –
электрическое
Hx
Ey
Hz
Hz
Hy
Hx
Jms
Hy
Ex
Hy
Ez
Hz
Y, m
Hx
X, j
Z, s