Вневписанная окружность

1. Электронное пособие по теме : «Вневписанная окружность».

Электронное пособие
по теме :
«Вневписанная окружность»
.

2. Содержание:

1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы.
• Определение вневписанной окружности.
• Центр вневписанной окружности.
• Касательная к вневписанной окружности.
• Радиус вневписанной окружности:
Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника.
Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника.
Задачи :
• Задача №1.
• Задача №2.
• Задача №3.
2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей.
• Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус
описанной окружности.
• Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную
радиусу вписанных окружностей.
• Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат
полупериметра треугольника.
• Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной
окружности и квадрат полупериметра треугольника. + следствие №1.
следствие №2.
Задачи :
• Задача №4.
• Задача №5.
• Задача №6.
• Задача №7.

3. 1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы.

4.

• Вневписанная окружность.
Окружность называется вневписанной для треугольника, если
она касается одной стороны треугольника и продолжений двух
других сторон. Для каждого треугольника существует три
вневписанных окружности, которые расположены вне
треугольника, почему они и получили название вневписанных.
О3
О1
O2

5.

• Центр вневписанной окружности.
Центр вневписанной окружности треугольника — точка
пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника,
противолежащего той стороне треугольника, которой окружность
касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника.
А
С
В
.
O

6.

I.
Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания
вневписанной окружности со сторонами этого угла равны
P
полупериметру данного треугольника AB1 AC1 .
2
Дано:
ABC; Вневписанная окр. (Оа;rа)
Доказать: AB1 AC1 P .
2
Док-во:
Т.к. касательные, проведенные из одной точки, равны ,то ВВ1=ВА1, СА1=СС1,
АВ1=АС1.
Значит, P= (АС+СА1)+(АВ+ВА1)= (АС+СС1)+(АВ+ВВ1)= АС1+АВ1=2АС1=2АВ1, т.е.
AB1 AC1
P
.
2

7.

II . Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного
внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра
P
2
2
P
2
2
треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. ra * tg , rb * tg ,
P
rc * tg .
2
2
Дано:
ABC; Вневписанная окр. (Оа;rа)
Доказать: ra
P
2
P
* tg .
2
2
Док-во:
Р
В прямоугольном треугольнике АОаС1 ra и
– длины катетов, ОаАС = 2 ,
2
поэтому ra
P
* tg , что и требовалось доказать.
2
2

8.

III. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны
треугольника, равен отношению площади треугольника к разности
полупериметра и этой стороны. т.е.
P
2
В1
В
а
А
Оа
ra
ra
С
S
P
a
2
, rb
S
P
b
2
, rc
S
P
c
2
.
Дано:
ABC; Вневписанная окр. (Оа;rа)
ra
c
ra
Доказать: ra
С1
S
P
a
2
.
P
2
Док-во: SABC SAO C SBO C -SBO C
a
a
a
Имеем: ra
S
P
a
2
ra
P
b c a ra a ,т.е.
2
2
, что и требовалось доказать.

9. Задачи на свойства касательной к вневписанной окружности и ее радиусов:

10.

Задача№1.
Найдите периметр треугольника АВС, если
расстояние от вершины А до точки касания с
вневписанной окружностью равно 17 , расстояние
от вершины B до точки касания окружности со
стороной BC равно 6, расстояние от вершины С
до точки касания окружности со стороной АC
равно 4.
(авторская задача)

11. Решение:

Дано:
Окр(Оа;ОаC1); АВС;AB1=17, BL=6, CC1=4.
Найти: P-?.
В1
17
В
Оа
6
L
А
С 4 С1
13
Решение №1:
1) Рассмотрим АВС.
Т.к. BL=BB1=6 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АВ=АВ1- BB1 =>
АВ=17-6=11.
2) Т.к. СL=СB1=4 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то ВС=BL + LC =>
ВC=6+4=10.
3) Т.к. AB1=АС1 =17 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АС= АС1- CC1 =>
АС=17-4=13.
4) Р=AB+ВС+АС => Р=11+10+13=34.
Решение №2:
P
1) Т.к АВ1 = АС1 =
( по теореме о касательной вневписанной окружности), то Р= АВ1* 2 =>
2
Р= 17*2=34.
Ответ: Р = 34.

12.

Задача№2.
Задача№2.
Найдите радиус вневписанной окружности
треугольника со сторонами 13, 13, 10.
(ЕГЭ-2015, система задач по геометрии Р.К.Гордина)

13. Решение 1:

А
13
13
12
С
5
В
5
H
K
Дано:
Окр(Оа;rа); АВС;AB=13, AC=13, BC=10.
Найти: rа -?.
18
5
ra
M
Оа
Решение (1 случай) :
1. Пусть стороны AB , AC и BC треугольника ABC равны 13, 13 и 10 соответственно, AH —
высота треугольника, ra — радиус вневписанной окружности, касающейся сторон BC , AC и AB —
в точках H , K и M соответственно.
2.Поскольку АВС равнобедренный, точка H — высота и середина основания BC.
Рассмотрим АHВ, где H=90 . По теореме Пифагора: AB 2 AH 2 HB 2 132 AH 2 52 AH 12.
3. Пусть Oa — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC и продолжения
сторон AC и AB, причём продолжения стороны AB —в точке M. Тогда BM = BH = 5 (как отрезки
касательных, проведенные из одной точки); AM = AB + BM = 13 + 5 = 18.
4. Рассмотрим АMOa, где M=90 (теорема о касательной к окружности).
По теореме радиусе вневписанной окружности получаем, что ra AM * tg MAH
( AM= P по теореме о расстоянии от вершины угла треугольника до точек касания с
2
вневписанной окружности ) ra 18 *
5
7,5.
12

14. Решение 2:

Дано:
Окр(Оc;rc); АВС;AB=13, AC=13, BC=10.
Найти: rc -?.
L
А
Оc
13
12
5
С
12
rc
5
H
В
K
Решение (2 случай):
1. Пусть Oc — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений
сторон BC и AC в точках K и L соответственно. Тогда AO —биссектриса BAL, а так как AH —
биссектриса смежного с ним BAC, то ∠HAOc = 90 .
2. Четырёхугольник AOcKH — прямоугольник (∠HAOc = ∠AHK = ∠HKOc= 90 ),поэтому
rc= OcK = AH = 12.
3. Аналогично найдём, что rb = AH = 12.
Ответ: ra = 7,5; rb = 12;rc = 12.

15.

Задача№3.
Найдите радиус вневписанной окружности, если
расстояние от вершины А до точки касания с
окружностью равно 21, BC=15, AB=14,AC=13.
(авторская задача)

16. 1) Рассмотрим ABC :

Решение:
Дано: AB1=21, AB=14, AC=13,
BC=15.
Найти: ra-?.
B1
14
B
21
O
15
L
ra
A
13
C
C1
Решение :
1) Рассмотрим ABC :
2) S ABC
P
AB1 AC1 21( по теореме о касательной к вневписанной окружности)
2
P P
P
P
AB * BC * AC ( по формуле Герона)
2 2
2
2
S ABC 21* 21 14 * 21 15 * 21 13
S ABC 21* 7 * 6 * 8 84.
3) По теореме о радиусе вневписанной окружности:
84
S
r
14.
ra
a
P
21 15
BC
2
Ответ: ra = 14.

17. 2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей.

18.

• Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус
вписанной окружности и радиус описанной окружности.
ra rb rc r 4R
Дано:
ABC; Вневписанная окр. (Оа;rа),
Оc
ra
rc
(Оc;rc), вписанная окр.(О;r), описанная окр.(О;R).
Доказать: ra rb rc r 4R
Оa
R
a
О
О
(Оb;rb),
b
r
c
Оb
rb
Док-во:
S
abc
S
S
S
, rb
, rc
Выразим все радиусы через стороны, S и полупериметр треугольника: r P , R 4S , ra P
P
P
a
b
c
Значит, ra rb rc r
S
P
a
2
S
P
b
2
S
P
c
2
S
P
2
2
2
P P
P
P P
P
P P
P
P
P
P
(
b)(
c)
(
a )(
c)
(
a )(
b) (
a )(
b)(
c)
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
S 2 2
P P
P
P
(
a )(
b)(
c)
2 2
2
2
поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству R
ra rb rc r 4R
,что и требовалось доказать.
2
S
2
abc abc
2
S
S
abc , то справедлива формула
4S

19.

• Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных
окружностей, через величину обратную радиусу вписанных
окружностей.
1 1 1 1
ra rb rc r
• Выражение суммы всех попарных произведений радиусов
вневписанных окружностей через квадрат полупериметра
треугольника.
P
ra rb rb rc rc ra
2
2

20.

• Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через
произведение радиуса вписанной окружности и квадрат
полупериметра треугольника.
P
ra rb rc r
2
2
Дано:
Вневписанная окр. (Оа;rа), (Оb;rb),
(Оc;rc), вписанная окр.(О;r).
ABC;
В
Оc
ra
rc
Оа
2
Доказать:
О
P
ra rb rc r .
2
r
A
C
rb
Оb
Док-во:
S
Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона ra P
2
P P
P
P
S
AB * BC * CA . Тогда
2 2
2
2
a
, rb
S
S
, rc
,
P
P
b
c
2
2
P
2
2 S P P r * P r P
ra rb rc
, что и требовалось
P
P
P
S2
2 2
2
2
( AB)( BC )( CD)
доказать.
2
2
2
S3
Следствия
S3

21. 1 следствие: Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру

треугольника.
S
ra rb rc
P
2
Дано: ABC; Вневписанная окр. (Оа;rа), (Оb;rb), (Оc;rc).
Оc
В
rc
ra
A
Доказать: S
Оа
ra rb rc
.
P
2
C
rb
Оb
Док-во:
2
ra rb rc
P P
P
P
S
r
r
r
r
r
*
S
.
Следовательно
, что и требовалось доказать.
Из a b c
P
2 2
2
2
2

22. 2 следствие: Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса

вписанной
окружности.
S
ra rb rc r
Дано: ABC; Вневписанная окр. (Оа;rа), (Оb;rb), (Оc;rc)
вписанная окр.(О;r).
Оc
В
ra
rc
Оа
S
ra rb rc r
Доказать:
r
О
A
C
rb
Оb
Док-во:
Из следствия 1 , что S
S2
ra rb rc
P
S
* r получаем, перемножая их почленно,
и
равенства,
P
2
2
ra rb rc P
* r ra rb rc r. Значит,
P
2
2
S ra rb rc r , что и требовалось доказать.

