Задания республиканской олимпиады по математике для обучающихся по программам подготовки квалифицированных рабочих, служащих

1. Задания республиканской олимпиады по математике для обучающихся ПО ПРОГРАММАМ ПОДГОТОВКИ КВАЛИФИЦИРОВАННЫХ РАБОЧИХ, СЛУЖАЩИХ и

ПО ПРОГРАММАМ ПОДГОТОВКИ
СПЕЦИАЛИСТОВ СРЕДНЕГО ЗВЕНА
в профессиональных
образовательных
организациях
Республики Башкортостан

2.

Олимпиадные задания по математике
1. Творческий характер.
2. Умения и знания разделов общеобразовательной
дисциплины «Математика».
3. Различная сложность.

3. Дисциплина «Математика»

I. Алгебра:
Корни, степени и логарифмы.
Уравнения и неравенств (иррациональные, показательные,
логарифмические, тригонометрические).
Функции, свойства функций.
II. Начала математического анализа:
Теория пределов.
Дифференциальное исчисление.
Интегральное исчисление.

4. Дисциплина «Математика»

III. Геометрия:
Планиметрия.
Стереометрия.
Многогранники.
Тела вращения.
IV. Теория вероятностей и математическая статистика:
Комбинаторика.
Теория вероятностей.
Математическая статистика.

5.

Примерные задания по математике для
обучающихся по программам
подготовки специалистов среднего
звена в ПОО РБ

6.

Для определения эффективной температуры звезд используют закон
Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения Р (в ваттах)
нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и
четвертой степени температуры: P ST 4 , где 5,7 10 8- постоянная,
площадь поверхности S измеряется в квадратных метрах, а температура Т –
в кельвинах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности
1
27
S 1021 м 2
4,104
10
Вт .
,
а
излучаемая
его
мощность
Р
равна
18
Определите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

7.

1
5, 7 10 ; S 1021 м 2 Р 4,104 1027 Вт
18
8
Р
P ST T
Т 4 Р
S
S
4
4
4,104 1027
Т
4
8 1
5, 7 10 1021
18
18 4,104
1027
18 4,104
1027
4
8 21 4
8 21
5,7
10 10
5,7
10 10
27
24
24
18
4,104
10
6
4104
10
10
4
9 21 4
9 21 4 6 216 9 21
57
10 10
19
10 10
10 10
4 64 1012 6 103 6000К

8.

На полке в почвенной лаборатории случайно смешаны бюксы с различными
образцами почвы: 8 бюксов с влажной почвой и 6 - с сухой. Найти
вероятность того, что три из пяти наудачу взятых с этой полки бюксов будут
с сухой почвой.
14!
п С
2002
5! 9!
5
14
т С С
3
6
2
8
т С63 С82 560
р( А)
0, 2797
5
п
С14
2002

9.

Решите неравенство
log2 x x 2 log x 3 3 x 0
х 2 0
x 2
3 x 0
x 3
2 x 1
x 1
ОДЗ: x 2;1 1;2
ОДЗ :
;
2 x 0
x 2
x 3 1
x 3
x 3 0
x 3
Применим метод декомпозиции
logh f log p g 0 h 1 f 1 p 1 g 1 0
2 х 1 х 2 1 х 3 1 3 х 1 0
х 1 х 1 х 2 х 2 0
х 2; 1 1; 2

10.

Решите уравнение
3
53х 9 6х 4 3 61,5 х 9 3 4 62 х 4 52 х 4 5х
5х 3 6
5
х 3
х
2
2
5
х 2
6
х
3
2
3 6
5 6
х
х
3
2
6
125 5х 25 5х 5х 36 6
х
1
2
х
1
2
х
1
2
х
1
2
5х 2 5х
х
2
2
3 6
6 6
х
1
2
99 5 33 6 ; 3 5 6 ; lg3 5 lg 6
х
х
х
lg 3 x lg 5 1 lg 6;
2
х
x lg 5 lg 6 lg 6 lg 3;
2
х
х
1
2
3 6
х
1
2
х
lg 3 x lg 5 lg 6 lg 6
2
lg 2
х
lg 5 lg 6
х
1
2

11.

