Вневписанная окружность

1. «Вневписанная окружность»

2. Содержание

Глава 1. Определение вневписанной окружности.
Центр вневписанной окружности.
Касательная к вневписанной окружности.
Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных
окружностей.
§ 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и
периметром треугольника
§ 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и
периметром треугольника
Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных
окружностей.
§ 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через
радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности
§ 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных
окружностей, через величину обратную радиусу вписанных
окружностей.
§ 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов
вневписанных окружностей через квадрат полупериметра
треугольника.
§ 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей
через произведение радиуса вписанной окружности и
квадрат полупериметра треугольника.
§ 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных
окружностей.

3. Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух

других сторон
В
А
N
М
С
H
О

4. Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего

той стороне треугольника, которой
окружность касается, и биссектрис двух внешних углов
треугольника (1)
Дано:
АВС
Окр. (О; r)
М, N, К – точки касания
Доказать (1)
В
А
М
К
С
N
О
Решение:
Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О
равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе
угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к.
окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит
её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.

5. Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру

данного треугольника
АВ1 = АС1 = p
Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа; ra )
В1
Доказать, что
АВ1 = АС1 = p
Доказательство:
В
Оа
А1
Т.к. Оа - центр вневписанной
окружности. Касательные, прове - α/2
α/2
денные к окружности из
А
С
одной точки, равны между собой,
поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.
Значит,
2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1
т.е. АВ1 = АС1 = p.

6. Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению

полупериметра треугольника на тангенс половины
этого угла, т. е.
ra = ptg 2 , rb = ptg 2 , rc = ptg 2 (2)
Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)
p
В1
В
Доказать (2)
ra
c
ra
А
ra
Решение:
С
В прямоугольном треугольнике А Оа С1
и p – длины катетов, угол Оа А С1
.
равен , поэтому ra = ptg
2
2
ra
Оа
p
С1

7. § 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности

полупериметра и этой стороны. т.е.
S
S
ra = p a , rb = p b , rc = S
(3)
p c
Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)
p
В1
В
Доказать (3)
ra
c
ra
А
Оа
ra
С
Решение:
С1
p
Имеем
r
S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = a × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е.
2
ra =
S
p-a

8. Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной

окружности, т. е.
ra + rb + rc = r + 4R
Доказательство:
Выразим все радиусы через стороны, площадь и
полупериметр треугольника:
S
S
abc
S
r= S ,R=
, ra =
, rb =
, rc =
p b
p c
4S
p a
p
Значит,
ra + rb + rc – r =
S
S
+
p b
p a
+
S
S
p c
p
p( p b)( p c) p( p a)( p c) p( p a)( p b) ( p a)( p b)( p c)
=
p( p a)( p b)( p c)
abc
abc
= S 2 =
= 4R
S
S
= S
=

9. § 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е.

1 1 1 1
ra rb rc r
Доказательство:
Используем выражения радиусов через стороны и площадь
треугольника:
S
r=
p
abc
,R=
4S
S
, ra =
p a
S
S
, rb =
, rc =
p c
p b
Значит,
1 1 1 p a p b p c 3p 2 p p 1
ra rb rc
S
S
S
S
S r

10. § 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. rarb +

§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных
окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е.
r a r b + r b r c + r c r a = p2
Доказательство:
Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны
и площадь треугольника:
r=
S
p
, ra =
S
S
S
, rb =
, rc =
p c
p b
p a
Подставим
S2
S2
S2
ra rb rb rc rc ra
( p a )( p b) ( p b)( p c) ( p c)( p a )
S2
( p c ) ( p a ) ( p b)
3p 2 p
p
S2
S2
( p a )( p b)( p c)
( p a )( p b)( p c)
( p a )( p b)( p c)
Из формулы Герона следует
2
S
(p – a)(p – b)(p – c) =
, поэтому
p
p2
ra rb rb rc rc ra S 2 p 2
S
2

11. § 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат

полупериметра треугольника, т.е.
rarbrc = rp2
Доказательство:
Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы
Герона
S
ra =
p a
S
, rb =
p b
, rc =
S
p c
,
S p( p a)( p b)( p c)
Тогда
S3
S3 p
ra rb rc
2 Sp pr p rp 2
( p a )( p b)( p c)
S

12. Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру

треугольника, т.е.
ra rb rc
S
p
Доказательство:
Из rarbrc = rp2 = rp × p = Sp.
Следовательно
S
ra rb rc
p

13. Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса

вписанной окружности, т.е.
S ra rb rc r
Доказательство:
Из следствия 1, что
S
ra rb rc
и равенства S = pr,
p
получаем, перемножая их почленно,
ra rb rc
S
pr ra rb rc r . Значит
p
2
S ra rb rc r

14. § 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам

вневписанных
окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е.
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
,
,
hс 2 ra rb
ha 2 rb rc
hb 2 rc ra
Доказательство:
Воспользуемся
формулами
S
rb
p b,
rc
S
p c
Значит,
1 1 p b p c 2p b c a b c b c
rb rc
S
S
S
S
a
a
2
1
S
aha ha
2
,
1 1 1 1
ha 2 rb rc

15. 3. Заключение.

Рассмотренные свойства позволили
установить связь между радиусами
вписанной и вневписанной
окружностями, между радиусами
вневписанной окружностью и площадью
треугольника, между радиусами
вневписанных окружностей и периметром
треугольника. Данный материал выходит
за рамки школьной программы и будет
полезен учащимся увлеченным
математикой.