23. Задачи на соотношения с радиусов вневписанных окружностей:

24. Задачи:

Задача№4.
Найдите радиус вневписанной окружности
треугольника, если радиусы двух других
вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а
радиус вписанной окружности равен 1001.

25. Решение:

Дано: ABC; Окр(О; rх=1001), Окр(О3,rс),
Окр(О1; rа=2002), Окр(О2;rb=4004).
Найти: rс-?
В
O3
rc
ra
?
O1
2002
O
1001
rx
A
C
rb
4004
O2
Решение:
Т.к. сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна
величине, обратной радиусу вписанной окружности, а именно
cоставим равенство:
1 1 1 1
ra rb rc r
, то
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
rc 4004.
2002 4004 rc 1001
rc 1001 2002 4004
rc 4004
Ответ: rс=4004.

26. Задачи:

Задача №5.
Найдите произведение сторон треугольника,
если известно, что радиусы его вневписанных
окружностей равны 9,18 и 21.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

27. Решение:

Дано: ABC; ra=9, rb=18, rc=21;Окр(О, rс),
O
rb
Окр(О; rа), Окр(О; rb), Окр(О; R).
ra
O
О
r
Найти: a * b * c ?
R
O
rc
O
Решение:
S
abc
, следовательно abc S* 4R.
4R
1. Найдем S:
S
2
ra rb rc
P
P
P 2 ra rb rb rc rc ra 2 9 *18 9 * 21 18 * 21 27
2
2. Найдем 4R: 4R ra rb rc r r
3. Подставляем: abc
ra rb rc
P
2
2
r
, получаем S
9 *18 * 21
126;
27
9 *18 * 21 14
14 130
4R 9 18 21
;
2
27
3
3
3
126 *130
5460.
3
Ответ: 5460.

28. Задачи:

Задача №6.
Найдите произведение радиусов всех
вневписанных окружностей треугольника со
сторонами 4,5,6.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

29. Решение:

Дано: ABC; a=4, b=5, c=6;Окр(О, rс),
O
Окр(О; rа), Окр(О; rb)
rb
ra
a(4)
O
r
O
b(5)
Найти:
ra * rb * rc ?
c(6)
rc
O
Решение:
1. Так как
2
P
ra rb rc r ,
2
P ABC 4 5 6 15
2. Так как
r
S
P
2
где r-радиус вписанной в треугольник окружности, то:
P 15
7,5.
2
2
P P
P
P
(
a )(
b)(
c)
2 2
2
2
,
P
2
Таким образом, ra rb rc
7
2
* 7,5
2
Ответ:
то r
7,5(7,5 4)(7,5 5)(7,5 6)
3,75 7
7
.
7,5
7,5
2
7
225 7
* 56,25
.
2
8
225 7
.
8

30. Задачи:

Задача№7.
Основание АС равнобедренного треугольника
равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне
этого треугольника касается продолжения
боковых сторон треугольника и касается
основания АС в его середине. Найдите радиус
окружности вписанной в треугольник АВС.
(сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева)

31. Решение:

B
Дано: ABC-равнобедренный; AC= 10;
D
А
вписанная окр.(F; r), вневписанная окр.(О; rа=7,5).
F
O
r
K
Найти: r-?
ra
C
Решение:
1. Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то это - вневписанная
окружность.
2. Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис,
то AF-биссектриса ВАС, а AO – биссектриса CAD FAO – прямоугольный треугольник, так как
биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.
3. АК – высота, проведенная к гипотенузе AK²=FK*KO ( по теореме о высоте прямоугольного )
25 10
52 FK * 7,5 FK
.
7,5 3
10
Так как FK – радиус вписанной в АВС окружности, следовательно FK r .
3
10
Ответ: 3 .

32. Список литературы:

• Блинков А., Блинков Ю. Вневписанная окружность. "Квант", №3,
2009.
• «Геометрия. 9 класс.» Авторы: Мерзляк A. Г., Полонский B. Б., Якир
М. С. «Вентана-Граф» 2014г.
• ЕГЭ 2015. Математика. Решение задачи 18 .Автор: Рафаил Гордин.
• Лысенко Ф.Ф. «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010» Ростов-наДону, «Легион-М» 2009г.
• http://opengia.ru/
• http://reshuege.ru/
• http://reshuoge.ru/
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Вневписанная_окружность
• http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolsev.htm