Предприятие запланировало за два года увеличить объем продукции в 2,89
раза. Каким (в процентах) должен быть годовой прирост продукции, если он
одинаков для каждого года?
.
1. Пусть прирост продукции за год равен
первоначальный годовой объем производства А.
х%,
2. Тогда через год объем производства должен составить
100% х% А 1 0,01х А , а через два года
100% х% 1 0, 01х А 1 0, 01х
2
А
3. Этот объем равен 2,89А, а потому 1 0, 01х 2,89
2
.
Отсюда 1 0, 01х 1, 7
ОТВЕТ: 70%
х 0, 7
а

12.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. На его боковых ребрах
АА1 и ВВ1 лежат точки М и Р соответственно так, что АМ:МА1=8:11,
В1Р:РВ=2:1. Во сколько раз объем параллелепипеда больше объема
пирамиды с вершиной в точке Р, основанием которой является сечение
данного параллелепипеда плоскостью ВМD1?
D1
C1
А1
cечение - параллелограмм BMD1M1
B1
MN BB1 :
M1
M
А
H
D
P
B
BM D1M1 и MD1 BM1
C
т.к. S BMD1M1 2S BMD1
VPBMD1M1 2VPBMD1
A1D1 AA1B1 ,
VPBMD1M1
1
2 S MPB A1D1
3

13.

VPBMD1M1
2 1
MN PB A1D1
3 2
NMA1B1 прямоугольник
D1
C1
А1
VPBMD1M1
B1
M1
M
А
H
D
P
B
C
1
1
A1 B1 BB1 A1D1
3
3
1
A1B1 BB1 A1D1 ,
9
т.к. NMA1B1 прямоугольник
VPBMD1M1
1
VABCDA1B1C1D1
9
ОТВЕТ: в 9 раз

14.

Требуется разметить на земле участок ABCDEFGH площадью 1800 м2,
состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную
на рисунке, где FG=EF=10м, ВС=15м и CD 40м. Найдите наименьшее
значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KL, LH и
CD, при которых периметр является наименьшим.
y
L
E
x
D
K
10
G
10
F
H
J
I
1. Пусть KL=х, LH=y, CD=z. Тогда
z≥40 и площадь прямоугольника KLHA
z
C
15
B
равна
А
xy 1800 10 10 15 z 1800 10 10 15 40
y
2500
x

15.

y
L
10
10
x
D
H
2500
P PKLHA 2( x y ) 2( x
)
x
J
2500
p ( x) x
, x 0
x
C
z
15
K
2500
p '( x) x
'
x
x 50 x 50
А
2
2500 x 2500
1 2
2
x
x
x2
x 0 x 50 0
p '( x) 0 x 50
pнаим. ( x) р (50) 50
2500
100 Р 2 pнаим. 200
50
x 50; y 50;
ОТВЕТ: 200, х=50, z=40, у=50
z 40

16.

y
L
10
10
x
D
H
J
KL x, LH y, CD 40 d
(d 0)
xy 1800 10 10 15(40 d )
C
z
15
K
А
2500 15d
2500 15d y
x
250015d
P 2 x y 2 x
x
x 50 2 15d x 50
2
100 200
x
pнаим. 200
d 0 x y 50
x 50; y 50;
ОТВЕТ: 200, х=50, z=40, у=50
z 40

17.

При каких значениях а сумма log cos 2 x 1
a
и
log a cos 2 x 5
равна 1 хотя бы при одном значении х?
1. log a cos 2 x 1 log a cos 2 x 5 1
loga c 1 c 5 loga a
c 1 c 5 a 0 a 1, т.к. c 0
2
c 2 6c 5 a c 3 4 a
2. E cos x 1;1
E(c) 0;1 E(c 3) 3;4 E c 3 9;16
2
E c 3 4 5;12
2
5 а 12

18.

Примерные задания по математике для
обучающихся по программам
подготовки квалифицированных
рабочих, служащих в ПОО РБ

19.

1
1
а 1
: 1 а 1
а а 1
а а 1
а
а а 1
а 1
: 1
а 1
а 1
а а 1
:
а а 1
а а 1
а а 1
а а 1
а а 1 а 1 а 1
:
а а 1
а 1
а а 1
а а 1 а а 1
а 1 а 1
а 1
а 1
а 1 а 1
а 1
а 1 а 1

20.

Цена некоторого товара снижается ежегодно на 10%. На сколько процентов
по сравнению с первоначальной снизится стоимость товара через четыре
года?
.
1. Снижение цены за первый год на 10% означает, что она
составит 90%=0,9 начальной стоимости.
2. Воспользуемся формулой сложных процентов
3. Через четыре года стоимость товара будет равна
0,94 0,6561 65,61% первоначальной стоимость , а это
на 34,39% ниже.
ОТВЕТ: 34,39%

21.

