Уравнения электродинамики для направляемых волн. Лекция 10

1. Модуль 4. РЕГУЛЯРНЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ Лекция №10. Уравнения электродинамики для направляемых волн

1. Уравнения электродинамики для направляемых
волн.
2. Полые волноводы.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
1

2. 1 Уравнения электродинамики для направляемых волн

Для передачи электромагнитной волны от источника к
пункту назначения используются линии передачи
(направляющие системы (НС). Волна направляемая).
Пример НС –кабель, соединяющий телевизор с антенной.
НС называется регулярной, если она прямолинейна и ее
поперечное сечение неизменно по длине.
Основное требование к НС - максимальная
эффективность передачи энергии при экономической
целесообразности линии.
Универсальных направляющих систем, удовлетворяющих
данному требованию во всех диапазонах частот, не
существует.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
2

3.

Основные положения электродинамики для НС
Рисунок 1.1 – Геометрия НС
Соотношения для описания комплексных амплитуд поля в
системе координат 0uvz:
,
, (1.1)
E (u, v, z ) E 0 (u, v) exp( z ) H (u, v, z ) H 0 (u, v) exp( z )
- множитель бегущей волны;
exp( z ) - коэффициент распространения волны
(
,
).
ik i k k ik
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
3

4.

Рисунок 1.2 – Разложение
фазового коэффициента
на составляющие
Уравнение коэффициентов: k 2 2 2 .
Уравнения Гельмгольца с учетом (1.2):
2
2
2 Ez 2 Ez 0 , H z H z 0 ,
Уравнения для поперечных составляющих полей:
~
i
E 2 grad E z 2 a [grad H z , iz ] ,
~
i
H 2 grad H z 2a [grad E z , iz ] .
Знак показывает, что производные берутся только по
поперечным координатам.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
(1.2)
(1.3)
(1.4)
4

5.

Анализ режимов работы НС на основе уравнения
коэффициентов
Таблица 1.1 - Типы решений уравнения k 2 2
и их физическая трактовка
Соотношение
подкоренных
функций
Тип продольного
волнового числа
Колебания
Режим работы
линии
k
Вещественное число
Бегущие волны
Докритический
k
Нуль
Распространение
волн прекращается
Критический
Мнимое число
Нераспространяющиеся колебания
Закритический
(режим отсечки).
Волновод как
реактивная
нагрузка
k
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
5

6.

Для критического режима:
Критическая частота:
кр
k
f кр
2 2 ~a ~a 2 ~a ~a ,
(1.6)
Критическая длина волны:
кр 2 / ,
(1.7)
Условие распространения волн в волноводе:
в кр или
f f кр
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
6

7.

Дисперсионные характеристики волновода
С учетом (1.7) выражение для принимает вид:
2
2
0
k k
k 1
кр
кр
2
2
2
2
,
(1.8)
0 - длина волны в свободном пространстве.
Дисперсионная характеристика волновода:
0
в 0 / 1
кр
2
,
(1.9)
Длина волны в волноводе всегда больше длины волны в
неограниченном пространстве при той же частоте.
Фазовая скорость в волноводе:
0
vф c / 1
кр
2
.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
(1.10)
7

8.

Таблица 1.2 – Классификация типов волн
Тип волны
Т-волны
(ТЕМ-волны)
Е-волны
(ТМ-волны)
Продольные
составляющие
Иллюстрация
Ez 0
Hz 0
Ez 0
Hz 0
Н-волны
(ТЕ-волны)
Ez 0
Hz 0
Гибридные
волны
(ЕН- или НЕ-)
Ez 0
Hz 0
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
8

9.

2 Полые волноводы
Прямоугольный волновод – металлическая
труба с прямоугольным поперечным
сечением.
Тип распространяющейся волны –
либо Е- либо Н-. Т-волна не может
распространяться в принципе.
Концепция Бриллюэна (лучевая трактовка):
Поле в волноводе - результат сложения плоских однородных волн,
называемых парциальными, многократно отраженных от его
граничных поверхностей.
Парциальная ТЕМ-волна распространяется вдоль линии,
образующей угол с осью z. В силу этого путь, пройденный за одно
и то же время фронтом волны вдоль оси z, больше, чем по
направлению распространения, следовательно, фазовая скорость у
волн Е и Н всегда превышает скорость света в среде.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
9

10.

Пояснение концепции Бриллюэна
a
m
2 sin( бр )
Число полуволн в поперечном сечении
2a
a
Бриллюэновский угол
бр arcsin
arcsin
m
mc
Для волны, распространяющей в продольном направлении
Для волны в поперечном направлении
бр 90
Электромагнитные поля и волны. Лекция
10).
кр
mc
a
vф
c
cos( бр )
кр
2a
m
10

11.

Поле поперечно-магнитных волн:
m n
E z Bmn sin
x sin
y exp( mn z ) ,
a b
m n
(1.12)
поперечный волновой коэффициент волновода:
m n
mn
,
(1.13)
a b
Каждой комбинации m и n соответствует своя структура поля,
т.е. мода.
Волна, имеющая минимальную критическую частоту из всех
возможных волн, относящихся к рассматриваемому классу,
называется основной или волной основного типа.
Характеристическое сопротивление волновода:
2
ZTM
Ey
f кр
Ex
W0 1
Hy Hx
f
2
2
W0 1
кр
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
2
.
(1.14)
11

12.

Механизм распространения ТЕ-волн
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
12

13.

Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
13

14.

Поле поперечно-электрических волн:
mx ny
H z Amn cos
cos
exp( mn z ) .
m n
a
b
(1.15)
Характеристическое сопротивление волновода:
Ey
Ex
W0
W0
Z TE
.
(1.16)
2
2
Hy
Hx
f кр
1
1
f
кр
Низшим типом волн среди Н-волн является волна Н10 , для
которой крН10 2а .
Для данной волны мощность, переносимая по волноводу,
определяется выражением:
P E02
ab
1 0
4W0
2a
2
.
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
(1.17)
14

15.

Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
15

16.

Структура поля волны Н10
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
16

17.

Способ возбуждения волны Н10
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
17

18.

Круглый волновод радиусом а.
Поле ТМ-волн:
mn
E z Bmn J m (
m n
f кр TM
a
mn
,
2 a
) cos(m ) exp( mn z ),
кр TM
2 a
mn
,
0 0
(1.18)
(1.19)
где J m ( ) - функция Бесселя m-го порядка;
mn - корни уравнения J m ( ) 0 .
Рисунок 1.4 – Структура поля волны Е01 (волны низшего типа)
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
18

19.

Поле ТЕ-волн:
'mn
H z Amn J m (
m n
f кр TE
a
'mn
,
2 a
) cos(n ) exp( mn z ) ,
кр TE
2 a
,
'mn 0 0
(1.20)
(1.21)
где 'mn - корни уравнения J 'm ( ) 0 .
Рисунок 1.5 – Структура поля волны Н01 (волны низшего типа)
Электромагнитные поля и волны. Лекция 10).
19