В зрительном зале забронировано 10 мест для приглашенных гостей.
Пришли 7 приглашенных. Найти вероятность того, что четверо из
пришедших гостей займут определенные для каждого из них места, если
гости занимают места случайным образом.
п А 10 9 8 7 6 5 4
7
10
т А 6 5 4
3
6
т А63
6 5 4
1
р( А) 7
п А10 10 9 8 7 6 5 4 5040
ОТВЕТ: 1/5040

22.

Найдите значение функции
f ( x) 10
x3 3 x
lg
log 0,1 x 5
x 5
в точке максимума.
f ( x) 10
x3 3 x
lg
log 0,1 x 5
x 5
lg x3 3 x
f ( x) 10
x3 3x
0
D( f ) : x 5
x 5 0
f ( x) 10
x3 3 x
lg
lg x 5
x 5
f ( x) x 3 x
3
2
x
3 x 0
D( f ) : x 3;
x 5
f '( x) x3 3x ' 3x 2 3 3 x 1 x 1

23.

f '( x) x3 3x ' 3x 2 3 3 x 1 x 1
x
1
1 D f
x 1 единственная точка максимума
f ( 1) 1 3 1 2
3
ОТВЕТ:
1
2

24.

Решите уравнение
7tgx cos2 x 3sin 2 x 1
sin x
7
3 2sin x cos x 1 cos 2 x
cos x
sin x
7
3 2sin x cos x sin 2 x 0
cos x
sin x
2
7
6
cos
x sin x cos x 0
cos x
sin x
0 tgx 0 x n, n Z
cos x
7 6 cos 2 x sin x cos x 0
sin x cos x 1
7 6 cos 2 x 7
ОТВЕТ: x n, n Z
7 1

25.

5
Решите неравенство:
324 х 3 16
24 х 3 2
2 x 1
x
2 2 x 1
x
y 2t возрастает на D( y )
2 2 x 1
4х 3
x
4x 2
0
4 х 3
x
4 x 2 3x 4 x 2
0
x
x 2 4 x 1 0
x
4 x2 7 x 2
0
x
0, 25
ОТВЕТ: x ; 0, 25 0;2
0
2
x

26.

В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известны длины ребер:
АВ=3, AD=4, AA1=32. Найдите площадь сечения, проходящего через
вершины С, С1 и А
Сечением,
проходящим
через
D1
C1
А1
B1
вершины С, С1 и А является
прямоугольник.
Площадь
прямоугольника
равна
произведению его сторон.
По теореме Пифагора
D
А
C
B
ОТВЕТ: 160
AC AD 2 AB 2
42 32 5
SCC1 A1 A 5 32 160

27.

В треугольнике АВС АВ=12, ВС=5, АС=10. Точка Dлежит на прямой ВС так,
что BD:DC=4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ABC и
ACD, касаются стороны AD в точке Е и F. Найдите длину отрезка EF.
А
4
4 5 20
BD
BC
a
4 9
13 13
12
10
М
F
N
E
В
K D
С
L
9
9 5 45
CD
BC
b
4 9
13 13
DE x; DF y; DA z
По свойству касательных
2x DE DK DA DB BK AE
2 y z b 10
z a 12
EF DF DE y x
45 20
2
2 y 2 x 2( y x) z b 10 z a 12 b a 2
13 13
25
25
25
2( y x) 2 y x EF 1
2
13
26
13

28.

СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ !

29. Выступление на тему: «Решение задач повышенной сложности»

Хакимьянова Г.Г
Уфимский колледж радиоэлектроники,
телекоммуникаций и безопасности
преподаватель физики

30.

Задачи для олимпиады
подбираются так, чтобы дать
возможность студенту показать
знание курса физики в пределах
программы среднего
профессионального образования
на базе основного общего
образования, понимание
физических явлений и умение
правильно применять законы
физики для решения поставленных
задач.
.

31. Задача на закон всемирного тяготения

На какую часть ΔР уменьшается
вес тела на экваторе вследствие
вращения Земли вокруг оси?

32. Решение

На тело, находящееся на экваторе, в
неинерциальной системе отсчета
действуют следующие силы: сила
тяжести mg, сила реакции опоры N и
центробежная сила инерции Fцби
( рис.1). Причем, их сумма равна нулю.
Проецируя эти силы на радиальное
направление, получим уравнение:
N + Fцби = mg, откуда mg─ N= Fцби

33.

Рис. 1

34.

От сюда видно, что доля уменьшения
веса тела на экваторе равна:
ΔР/Р = 1─ N/mg = Fцби /mg = ω2 R/g, где
R – радиус Земли, ω – угловая скорость
вращения Земли. Подставляя
численные данные, получим: ΔР/Р =
3,4·10-3.
Итак, любое тело на экваторе
уменьшает свой вес вследствие
вращения Земли вокруг оси на 0,34%.

35. Задача на влажность воздуха

В запаянной трубке объемом
V = 0,4л находится водяной пар
под давлением рп =8,5 ·103 Па при
температуре Tп = 423К. Какое
количество росы выпадет на
стенках трубки при ее охлаждении
до температуры Tнп = 295К?

36. Решение

В задаче рассматривают два
состояния пара в запаянной трубке – до
и после охлаждения. В первом
состоянии при его изохорном
охлаждении, начиная с некоторой
температуры (точки росы), пар станет
насыщающим, и дальнейшее понижение
температуры до 295 К вызовет его
частичную конденсацию.

37.

Происходит ли конденсация пара
при изохорном понижении температуры
от значения T1 до T2 , если об этом не
сказано в условии задачи, можно
установить самим, зная плотность или
давление пара. С помощью таблиц
нужно только определить, будет ли
точка росы Тр > Т2 или нет. В данном
случае это неравенство имеет место,
следовательно, пар частично
конденсируется.

38.

Чтобы определить количество росы,
выпавшей на стенках трубки, необходимо
найти массу пара при каждой из заданных
температур и вычесть из первого
результата второй. Для нахождения самих
масс удобно воспользоваться уравнением
Клапейрона – Менделеева, составив его
для каждого из двух состояний пара.

39.

Обозначим параметры состояния пара
до его охлаждения через рп ,V, Tп и будем
считать, что его масса равна mп. Тогда,
уравнению Клапейрона – Менделеева,
pп V = (mп/Мп)RTп
После охлаждения и конденсации,
когда пар в трубке будет насыщающим, его
масса станет равной mнп, а параметры
примут значения pнп ,V и Tнп. Для
насыщающего пара уравнение КлапейронаМенделеева
pнп ·V = (mнп/Мнп) ·RTнп.

40.

При составлении мы не учитывали
объем, занимаемый каплями, так как он
достаточно мал, и считали давление
насыщающего пара известным (из
таблиц), так как температура его Tнп
дана. Для определения массы росы,
выпавшей на стенках трубки,
составляем вспомогательное уравнение
m = mп ─ mнп ,где m─ искомая масса
росы. Решая полученные уравнения,
находим
m = 9 мг.

41. Задача на соединение конденсаторов

Найти емкость батареи конденсаторов,
изображеннoй на рисунке 2 . Емкость
каждого конденсатора равна С.
Рис.2

42. Решение

Изобразим эквивалентную схему.
Поскольку конденсаторы 1,2,5
соединены одноименными обкладками,
следовательно, они соединены
параллельно. Конденсатор 5 и 6
соединены противоположно
заряженными т.е. последовательно.
Аналогично 2 и 3.

43. Рисунок 3

Итак, на рисунке 3 каждый из
конденсаторов соединен с источником и
с другими конденсаторами точно также,
как в исходной схеме
Рис.3

44.

Вследствие равенства емкостей всех
конденсаторов разность потенциалов
между точками А и В равна нулю.
Поэтому конденсатор С4 не заряжен и
его емкость можно не учитывать. Его
уберем из схемы и получим более
упрощенную эквивалентную схему. В
результате получаем схему из трех
параллельных ветвей, две из которых
содержат по два последовательно
включенных конденсатора (рис.4).

45. Упрощенная эквивалентная схема

Рис.4

46.

Найдем общую емкость системы:
С2,3 = С2 ∙ С3 / (С2 + С3) = С/2;
С5,6 = С/2;
С = С1 + С2,3 + С5,6 = С + С/2 +
С/2 = 2С.
Ответ: 2С

47. Задача по атомной физике

Рассматривая электрон как
классическую частицу,
движущуюся в атоме водорода по
круговой орбите вокруг
неподвижного протона, выразите
скорость v электрона и его
механическую энергию W через
радиус r орбиты.

48. Решение

Сила Кулона F = е2 /4πε0 r2 сообщает
электрону центростремительное
ускорение ац = υ2/r.
Из второго закона Ньютона следует:
υ= e /√(4πε0mr)
Отсюда находим энергию
движущегося вокруг ядра электрона:
W = mυ2/2 ─ e2 /4πε0 r = ─ e2 /8πε0 r.

49.

Она отрицательна, как и должно
быть для связанной частицы, которая не
может уйти на бесконечность ( нулевой
уровень потенциальной энергии здесь,
соответствует бесконечно большому
расстоянию между частицами)

50.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